6.86 미분 기구학과 속도 관계

미분 기구학(differential kinematics)은 관절 공간의 미소 변위 또는 속도와 작업 공간의 미소 변위 또는 속도 사이의 관계를 다루는 분야이다. 순기구학이 관절 변수와 말단 장치의 위치 및 자세 사이의 정적(static) 사상을 기술하는 반면, 미분 기구학은 이 사상의 미분적 성질을 통해 동적(dynamic) 관계를 확립한다. 본 절에서는 자코비안 행렬을 매개로 하는 속도 관계의 유도와 그 물리적 해석을 다룬다.

1. 순기구학의 미분

n 자유도 로봇 매니퓰레이터의 순기구학 함수가 다음과 같이 주어진다고 하자.

\mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{q})

여기서 \mathbf{q} = [q_1, q_2, \dots, q_n]^\top \in \mathbb{R}^n는 관절 변수 벡터, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m는 작업 공간 변수 벡터이다. 양변을 시간 t에 대해 미분하면 연쇄 법칙(chain rule)에 의해 다음의 속도 관계를 얻는다.

\dot{\mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} = J(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{q}}

이 관계식이 미분 기구학의 기본 방정식이며, J(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{m \times n}는 자코비안 행렬이다.

2. 선속도의 유도

말단 장치 좌표계의 원점 위치 \mathbf{p} \in \mathbb{R}^3는 관절 변수의 함수이다.

\mathbf{p} = \mathbf{p}(\mathbf{q})

이를 시간에 대해 미분하면 말단 장치의 선속도를 얻는다.

\mathbf{v} = \dot{\mathbf{p}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial q_i} \dot{q}_i = J_v(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{q}}

여기서 J_v(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{3 \times n}는 선속도 자코비안이며, 그 i번째 열은 \partial \mathbf{p} / \partial q_i이다.

개별 관절 유형에 따른 선속도 기여는 다음과 같다.

• 회전 관절: i번째 관절이 회전 관절인 경우, 관절 축 \mathbf{z}_{i-1}을 중심으로 한 회전이 말단 장치에 유발하는 선속도는 다음과 같다.

\mathbf{v}_i = \mathbf{z}_{i-1} \times (\mathbf{p}_n - \mathbf{p}_{i-1}) \, \dot{q}_i

• 직동 관절: i번째 관절이 직동 관절인 경우, 관절 축 방향으로의 순수 병진 운동이 발생한다.

\mathbf{v}_i = \mathbf{z}_{i-1} \, \dot{q}_i

3. 각속도의 유도

말단 장치의 각속도 \boldsymbol{\omega} \in \mathbb{R}^3는 각 관절이 기여하는 각속도 성분의 합으로 표현된다.

\boldsymbol{\omega} = J_\omega(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{q}}

여기서 J_\omega(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{3 \times n}는 각속도 자코비안이다.

• 회전 관절: i번째 관절의 각속도 기여는 관절 축 방향으로의 회전이다.

\boldsymbol{\omega}_i = \mathbf{z}_{i-1} \, \dot{q}_i

• 직동 관절: 직동 관절은 회전을 생성하지 않으므로 각속도 기여가 없다.

\boldsymbol{\omega}_i = \mathbf{0}

전체 각속도는 모든 회전 관절의 기여를 합산하여 얻는다.

\boldsymbol{\omega} = \sum_{i \in \mathcal{R}} \mathbf{z}_{i-1} \, \dot{q}_i

여기서 \mathcal{R}은 회전 관절의 인덱스 집합이다.

4. 동차 변환 행렬의 시간 미분

순기구학의 동차 변환 행렬 T_n^0(\mathbf{q}) \in SE(3)의 시간 미분은 다음과 같이 표현된다.

\dot{T}_n^0 = \begin{bmatrix} \dot{R}_n^0 & \dot{\mathbf{p}}_n^0 \\ \mathbf{0}^\top & 0 \end{bmatrix}

회전 행렬의 시간 미분은 각속도의 반대칭 행렬을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

\dot{R}_n^0 = [\boldsymbol{\omega}]_\times \, R_n^0

여기서 [\boldsymbol{\omega}]_\times는 각속도 벡터 \boldsymbol{\omega}에 대응하는 3 \times 3 반대칭 행렬이다. 따라서 동차 변환 행렬의 시간 미분은 다음과 같이 정리된다.

\dot{T}_n^0 = \begin{bmatrix} [\boldsymbol{\omega}]_\times & \mathbf{v} \\ \mathbf{0}^\top & 0 \end{bmatrix} T_n^0

5. 가속도 관계

미분 기구학의 속도 관계를 한 번 더 시간 미분하면 가속도 관계를 얻는다.

\ddot{\mathbf{x}} = J(\mathbf{q}) \, \ddot{\mathbf{q}} + \dot{J}(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{q}}

여기서 \ddot{\mathbf{q}} \in \mathbb{R}^n는 관절 가속도 벡터이고, \dot{J}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{m \times n}는 자코비안 행렬의 시간 미분이다. 제2항 \dot{J} \dot{\mathbf{q}}는 비선형적 구심 가속도 및 코리올리 가속도 효과를 포함하며, 관절 속도에 의존한다.

자코비안의 시간 미분은 다음과 같이 연쇄 법칙으로 계산된다.

\dot{J}(\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial J}{\partial q_i} \dot{q}_i

6. 미소 변위 관계

미분 기구학은 속도뿐 아니라 미소 변위(infinitesimal displacement) 관계로도 해석할 수 있다. 미소 시간 \delta t 동안의 변위를 고려하면 다음과 같다.

\delta \mathbf{x} = J(\mathbf{q}) \, \delta \mathbf{q}

여기서 \delta \mathbf{q} = \dot{\mathbf{q}} \, \delta t는 관절 공간에서의 미소 변위, \delta \mathbf{x} = \dot{\mathbf{x}} \, \delta t는 작업 공간에서의 미소 변위이다. 이 관계는 역기구학의 수치적 해법에서 반복적 보정에 활용된다.

7. 역속도 관계

작업 공간에서 원하는 말단 장치 속도 \dot{\mathbf{x}}_d가 주어졌을 때, 이를 실현하기 위한 관절 속도를 구하는 문제를 역속도 기구학(inverse velocity kinematics)이라 한다.

7.1 정방 비특이 자코비안의 경우

m = n이고 \det(J) \neq 0인 경우, 역행렬을 이용하여 유일한 해를 얻는다.

\dot{\mathbf{q}} = J^{-1}(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{x}}_d

7.2 여유 자유도 시스템의 경우

m < n인 경우, 무한히 많은 해가 존재하며 의사 역행렬을 이용한 최소 노름 해는 다음과 같다.

\dot{\mathbf{q}} = J^\dagger(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{x}}_d

여기서 J^\dagger = J^\top (J J^\top)^{-1}는 우측 무어-펜로즈 의사 역행렬이다.

7.3 과결정 시스템의 경우

m > n인 경우, 일반적으로 정확한 해가 존재하지 않으며 최소 제곱 의미에서의 최적 해를 구한다.

\dot{\mathbf{q}} = (J^\top J)^{-1} J^\top \, \dot{\mathbf{x}}_d

8. 트위스트에 의한 속도 표현

리 대수 \mathfrak{se}(3)의 관점에서, 말단 장치의 공간 속도(spatial velocity)는 6차원 트위스트(twist) 벡터로 표현된다.

\mathcal{V} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\omega} \\ \mathbf{v} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^6

트위스트와 관절 속도의 관계는 공간 자코비안(space Jacobian) J_s(\mathbf{q}) 또는 물체 자코비안(body Jacobian) J_b(\mathbf{q})를 통해 기술된다.

\mathcal{V}_s = J_s(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{q}}, \quad \mathcal{V}_b = J_b(\mathbf{q}) \, \dot{\mathbf{q}}

여기서 \mathcal{V}_s는 기준 좌표계에서 표현된 공간 트위스트이고, \mathcal{V}_b는 말단 장치 좌표계에서 표현된 물체 트위스트이다. 두 트위스트는 수반 표현(adjoint representation) \text{Ad}_{T_n^0}를 통해 다음과 같이 변환된다.

\mathcal{V}_s = \text{Ad}_{T_n^0} \, \mathcal{V}_b

9. 속도 관계의 물리적 해석

미분 기구학의 속도 관계 \dot{\mathbf{x}} = J(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}는 다음과 같은 물리적 의미를 가진다.

1. 선형 사상: 자코비안 행렬은 관절 공간의 속도 벡터를 작업 공간의 속도 벡터로 변환하는 선형 사상이다. 이 사상은 관절 형상 \mathbf{q}에 의존하므로 매 시각 갱신되어야 한다.

2. 속도 전파: 직렬 매니퓰레이터에서 각 관절의 운동은 그 이후의 모든 링크에 영향을 미치며, 최종적으로 말단 장치의 속도로 누적된다. 자코비안의 각 열 벡터는 해당 관절의 개별적 기여를 나타낸다.

3. 형상 의존성: 동일한 관절 속도라도 로봇의 형상에 따라 말단 장치에 유발되는 작업 공간 속도가 달라진다. 이는 자코비안이 형상의 함수이기 때문이다.

4. 국소적 유효성: 자코비안에 의한 선형 관계는 현재 형상 \mathbf{q} 근방에서만 유효한 1차 근사이다. 유한한 크기의 변위에 대해서는 비선형 효과가 나타나므로 반복적 보정이 필요하다.

10. 참고 문헌

• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed. Pearson Prentice Hall.
• Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2006). Robot Modeling and Control. John Wiley & Sons.
• Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.

v 0.1