6.8 벡터의 외적과 법선 벡터

1. 외적의 정의

외적(cross product) 또는 벡터곱(vector product)은 3차원 공간에서 두 벡터로부터 또 하나의 벡터를 생성하는 이항 연산이다. 외적은 내적과 달리 벡터를 결과로 반환하며, 이 결과 벡터는 두 입력 벡터가 만드는 평면에 수직인 방향을 가진다. 외적은 로봇공학에서 토크 계산, 각속도와 선속도의 관계, 평면 법선 벡터의 도출, 회전 행렬의 시간 미분 등에 본질적으로 사용된다.

정의 6.8.1 (외적). $\mathbb{R}^3$ 의 두 벡터 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)^\top$ 와 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)^\top$ 의 외적 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 는 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix}$

이 정의는 다음과 같이 행렬식 형태로 표현되기도 한다.

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \det\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ 는 표준 기저 벡터이다.

2. 외적의 기하학적 성질

정리 6.8.1. 외적 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 는 다음 세 가지 기하학적 성질을 만족한다.

수직성: $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 모두에 수직이다.
$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = 0, \quad (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{b} = 0$
크기: $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 의 사잇각을 $\theta$ 라 하면,
$\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin\theta$
이며, 이는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 만드는 평행 사변형의 면적과 같다.
방향: $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 의 방향은 오른손 법칙(right-hand rule)에 의해 결정된다. 오른손의 손가락을 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 로 감을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 의 방향이다.

3. 외적의 대수적 성질

임의의 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3$ 와 스칼라 $k \in \mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

(C1) 반교환 법칙(Anti-commutativity): $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$

(C2) 분배 법칙(Distributivity): $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$

(C3) 스칼라 곱과의 결합: $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b}) = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

(C4) 자기 외적의 영성: $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$

(C5) 영벡터와의 외적: $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$

특히 외적은 결합 법칙을 만족하지 않는다. 일반적으로 $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} \neq \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 이다. 두 표현 사이의 관계는 야코비 항등식(Jacobi identity)으로 기술된다.

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}$

표준 기저 벡터의 외적

$\mathbb{R}^3$ 의 표준 기저 벡터 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ 의 외적은 다음과 같다.

$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2$

이는 우수 좌표계(right-handed coordinate system)의 특성이며, 좌수 좌표계(left-handed coordinate system)에서는 부호가 반대로 된다.

4. 외적과 반대칭 행렬

외적 연산은 반대칭 행렬(skew-symmetric matrix)을 이용한 행렬-벡터 곱으로 표현할 수 있다. 벡터 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)^\top$ 에 대하여 다음의 반대칭 행렬을 정의한다.

$[\mathbf{a}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$

이 행렬을 사용하면 외적은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}]_\times \mathbf{b}$

이 표기법은 로봇공학에서 매우 중요하며, 회전 행렬과 각속도의 관계, 리 군 SO(3)와 리 대수 so(3)의 관계, 강체 동역학의 표현 등에 본질적으로 사용된다.

반대칭 행렬은 다음의 성질을 만족한다.

$[\mathbf{a}]_\times^\top = -[\mathbf{a}]_\times$

또한 $[\mathbf{a}]_\times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ 이며, 이는 벡터 $\mathbf{a}$ 자신이 $[\mathbf{a}]_\times$ 의 영 공간에 속함을 의미한다.

레비-치비타 기호를 이용한 표현

레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol) $\epsilon_{ijk}$ 를 이용하면 외적의 제 $i$ 성분은 다음과 같이 표현된다.

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} a_j b_k$

여기서 $\epsilon_{ijk}$ 는 다음과 같이 정의된다.

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & (i,j,k) \text{가 } (1,2,3) \text{의 짝순열} \\ -1 & (i,j,k) \text{가 } (1,2,3) \text{의 홀순열} \\ 0 & \text{두 지표가 동일한 경우} \end{cases}$

이 표기법은 텐서 해석에서 외적을 일반화하고 좌표 변환 규칙을 명확히 하는 데 사용된다.

평면의 법선 벡터

3차원 공간에서 두 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 만드는 평면의 법선 벡터(normal vector)는 외적 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 로 직접 계산된다. 단위 법선 벡터(unit normal vector) $\hat{\mathbf{n}}$ 은 다음과 같이 정규화된다.

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|}$

세 점 $P_1, P_2, P_3$ 로 정의되는 평면의 법선은 두 변 벡터 $\mathbf{v}_1 = P_2 - P_1$ 과 $\mathbf{v}_2 = P_3 - P_1$ 의 외적으로 계산할 수 있다.

$\hat{\mathbf{n}} = \frac{(P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)}{\|(P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)\|}$

평면의 방정식

평면 위의 한 점 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ 와 법선 벡터 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)^\top$ 가 주어지면, 평면 위의 임의의 점 $P = (x, y, z)$ 는 다음 조건을 만족한다.

$\mathbf{n} \cdot (P - P_0) = 0$

이를 전개하면 평면의 일반 방정식을 얻는다.

$n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$

외적의 미분

시간에 의존하는 두 벡터 $\mathbf{a}(t)$ 와 $\mathbf{b}(t)$ 의 외적의 시간 미분은 다음과 같이 계산된다.

$\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}$

이는 일반적인 곱의 미분 법칙(product rule)과 동일한 형태이며, 외적의 비교환성 때문에 항의 순서가 보존되어야 한다.

5. 로봇공학에서의 응용

5.1 토크의 계산

물체의 위치 벡터 $\mathbf{r}$ 에 작용하는 힘 $\mathbf{f}$ 가 만드는 토크(moment of force) $\boldsymbol{\tau}$ 는 외적으로 정의된다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{f}$

토크의 크기는 $\|\boldsymbol{\tau}\| = \|\mathbf{r}\| \|\mathbf{f}\| \sin\theta$ 이며, 여기서 $\theta$ 는 위치 벡터와 힘 벡터의 사잇각이다. 토크의 방향은 회전축의 방향을 나타낸다.

선속도와 각속도의 관계

강체가 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 로 회전할 때, 회전축으로부터 위치 $\mathbf{r}$ 에 있는 점의 선속도 $\mathbf{v}$ 는 다음과 같이 외적으로 표현된다.

$\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$

이 관계는 강체 운동학의 가장 기본적인 식 중 하나이며, 로봇 매니퓰레이터의 자코비안 계산과 동역학 해석에 본질적으로 사용된다.

5.2 회전 행렬의 시간 미분

회전 행렬 $R(t) \in SO(3)$ 의 시간 미분은 각속도 벡터 $\boldsymbol{\omega}$ 의 반대칭 행렬과의 곱으로 표현된다.

$\dot{R}(t) = [\boldsymbol{\omega}]_\times R(t)$

이 식은 회전의 동역학을 기술하는 핵심 관계식이며, 자세 추정과 자세 제어의 수학적 기반이다.

자코비안 행렬의 구성

회전 관절(revolute joint)에 대한 자코비안의 열벡터는 외적을 사용하여 다음과 같이 계산된다.

$J_i = \begin{bmatrix} \mathbf{z}_{i-1} \times (\mathbf{p}_e - \mathbf{p}_{i-1}) \\ \mathbf{z}_{i-1} \end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{z}_{i-1}$ 은 $i$ 번째 관절축의 단위 벡터, $\mathbf{p}_{i-1}$ 은 $i$ 번째 관절의 위치, $\mathbf{p}_e$ 는 말단 장치의 위치이다. 외적은 관절축에 대한 회전이 말단 장치 위치에 미치는 선속도 기여를 계산한다.

5.3 표면 법선과 충돌 검출

3차원 객체의 표면에서 법선 벡터는 외적으로 계산된다. 삼각형 메시(triangular mesh)에서 각 삼각형의 법선은 두 변 벡터의 외적으로 얻어지며, 충돌 검출과 접촉 역학에서 접촉 평면을 정의하는 데 사용된다. 점-평면 거리 계산, 광선-삼각형 교차 판정 등도 외적을 통해 효율적으로 수행된다.

5.4 자세 오차의 정의

회전 행렬 $R_d$ (목표 자세)와 $R$ (현재 자세) 사이의 자세 오차는 다음과 같이 정의될 수 있다.

$\mathbf{e}_R = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \mathbf{r}_i \times \mathbf{r}_{di}$

여기서 $\mathbf{r}_i$ 와 $\mathbf{r}_{di}$ 는 각각 $R$ 과 $R_d$ 의 제 $i$ 열벡터이다. 이 오차 벡터는 자세 제어기의 입력으로 사용된다.

참고문헌

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Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
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