6.78 병진 변환의 행렬 표현

1. 도입

병진(translation)은 강체의 모든 점을 동일한 방향과 동일한 거리로 이동시키는 변환이며, 회전과 함께 강체 운동을 구성하는 두 기본 요소 중 하나이다. 병진 변환은 본질적으로 단순한 벡터의 더하기로 정의되지만, 회전 변환과 결합하여 일관된 행렬 곱 연산으로 표현하기 위해서는 특별한 행렬 형태가 필요하다. 동차 좌표를 이용한 행렬 표현은 병진을 선형 사상이 아닌 아핀 사상의 일부로서 행렬 곱셈으로 통합 표현할 수 있게 해주며, 이는 로봇 기구학과 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 비전 등에서 표준적으로 사용된다. 본 절에서는 병진 변환의 정의와 성질, 동차 좌표를 통한 행렬 표현, 그 군 구조, 그리고 로봇 공학에서의 활용을 학술적으로 기술한다.

2. 병진 변환의 정의와 기본 성질

2.1 점의 변환으로서의 병진

3차원 유클리드 공간에서 점 $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^{3}$ 를 고정된 변위 벡터 $\mathbf{t} \in \mathbb{R}^{3}$ 만큼 이동시키는 변환을 병진이라 한다. 이 변환은 다음과 같이 정의된다.

$T_{\mathbf{t}} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}, \quad \mathbf{p} \mapsto \mathbf{p} + \mathbf{t}$

병진은 점들 사이의 모든 상대적 위치 관계를 보존한다. 즉 임의의 두 점 $\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}$ 에 대하여

$T_{\mathbf{t}}(\mathbf{p}_{1}) - T_{\mathbf{t}}(\mathbf{p}_{2}) = (\mathbf{p}_{1} + \mathbf{t}) - (\mathbf{p}_{2} + \mathbf{t}) = \mathbf{p}_{1} - \mathbf{p}_{2}$

가 성립하므로, 병진은 길이, 각도, 방향, 부피를 모두 보존하는 등거리 변환이다.

2.2 선형성의 부재

병진 변환은 일반적인 선형 사상의 정의를 만족하지 않는다. 영 벡터의 상이 영 벡터가 아니며, 다음과 같이 합 보존성도 만족하지 않는다.

$T_{\mathbf{t}}(\mathbf{p}_{1} + \mathbf{p}_{2}) = \mathbf{p}_{1} + \mathbf{p}_{2} + \mathbf{t} \neq T_{\mathbf{t}}(\mathbf{p}_{1}) + T_{\mathbf{t}}(\mathbf{p}_{2}) = \mathbf{p}_{1} + \mathbf{p}_{2} + 2 \mathbf{t}$

따라서 병진은 선형 사상이 아니라 아핀 사상이며, 선형 변환이 아닌 까닭으로 단순한 행렬 곱으로는 표현할 수 없다. 이러한 한계가 동차 좌표 도입의 핵심적인 동기가 된다.

2.3 벡터에 대한 병진의 작용

위치 벡터(position vector)는 병진에 의해 이동되지만, 자유 벡터(free vector)는 병진에 의해 변화하지 않는다. 두 점 $\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}$ 의 차로 정의되는 변위 벡터는 병진에 대해 불변이다.

$(\mathbf{p}_{1} + \mathbf{t}) - (\mathbf{p}_{2} + \mathbf{t}) = \mathbf{p}_{1} - \mathbf{p}_{2}$

이러한 점과 자유 벡터의 구별은 아핀 기하학의 본질이며, 동차 좌표 표현에서 추가 좌표 성분의 값으로 명시된다.

3. 동차 좌표를 이용한 행렬 표현

3.1 동차 좌표의 정의

3차원 점 $\mathbf{p} = [x, y, z]^{T}$ 에 대하여 4번째 성분을 추가한 동차 좌표 표현은 다음과 같이 정의된다.

$\tilde{\mathbf{p}} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

자유 벡터의 경우 4번째 성분이 0으로 표현되며, 이는 병진의 영향을 받지 않음을 행렬 연산 차원에서 자동으로 보장한다.

3.2 병진 변환의 행렬 표현

병진 $T_{\mathbf{t}}$ 는 동차 좌표에서 다음과 같은 $4 \times 4$ 행렬로 표현된다.

$T(\mathbf{t}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

이 행렬을 동차 좌표 점 $\tilde{\mathbf{p}}$ 에 곱하면 다음을 얻는다.

$T(\mathbf{t}) \, \tilde{\mathbf{p}} = \begin{bmatrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ z + t_{z} \\ 1 \end{bmatrix}$

즉 동차 좌표에서의 행렬 곱이 정확히 3차원 공간에서의 병진과 일치한다. 자유 벡터에 대해서는 4번째 성분이 0이므로 마지막 열의 변위 성분이 결과에 반영되지 않으며, 이는 자유 벡터가 병진에 불변이라는 성질을 자연스럽게 구현한다.

3.3 블록 구조

병진 행렬은 다음과 같은 블록 구조로 정리하여 표현하는 것이 일반적이다.

$T(\mathbf{t}) = \begin{bmatrix} I_{3} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$

이 표현은 회전과 병진을 결합한 일반적인 강체 변환 행렬의 특수한 경우에 해당하며, 회전 부분이 단위 행렬인 변환으로 이해될 수 있다.

4. 병진 행렬의 대수적 성질

4.1 합성 법칙

두 병진 변환 $T(\mathbf{t}_{1})$ 과 $T(\mathbf{t}_{2})$ 의 합성은 변위 벡터의 합으로 표현되는 단일 병진과 같다.

$T(\mathbf{t}_{2}) T(\mathbf{t}_{1}) = T(\mathbf{t}_{1} + \mathbf{t}_{2})$

이는 행렬 곱셈을 직접 수행하여 확인할 수 있으며, 병진 변환들의 집합이 가환 군을 이룸을 보여준다.

4.2 가환성

병진 변환은 회전과 달리 가환적이다.

$T(\mathbf{t}_{1}) T(\mathbf{t}_{2}) = T(\mathbf{t}_{2}) T(\mathbf{t}_{1}) = T(\mathbf{t}_{1} + \mathbf{t}_{2})$

이는 모든 병진 행렬이 단위 행렬과 단순한 변위만 차이가 나기 때문이며, 합성 결과가 합산 순서와 무관하게 동일하다. 이러한 가환성은 병진군이 본질적으로 벡터 공간 $\mathbb{R}^{3}$ 와 동형임을 의미한다.

4.3 항등원과 역원

병진군의 항등원은 영 변위에 대응하는 단위 행렬이며, 임의의 병진 $T(\mathbf{t})$ 에 대한 역원은 다음과 같다.

$T(\mathbf{t})^{-1} = T(-\mathbf{t}) = \begin{bmatrix} I_{3} & -\mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$

이는 행렬 곱 $T(\mathbf{t}) T(-\mathbf{t}) = I_{4}$ 로 직접 확인된다. 회전 행렬의 역원이 전치로 주어지는 것과는 달리, 병진 행렬의 역원은 변위 부호의 반전으로 주어진다.

4.4 병진군의 군 구조

3차원 병진 변환 전체의 집합은 행렬 곱셈에 대하여 가환 군을 이루며, 이를 $\mathbb{R}^{3}$ 또는 가법군 $(\mathbb{R}^{3}, +)$ 와 동형인 군으로 본다. 이 군은 콤팩트하지 않은 매끄러운 리 군이며, 그 리 대수는 $\mathbb{R}^{3}$ 자체와 동형이다.

5. 회전과의 결합

5.1 강체 변환에서의 병진의 위치

일반적인 강체 변환은 회전과 병진의 결합으로 표현되며, 다음과 같은 형태를 가진다.

$\begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$

여기서 $R \in SO(3)$ 는 회전 부분이고 $\mathbf{t} \in \mathbb{R}^{3}$ 는 병진 부분이다. 점에 대한 작용은 다음과 같이 회전 후 병진의 형태로 풀어 쓸 수 있다.

$\mathbf{p}' = R \mathbf{p} + \mathbf{t}$

이러한 표현은 회전 부분과 병진 부분이 서로 분리되어 보이지만, 전체 강체 변환의 군 구조에서는 두 부분이 비자명한 방식으로 얽혀 있다.

5.2 비가환성의 발생

병진 자체는 가환적이지만, 회전과 병진의 결합은 비가환적이다. 즉 동일한 회전과 병진을 어떤 순서로 적용하느냐에 따라 결과가 달라진다. 예를 들어 회전 후 병진을 적용하는 변환과 병진 후 회전을 적용하는 변환은 다음과 같이 다르다.

$\begin{bmatrix} R & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & R \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} I & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix}$

두 결과는 병진 부분에서 차이를 보이며, 이는 강체 변환군 $SE(3)$ 가 비가환 군임을 보여준다.

6. 로봇 공학에서의 활용

6.1 좌표계 사이의 위치 표현

로봇의 각 링크에 부착된 좌표계 사이의 위치 관계를 표현할 때, 한 좌표계의 원점을 다른 좌표계 기준으로 표현하는 일은 본질적으로 병진 변환에 해당한다. 예를 들어 베이스 좌표계 원점에서 첫 번째 관절 좌표계 원점까지의 변위는 병진 행렬로 표현되며, 이는 강체 변환 행렬의 병진 부분에 그대로 등장한다.

6.2 직교 관절과 병진 관절의 모델링

직교 좌표 로봇과 같이 병진 관절(prismatic joint)을 갖는 매니퓰레이터에서는 관절 변수 자체가 병진 거리이며, 이 관절의 운동학은 병진 행렬로 표현된다. 회전 관절(revolute joint)이 회전 행렬로 모델링되는 것과 대응되는 관계이며, 두 종류의 관절을 결합한 일반적인 매니퓰레이터의 운동학은 회전 행렬과 병진 행렬의 곱셈으로 표현된다.

6.3 작업 공간 경로의 위치 성분 보간

매니퓰레이터의 말단 장치 경로에서 위치 성분은 일반적으로 직선 또는 곡선의 매개 곡선으로 보간되며, 이 보간은 병진 벡터의 시간 매개화로 표현된다. 자세 성분의 회전 보간과 결합되어 작업 공간 경로 계획의 표준 구성 요소가 된다.

6.4 카메라 외부 파라미터와 시각 측정

컴퓨터 비전에서 카메라의 외부 파라미터는 세계 좌표계와 카메라 좌표계 사이의 강체 변환으로 표현되며, 그 안에 병진 부분이 카메라의 위치를 나타낸다. 카메라 보정과 자세 추정 알고리듬은 회전 부분과 병진 부분을 함께 추정하며, 병진 행렬의 표현은 이러한 절차의 수학적 기반을 이룬다.

6.5 슬램과 위치 추정

동시적 위치 추정 및 지도 작성(SLAM) 알고리듬에서는 로봇의 자세를 회전과 병진의 결합으로 표현하며, 시간에 따른 자세 갱신과 측정 갱신 모두에서 병진 행렬이 핵심적으로 등장한다. 특히 위치 측정값으로부터 강체 변환의 병진 부분만을 갱신하는 절차는 병진 행렬의 단순성과 가환성을 활용한다.

6.6 강체의 관성과 무게 중심 이동

강체의 관성 텐서를 무게 중심이 아닌 다른 점 기준으로 표현할 때, 평행축 정리(parallel axis theorem)에 의해 병진 거리에 따른 보정 항이 추가된다. 이 보정은 본질적으로 병진 변환에 의한 좌표계 이동을 반영하는 것이며, 강체 동역학의 기본 도구가 된다.

7. 결론

병진 변환은 강체 운동의 두 기본 구성 요소 중 하나이며, 그 자체로는 단순한 벡터 더하기에 불과하지만 동차 좌표를 통한 $4 \times 4$ 행렬 표현으로 회전 변환과 통합되어 일관된 강체 변환의 일부가 된다. 병진 행렬은 가환적이고 군 구조를 가지며, 그 합성과 역원이 단순한 벡터 연산으로 환원된다는 점에서 다루기 쉬운 객체이지만, 회전과 결합되면 비가환적이고 비자명한 군 구조를 형성한다. 로봇 공학에서 병진 행렬은 좌표계 사이의 위치 관계, 병진 관절의 운동학, 작업 공간 경로의 위치 보간, 카메라 외부 파라미터, 위치 추정, 강체 동역학 등 거의 모든 영역에서 핵심적으로 사용되며, 그 행렬 표현에 대한 명확한 이해는 회전과 결합된 강체 변환을 일관되게 다루기 위한 필수적인 출발점이다.

참고문헌

Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd ed.). Pearson.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
Selig, J. M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics (2nd ed.). Springer.
Hartley, R., & Zisserman, A. (2004). Multiple View Geometry in Computer Vision (2nd ed.). Cambridge University Press.
Ma, Y., Soatto, S., Košecká, J., & Sastry, S. S. (2003). An Invitation to 3-D Vision: From Images to Geometric Models. Springer.
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). Wiley.

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