6.73 고정 축 회전과 이동 축 회전

1. 도입

3차원 회전을 여러 단계의 기본 회전의 결합으로 분해할 때, 각 회전이 어느 좌표계의 축을 중심으로 수행되는지를 약속하는 것은 본질적으로 중요하다. 이 약속에 따라 동일한 매개 변수가 서로 다른 회전을 표현할 수 있으며, 회전 합성의 행렬 곱 순서가 결정된다. 두 가지 표준적 약속이 고정 축 회전(extrinsic rotation, 외재적 회전)과 이동 축 회전(intrinsic rotation, 내재적 회전)이며, 각각 고유한 기하학적 의미와 행렬 표현 규칙을 가진다. 이 절에서는 두 약속의 정의와 차이, 행렬 곱의 순서와의 관계, 두 약속 사이의 등가성, 매개 변수 추출 시의 주의점, 그리고 로봇공학과 항공우주에서의 활용을 다룬다.

2. 두 가지 회전 약속의 정의

2.1 고정 축 회전 (Extrinsic Rotation)

고정 축 회전 약속에서 모든 회전은 원래의 고정된 좌표계, 즉 세계 좌표계 또는 베이스 좌표계의 축을 중심으로 수행된다. 회전의 단계가 진행되어도 회전 축은 변하지 않으며, 항상 동일한 기준 좌표계의 축에 머무른다.

예를 들어 XYZ 순서의 고정 축 회전은 다음과 같다.

1. 첫 번째 회전: 고정된 x 축을 중심으로 각 \gamma만큼 회전.
2. 두 번째 회전: 고정된 y 축을 중심으로 각 \beta만큼 회전.
3. 세 번째 회전: 고정된 z 축을 중심으로 각 \alpha만큼 회전.

2.2 이동 축 회전 (Intrinsic Rotation)

이동 축 회전 약속에서는 각 회전이 이전 회전들이 적용된 후의 새 좌표계의 축을 중심으로 수행된다. 즉, 회전 단계가 진행됨에 따라 회전 축 자체도 함께 변화한다.

예를 들어 ZYX 순서의 이동 축 회전은 다음과 같다.

1. 첫 번째 회전: 원래 z 축을 중심으로 각 \alpha만큼 회전. 이로 인해 새 좌표계 \{1\}이 형성된다.
2. 두 번째 회전: 좌표계 \{1\}의 새 y 축(즉, y_1)을 중심으로 각 \beta만큼 회전. 새 좌표계 \{2\}가 형성된다.
3. 세 번째 회전: 좌표계 \{2\}의 새 x 축(즉, x_2)을 중심으로 각 \gamma만큼 회전.

이 두 약속은 본질적으로 다른 회전 절차를 기술하지만, 적절한 순서 변환을 통해 동일한 회전을 표현할 수 있다.

3. 행렬 곱 순서와의 관계

두 약속은 회전 행렬의 곱 순서에서 명확히 구분된다.

3.1 고정 축 회전의 행렬 표현

고정 축 회전에서 첫 번째로 적용되는 회전이 가장 안쪽(우측)에 위치하며, 마지막으로 적용되는 회전이 가장 바깥쪽(좌측)에 위치한다. XYZ 순서의 고정 축 회전은 다음과 같이 표현된다.

R_{\mathrm{ext}} = R_z(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_x(\gamma)

이는 점에 적용될 때 우측의 R_x(\gamma)가 가장 먼저 작용하고, 그 후 R_y(\beta), 마지막으로 R_z(\alpha)가 작용함을 의미한다.

3.2 이동 축 회전의 행렬 표현

이동 축 회전에서는 첫 번째로 적용되는 회전이 가장 바깥쪽(좌측)에 위치하며, 마지막으로 적용되는 회전이 가장 안쪽(우측)에 위치한다. ZYX 순서의 이동 축 회전은 다음과 같이 표현된다.

R_{\mathrm{int}} = R_z(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_x(\gamma)

언뜻 보기에 이 식은 위의 고정 축 회전 식과 동일해 보인다. 그러나 두 식의 회전 순서가 다르며(XYZ 대 ZYX), 동일한 행렬은 두 가지 다른 절차의 표현이다.

4. 두 약속 사이의 등가성

두 약속의 가장 흥미로운 관계는 다음의 정리이다.

정리. 동일한 각 매개 변수에 대해, 어떤 회전 순서의 고정 축 회전은 그 순서를 뒤집은 이동 축 회전과 동일한 회전을 산출한다. 즉,

R_{\mathrm{ext}}^{XYZ}(\gamma, \beta, \alpha) = R_{\mathrm{int}}^{ZYX}(\alpha, \beta, \gamma)

이 등가성의 증명은 행렬 곱의 결합 법칙과 회전 행렬의 변환 규칙으로부터 직접 얻어진다.

증명 개요. 이동 축 회전에서 두 번째 회전이 새 y 축에 대해 수행될 때, 새 y 축은 첫 번째 회전 R_z(\alpha)에 의해 변환된 원래 y 축이다. 임의의 축 \hat{\mathbf{n}}을 중심으로 한 회전이 다른 좌표계에서 표현될 때, 회전 행렬은 다음의 변환을 거친다.

R_{\hat{\mathbf{n}}'}(\theta) = R \cdot R_{\hat{\mathbf{n}}}(\theta) \cdot R^{-1}

여기서 \hat{\mathbf{n}}' = R\hat{\mathbf{n}}이다. 이 변환을 이동 축 회전의 각 단계에 적용하면, 결과적으로 이동 축 회전의 행렬이 회전 순서를 뒤집은 고정 축 회전의 형태로 정리된다. \blacksquare

이 등가성은 두 약속이 본질적으로 동일한 표현력을 가짐을 보여 주며, 동일한 회전을 두 가지 방식으로 기술할 수 있음을 의미한다. 그러나 같은 매개 변수 집합이 두 약속에서 서로 다른 회전을 나타낼 수 있다는 점을 주의해야 한다.

5. 동일한 결과의 두 표현 예시

ZYX 이동 축 회전과 XYZ 고정 축 회전이 같은 회전을 산출함을 구체적으로 살펴본다.

이동 축 ZYX:

R_{\mathrm{int}}^{ZYX}(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\alpha) R_y(\beta) R_x(\gamma)

고정 축 XYZ:

R_{\mathrm{ext}}^{XYZ}(\alpha, \beta, \gamma) = R_z(\alpha) R_y(\beta) R_x(\gamma)

두 표현은 동일한 행렬 R_z(\alpha) R_y(\beta) R_x(\gamma)를 산출하지만, 두 절차의 의미는 다르다. 첫째 표현에서는 회전 순서가 z, y, x의 순서로 이동 축에 적용되는 반면, 둘째 표현에서는 회전 순서가 x, y, z의 순서로 고정 축에 적용된다. 이러한 이중성은 표현의 해석에서 빈번한 혼동의 원인이 된다.

6. 약속의 명시적 표시

오일러 각이나 카르단 각을 사용하는 문서, 코드, 데이터에서는 두 약속 가운데 어느 것이 사용되는지를 항상 명시해야 한다. 일반적으로 다음의 표기 약속이 사용된다.

• 고정 축 회전: R_{\mathrm{ext}}^{XYZ}, X-Y-Z extrinsic 등으로 표기.
• 이동 축 회전: R_{\mathrm{int}}^{ZYX}, Z-Y-X intrinsic 등으로 표기.

소문자 xyz와 대문자 XYZ로 두 약속을 구분하는 관례도 일부 문헌에서 사용된다. 명시 없이 단순히 “XYZ 회전“이라고만 쓰면, 독자가 어느 약속을 따라야 할지 결정할 수 없으므로 모호하다.

7. 약속 변환과 매개 변수의 대응

두 약속 사이를 변환할 때는 다음 원칙이 적용된다.

• 같은 결과를 얻기 위해 회전 순서를 뒤집는다(예: 이동 축 ZYX ↔ 고정 축 XYZ).
• 매개 변수 자체는 동일한 값을 가진다.

따라서 한 약속에서 다른 약속으로 변환할 때 매개 변수의 수치를 변경할 필요는 없으며, 단지 회전 순서의 표기만 뒤집으면 된다. 이는 약속의 변환을 매우 단순하게 만든다.

8. 회전 행렬로부터 매개 변수의 추출

주어진 회전 행렬로부터 매개 변수를 추출할 때도 두 약속의 차이가 영향을 미친다. 추출 절차는 회전 순서와 약속에 따라 달라지므로, 추출된 매개 변수가 어떤 약속에 따른 것인지를 명확히 해야 한다.

같은 회전 행렬을 두 약속으로 추출하면 일반적으로 서로 다른 매개 변수 값이 얻어지지만, 위의 등가성 정리에 따라 그 값들은 회전 순서가 뒤집힌 형태로 서로 연관된다.

9. 행렬 표현에서의 직관적 해석

행렬 곱의 순서가 두 약속에서 어떻게 해석되는지에 대한 직관을 정리한다.

• 고정 축 회전: 행렬을 우측에서 좌측으로 읽으며, 점에 가장 먼저 작용하는 회전이 가장 우측이다. “회전을 추가하는 것은 좌측에 곱하는 것“이라는 원칙이 적용된다.
• 이동 축 회전: 행렬을 좌측에서 우측으로 읽으며, 첫 번째 적용되는 회전이 가장 좌측이다. “회전을 추가하는 것은 우측에 곱하는 것“이라는 원칙이 적용된다.

이러한 직관은 회전의 순차적 적용을 이해하는 데 중요하지만, 두 원칙이 서로 모순처럼 보이므로 명확히 구분하여 사용해야 한다.

10. 작용하는 객체에 따른 해석

회전 행렬의 작용은 점에 작용하는지 좌표계에 작용하는지에 따라 다르게 해석될 수 있다.

• 점에 작용: \mathbf{p}' = R\mathbf{p}. 능동적 변환(active transformation)으로 점이 회전한다.
• 좌표계에 작용: \mathbf{p}_{\{B\}} = R^{-1} \mathbf{p}_{\{A\}}. 수동적 변환(passive transformation)으로 좌표계가 회전한다.

두 작용 방식은 부호의 차이만 있을 뿐 본질적으로 같은 정보를 표현하지만, 합성의 순서와 약속의 적용에서 혼동을 일으킬 수 있다.

11. 약속 차이가 야기하는 오류

이동 축과 고정 축의 혼동은 로봇 시스템과 시뮬레이션에서 자주 발생하는 오류 원인이다. 대표적 사례는 다음과 같다.

• 한 좌표계 시스템에서 정의된 자세가 다른 시스템으로 옮겨질 때 잘못 해석되어 회전 방향이 뒤바뀌는 경우.
• 자세 데이터의 보간 결과가 직관과 다른 형태로 나타나는 경우.
• 사용자 인터페이스에서 자세를 표시할 때 매개 변수가 직관과 어긋나는 경우.

이러한 오류를 방지하기 위해 시스템 안에서 약속을 일관되게 유지하고, 인터페이스에서 약속을 명시적으로 문서화하는 것이 중요하다.

12. 로봇공학에서의 활용

12.1 항공기와 무인 항공기의 자세 표현

항공우주 분야에서는 일반적으로 이동 축 ZYX 카르단 각(요-피치-롤)이 자세 표현으로 사용된다. 이는 비행체 자체의 좌표계 안에서 자세 변화가 정의되는 직관과 일치한다. 동일한 자세를 고정 축 표현으로 변환하면 회전 순서가 XYZ로 뒤집히지만, 매개 변수의 수치는 동일하게 유지된다.

12.2 카메라 짐벌과 안정화

카메라 짐벌은 본질적으로 이동 축 회전 시스템이다. 첫 번째 짐벌 축이 회전한 후, 두 번째 짐벌 축은 첫 번째 짐벌 축의 회전과 함께 이동한다. 따라서 짐벌 시스템의 모델링은 이동 축 약속을 따르는 것이 자연스럽다.

12.3 매니퓰레이터 손목

매니퓰레이터의 손목 자세는 일반적으로 이동 축 ZYZ 또는 ZYX 표현으로 기술되며, 이는 손목 좌표계 안에서 자세 변화가 정의되는 형식과 일치한다. 손목 명령의 직관적 표현을 위해 이 약속이 선호된다.

12.4 컴퓨터 그래픽스의 변환 사슬

그래픽스 파이프라인에서의 변환 사슬은 일반적으로 좌측에서 우측으로 곱해지며(또는 행 벡터 약속에 따라 그 반대), 이동 축 해석과 자연스럽게 일치한다. 모델 변환, 시점 변환, 사영 변환의 결합은 본질적으로 좌표계 변환의 사슬이다.

12.5 자세 추정과 데이터 형식

로봇 자세 데이터를 저장하고 교환하는 형식(예: ROS의 TF, URDF, 시뮬레이션 도구의 자세 표현)은 약속을 명시적으로 문서화한다. 데이터 형식 사이의 변환이 필요할 때, 약속의 차이를 정확히 이해하고 변환하는 절차가 본질적이다.

12.6 동역학 모델링

뉴턴-오일러 알고리즘과 라그랑주 알고리즘에서 좌표계 변환은 사슬 형태로 결합되며, 각 단계의 변환이 이동 축 해석을 따른다. 이는 회전과 좌표계 변환이 자연스럽게 결합되도록 한다.

참고문헌

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