6.7 벡터의 내적과 사잇각 계산

1. 내적의 정의

내적(inner product)은 두 벡터로부터 하나의 스칼라 값을 생성하는 이항 연산이며, 벡터 공간에 거리, 각도, 직교성의 개념을 도입한다. 내적은 로봇공학에서 두 방향 사이의 정렬도 평가, 사영 계산, 일량(work)과 일률(power)의 산출 등 매우 광범위한 응용을 가진다.

2. $\mathbb{R}^n$ 의 표준 내적

정의 6.7.1 (표준 내적). $\mathbb{R}^n$ 의 두 벡터 $\mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)^\top$ 와 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)^\top$ 에 대하여, 표준 내적(standard inner product) 또는 점곱(dot product)은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^\top \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n$

본 서적에서는 내적을 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ 또는 $\mathbf{u}^\top \mathbf{v}$ 로 표기한다.

내적의 공리적 성질

내적이 일반적인 벡터 공간에 정의될 때, 다음의 네 가지 공리를 만족하여야 한다.

(I1) 대칭성(Symmetry): $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$

(I2) 선형성(Linearity): $\langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle$

(I3) 양정치성(Positive definiteness): $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0$ 이며, $\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$

(I4) 분배 법칙(Distributivity): $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle$ (대칭성과 선형성으로부터 유도)

복소수 벡터 공간에서는 대칭성 대신 켤레 대칭성(conjugate symmetry) $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}$ 이 사용되며, 이를 에르미트 내적(Hermitian inner product)이라 한다.

내적과 노름의 관계

내적이 정의된 벡터 공간에서, 내적으로부터 노름(norm)이 자연스럽게 유도된다.

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}$

$\mathbb{R}^n$ 에서 표준 내적으로부터 유도되는 노름은 유클리드 노름(Euclidean norm)이다.

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$

이 노름은 벡터의 기하학적 길이를 나타내며, 두 점 사이의 거리는 $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|$ 로 정의된다.

코시-슈바르츠 부등식

정리 6.7.1 (코시-슈바르츠 부등식, Cauchy-Schwarz Inequality). 내적 공간 $V$ 의 임의의 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|$

등호는 $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 선형 종속일 때, 그리고 그때에만 성립한다.

증명. $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 이면 양변이 0이다. $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ 이라 하고, $t \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\|\mathbf{u} - t\mathbf{v}\|^2 \geq 0$ 을 전개하면

$\|\mathbf{u}\|^2 - 2t\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + t^2 \|\mathbf{v}\|^2 \geq 0$

이다. $t = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2}$ 를 대입하면

$\|\mathbf{u}\|^2 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2}{\|\mathbf{v}\|^2} \geq 0$

이며, 이를 정리하면 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2$ 를 얻는다. $\square$

코시-슈바르츠 부등식은 사잇각의 정의를 가능하게 하는 핵심 도구이다.

3. 사잇각의 정의

코시-슈바르츠 부등식에 의해 $\frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}$ 의 절댓값이 1 이하임이 보장된다. 따라서 다음과 같이 두 벡터 사이의 사잇각(angle between vectors)을 정의할 수 있다.

정의 6.7.2 (사잇각). 영벡터가 아닌 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 의 사잇각 $\theta \in [0, \pi]$ 는 다음을 만족하는 유일한 각도이다.

$\cos\theta = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}$

이로부터 내적의 기하학적 표현을 얻는다.

$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos\theta$

이 식은 내적이 두 벡터의 길이와 사잇각의 코사인의 곱과 같음을 나타내며, 내적의 기하학적 의미를 명확히 보여 준다.

4. 내적의 부호와 방향 관계

사잇각의 코사인 값에 따라 두 벡터의 상대적 방향 관계가 결정된다.

내적 값	사잇각 $\theta$	기하학적 의미
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle > 0$	$0 \leq \theta < \pi/2$	예각 (방향이 일치)
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$	$\theta = \pi/2$	직각 (직교)
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle < 0$	$\pi/2 < \theta \leq \pi$	둔각 (방향이 반대)

5. 직교성과 정규 직교성

정의 6.7.3 (직교). 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 가 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$ 을 만족하면, $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 는 직교(orthogonal)한다고 하며 $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$ 로 표기한다.

정의 6.7.4 (정규 직교 집합). 벡터 집합 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_k\}$ 이 다음 두 조건을 만족하면 정규 직교 집합(orthonormal set)이라 한다.

직교성: 모든 $i \neq j$ 에 대하여 $\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = 0$
정규성: 모든 $i$ 에 대하여 $\|\mathbf{e}_i\| = 1$

이를 크로네커 델타(Kronecker delta) $\delta_{ij}$ 를 이용하여 표현하면 다음과 같다.

$\langle \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}$

정규 직교 집합은 항상 선형 독립이며, 이 집합이 벡터 공간을 생성하면 정규 직교 기저(orthonormal basis)라 한다. $\mathbb{R}^n$ 의 표준 기저 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ 은 정규 직교 기저이다.

피타고라스 정리

정리 6.7.2 (피타고라스 정리). $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$ 이면 다음이 성립한다.

$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2$

증명. $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2$ 이며, 직교 조건 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$ 에 의해 결과를 얻는다. $\square$

6. 삼각 부등식

정리 6.7.3 (삼각 부등식). 임의의 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$

증명. $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 = (\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|)^2$ 이며, 양의 제곱근을 취하면 결과를 얻는다. 두 번째 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 사용한 것이다. $\square$

가중 내적과 일반화 내적

$\mathbb{R}^n$ 에서 양정치 대칭 행렬 $W \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대하여 다음과 같이 가중 내적(weighted inner product)을 정의할 수 있다.

$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle_W = \mathbf{u}^\top W \mathbf{v}$

이 내적은 표준 내적의 일반화이며, $W = I$ 인 경우에 표준 내적과 일치한다. 가중 내적은 로봇공학에서 다음과 같은 상황에 활용된다.

관성 행렬을 이용한 운동 에너지 정의: $T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^\top M(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}$
마할라노비스 거리(Mahalanobis distance): 공분산 행렬 $\Sigma$ 의 역행렬을 가중치로 사용한 거리 측정

7. 로봇공학에서의 응용

7.1 일량과 일률의 계산

힘 $\mathbf{f}$ 가 변위 $d\mathbf{r}$ 에 대하여 행한 일량(work)은 내적으로 표현된다.

$dW = \mathbf{f} \cdot d\mathbf{r} = \|\mathbf{f}\| \|d\mathbf{r}\| \cos\theta$

마찬가지로, 힘과 속도의 내적은 일률(power)을 나타낸다.

$P = \mathbf{f} \cdot \mathbf{v}$

이러한 표현은 로봇 동역학에서 에너지 해석과 가상 일의 원리(principle of virtual work)에 본질적으로 사용된다.

7.2 두 방향의 정렬도 평가

로봇의 말단 장치 자세와 목표 자세 간의 정렬도를 평가하는 데 내적이 사용된다. 두 단위 벡터 $\hat{\mathbf{a}}$ 와 $\hat{\mathbf{b}}$ 의 내적 $\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}} = \cos\theta$ 는 두 방향이 일치할수록 1에 가까워지고, 직교할수록 0에 가까워진다. 이 값은 자세 오차의 지표로 사용된다.

7.3 코사인 유사도

기계 학습과 컴퓨터 비전에서 두 특징 벡터(feature vector) $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 의 유사도는 코사인 유사도(cosine similarity)로 측정된다.

$\text{cosine similarity} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

이 지표는 벡터의 크기에 무관하게 방향만을 비교하므로, 영상 매칭, 객체 인식, 의미 검색 등에 광범위하게 사용된다.

회전 행렬의 직교성

회전 행렬 $R \in SO(3)$ 의 열벡터 $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3$ 은 정규 직교 집합을 이룬다.

$\mathbf{r}_i^\top \mathbf{r}_j = \delta_{ij}$

이 조건은 $R^\top R = I$ 로 표현되며, 회전 행렬의 정의 자체를 구성한다. 회전 행렬의 직교성은 회전이 길이와 각도를 보존하는 등각 변환(isometry)임을 보장한다.

7.4 사영을 이용한 자세 정합

두 점 구름 사이의 자세 정합(point cloud registration) 문제에서, 각 점에서의 법선 벡터들의 내적은 표면의 곡률과 정합의 품질을 평가하는 데 사용된다. ICP(Iterative Closest Point) 알고리즘의 변형 중 하나인 점-평면(point-to-plane) 변형에서는 점과 목표 평면의 법선 사이의 내적이 오차 함수의 핵심 구성 요소이다.

참고문헌

Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Springer.
Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.

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