6.69 DH 파라미터와 동차 변환 행렬의 관계

1. 도입

다관절 매니퓰레이터의 기구학적 모델링에서 핵심적인 과제는 인접한 두 링크 좌표계 사이의 동차 변환을 체계적이고 표준화된 방식으로 기술하는 것이다. 자카드 데나비트(Jacques Denavit)와 리처드 하텐버그(Richard S. Hartenberg)가 1955년에 발표한 A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices에서 도입된 DH 표기법은 임의의 다관절 사슬에 대해 단지 4개의 매개 변수만으로 인접 좌표계 사이의 변환을 완전히 기술할 수 있는 방법을 제공한다. 일반적인 좌표계 변환이 6개의 자유도를 가지는 데 반해 DH 표기법이 4개의 매개 변수만을 사용할 수 있는 근거는 좌표계 부착 규칙이 두 개의 자유도를 자동으로 제거하기 때문이다. 이 절에서는 DH 매개 변수의 정의, 인접 변환의 명시적 행렬 형태, 표준 DH와 수정 DH 표기법, 매개 변수의 최소성, 그리고 정기구학과 매니퓰레이터 모델링에서의 활용을 다룬다.

2. 좌표계 부착 규약

DH 표기법의 출발점은 각 링크에 좌표계를 부착하는 표준 규약이다. $n$ 관절 매니퓰레이터에서 링크 $i$ 에 부착된 좌표계 $\{i\}$ 는 다음 규칙을 따른다.

$z_i$ 축: 관절 $i+1$ 의 회전 또는 병진 축에 일치한다.
$x_i$ 축: $z_{i-1}$ 과 $z_i$ 의 공통 수직선 방향(두 축이 만나지 않는 경우)이거나, 두 축이 평행한 경우 임의의 수직 방향이다.
$y_i$ 축: 오른손 좌표계를 형성하도록 결정된다.
원점: $x_i$ 와 $z_i$ 의 교점에 위치한다.

이러한 부착 규약은 일반적으로 6개인 강체 변환의 자유도 가운데 두 개를 제거하며, 그 결과 인접 좌표계 사이의 변환이 단 4개의 매개 변수로 완전히 기술될 수 있다.

3. 개의 DH 매개 변수

링크 $i-1$ 의 좌표계 $\{i-1\}$ 에서 링크 $i$ 의 좌표계 $\{i\}$ 로의 변환은 다음 4개의 매개 변수로 결정된다.

링크 길이 $a_i$ : $z_{i-1}$ 과 $z_i$ 사이의 공통 수직선의 길이.
링크 비틀림 $\alpha_i$ : $z_{i-1}$ 에서 $z_i$ 로의 회전 각으로, $x_i$ 축을 중심으로 측정한다.
링크 오프셋 $d_i$ : $x_{i-1}$ 과 $x_i$ 사이의 거리로, $z_{i-1}$ 축을 따라 측정한다.
관절 각 $\theta_i$ : $x_{i-1}$ 에서 $x_i$ 로의 회전 각으로, $z_{i-1}$ 축을 중심으로 측정한다.

회전 관절의 경우 $\theta_i$ 가 변수이고 $a_i$ , $\alpha_i$ , $d_i$ 가 상수이며, 직동 관절의 경우 $d_i$ 가 변수이고 나머지가 상수이다. 이러한 4개의 매개 변수가 인접 좌표계 사이의 변환을 완전히 결정한다.

4. 표준 DH 변환 행렬

표준 DH(또는 고전 DH) 표기법에서 인접 좌표계 사이의 동차 변환은 4개의 기본 변환의 합성으로 정의된다.

$^{i-1} T_i = \mathrm{Rot}_z(\theta_i) \cdot \mathrm{Trans}_z(d_i) \cdot \mathrm{Trans}_x(a_i) \cdot \mathrm{Rot}_x(\alpha_i)$

각 기본 변환의 의미는 다음과 같다.

$\mathrm{Rot}_z(\theta_i)$ : $z_{i-1}$ 축을 중심으로 $\theta_i$ 만큼 회전.
$\mathrm{Trans}_z(d_i)$ : $z_{i-1}$ 축을 따라 $d_i$ 만큼 병진.
$\mathrm{Trans}_x(a_i)$ : 새 $x$ 축을 따라 $a_i$ 만큼 병진.
$\mathrm{Rot}_x(\alpha_i)$ : 새 $x$ 축을 중심으로 $\alpha_i$ 만큼 회전.

이 합성을 명시적으로 전개하면 다음의 단일 동차 변환 행렬이 얻어진다.

$^{i-1} T_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i & a_i \cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i & a_i \sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

이 행렬은 4개의 매개 변수에 의존하는 단일 표현이며, 모든 인접 변환이 동일한 형태를 가진다.

5. 수정 DH 표기법

표준 DH 표기법의 일부 모호성을 제거하고 직관성을 개선하기 위해 크레이그(Craig)에 의해 제안된 수정 DH(modified DH) 표기법은 좌표계 부착 규칙을 약간 다르게 정의한다. 수정 DH에서 좌표계 $\{i\}$ 는 관절 $i$ 에 부착되며, $z_i$ 축은 관절 $i$ 의 축이다. 인접 변환의 명시적 형태는 다음과 같다.

$^{i-1} T_i = \mathrm{Rot}_x(\alpha_{i-1}) \cdot \mathrm{Trans}_x(a_{i-1}) \cdot \mathrm{Rot}_z(\theta_i) \cdot \mathrm{Trans}_z(d_i)$

전개된 행렬은 다음과 같다.

$^{i-1} T_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & a_{i-1} \\ \sin\theta_i \cos\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & -d_i \sin\alpha_{i-1} \\ \sin\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & d_i \cos\alpha_{i-1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

표준 DH와 수정 DH는 본질적으로 동등한 표현 능력을 가지지만, 매개 변수의 첨자 부여 방식이 다르다. 수정 DH는 직렬 매니퓰레이터의 각 링크의 매개 변수를 그 링크 자체에 결부시키는 직관성을 가지며, 산업 로봇과 학술 문헌에서 점차 표준이 되고 있다. 두 표기법의 혼용은 매개 변수 표의 해석에서 빈번한 혼동을 야기하므로, 어느 표기법이 사용되는지를 명시하는 것이 중요하다.

6. 매개 변수의 최소성과 그 근거

일반적인 강체 변환은 6개의 자유도를 가지지만, DH 표기법은 단 4개의 매개 변수만으로 인접 변환을 완전히 기술한다. 이러한 매개 변수의 절약이 가능한 이유는 좌표계 부착 규약이 두 개의 자유도를 제거하기 때문이다.

$x_i$ 축이 $z_{i-1}$ 과 $z_i$ 의 공통 수직선 방향으로 강제됨으로써 $x_i$ 의 방향에서 1 자유도가 제거된다.
좌표계의 원점이 $x_i$ 와 $z_i$ 의 교점에 강제됨으로써 1 자유도가 제거된다.

결과적으로 6 자유도에서 2 자유도가 제거되어 4개의 매개 변수만으로 인접 변환이 표현된다. 이는 DH 표기법의 본질적 강점이며, 모델의 매개 변수 수를 최소화하여 식별과 보정 절차를 단순화한다.

7. 정기구학으로의 확장

매니퓰레이터의 정기구학은 인접 DH 변환들의 사슬 합성으로 직접 표현된다.

$^0 T_n(\mathbf{q}) = {}^0 T_1(q_1) \cdot {}^1 T_2(q_2) \cdots {}^{n-1} T_n(q_n)$

여기서 $\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots, q_n)$ 은 관절 변수의 벡터이며, 각 $q_i$ 는 회전 관절의 경우 $\theta_i$ , 직동 관절의 경우 $d_i$ 이다. 결과 행렬 $^0 T_n$ 의 회전 부분은 말단 자세, 병진 부분은 말단 위치를 표현한다.

8. 매개 변수 표의 작성

매니퓰레이터의 DH 매개 변수는 일반적으로 표 형태로 정리된다. $n$ 자유도 매니퓰레이터에 대해 표는 $n$ 개의 행을 가지며, 각 행은 하나의 인접 변환에 해당하는 4개의 매개 변수를 포함한다.

링크 $i$	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
1	$a_1$	$\alpha_1$	$d_1$	$\theta_1^\ast$
2	$a_2$	$\alpha_2$	$d_2$	$\theta_2^\ast$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$a_n$	$\alpha_n$	$d_n$	$\theta_n^\ast$

별표 표시는 변수임을 나타내며, 직동 관절의 경우 $d_i$ 항목에 별표가 표시된다. 이러한 표는 기구의 기하학적 정보를 컴팩트하게 요약하며, 정기구학 알고리즘과 시뮬레이션 도구의 입력으로 직접 사용된다.

9. DH 표기법의 한계와 주의

DH 표기법은 매니퓰레이터 모델링의 표준적 도구이지만, 다음과 같은 한계와 주의 사항을 가진다.

두 인접 축이 평행한 경우의 모호성: 공통 수직선이 유일하게 결정되지 않으므로 매개 변수의 선택이 임의적이 되며, 작은 기하 오차에 대해 매개 변수가 큰 변화를 보일 수 있다. 이는 보정 절차의 수치적 안정성에 영향을 미친다.
두 인접 축이 만나는 경우: $a_i = 0$ 이 되며, 일부 매개 변수가 결정되지 않을 수 있다.
분기 사슬과 닫힌 사슬: DH 표기법은 본래 직렬 사슬에 대해 정의되었으며, 분기 사슬이나 폐쇄 사슬에는 확장된 표기법이 필요하다.
표준과 수정의 혼동: 표준 DH와 수정 DH의 매개 변수 첨자 부여 방식이 다르므로, 매개 변수 표를 해석할 때 사용된 표기법을 명확히 인식해야 한다.

이러한 한계를 보완하기 위해 Hayati 매개 변수, POE(Product of Exponentials) 표기법, URDF 기반 표기법 등 대안적 모델링 방식이 사용된다.

10. 모델 검증과 영점 자세

DH 매개 변수 표가 작성된 후, 모델의 정확성을 검증하기 위해 영점 자세(zero configuration)를 확인한다. 모든 관절 변수를 영(또는 정의된 기준값)으로 설정한 상태에서 정기구학으로 계산된 말단 자세가 실제 매니퓰레이터의 영점 자세와 일치해야 한다. 불일치가 발견되면 매개 변수의 부호, 단위, 좌표계 부착의 정확성을 재검토해야 한다.

11. DH 매개 변수의 식별과 보정

산업 로봇의 정확도 향상을 위한 운동학적 보정 절차는 본래 제조 시 부여된 명목 DH 매개 변수를 측정 데이터로부터 보정하는 과정이다. 이 보정은 다음 단계로 구성된다.

다양한 자세에서 말단의 실제 위치와 자세를 외부 측정 시스템으로 측정한다.
명목 매개 변수를 사용한 정기구학 예측과 측정값의 차이를 잔차로 정의한다.
잔차를 매개 변수에 대해 최소화하는 비선형 최적화를 수행한다.

이 절차에서 두 인접 축이 평행한 경우의 매개 변수 모호성은 식별 가능성 문제로 나타나며, 적절한 보정 매개 변수의 선택이 중요해진다.

12. 로봇공학에서의 활용

12.1 산업용 매니퓰레이터의 표준 모델링

대부분의 산업용 매니퓰레이터의 운동학적 모델은 DH 매개 변수 표의 형태로 제조사로부터 제공된다. 이는 시뮬레이션, 제어 알고리즘 구현, 운동 계획, 시각화에서 표준 입력으로 사용된다. ABB, KUKA, 화낙(FANUC), 야스카와(Yaskawa) 등 주요 제조사의 매니퓰레이터 매뉴얼은 모두 DH 또는 그 변형 매개 변수를 명시한다.

12.2 정기구학과 자코비안의 해석적 유도

DH 매개 변수가 주어지면 정기구학과 자코비안을 해석적으로 유도할 수 있다. 자코비안의 각 열은 인접 변환의 적절한 미분으로부터 얻어지며, 이는 폐형 표현이 가능한 단순한 사슬에서 특히 유용하다.

12.3 운동학적 보정과 매개 변수 식별

DH 매개 변수의 정확한 값은 매니퓰레이터의 절대 정확도를 결정하며, 운동학적 보정을 통해 추정된다. 보정된 매개 변수는 제어 알고리즘의 정확도 향상에 직접 활용된다.

12.4 운동 계획과 충돌 검사

DH 모델을 기반으로 매니퓰레이터의 모든 링크 자세가 계산되며, 이는 자기 충돌 검사, 환경과의 충돌 검사, 작업 공간 분석에 사용된다.

12.5 교육과 학술적 표현

매니퓰레이터의 운동학을 교육하고 문헌에서 표현할 때, DH 매개 변수는 표준화된 의사소통 수단을 제공한다. 같은 매니퓰레이터의 모델이 서로 다른 연구자와 도구 사이에서 일관되게 공유될 수 있다.

12.6 시뮬레이터와 소프트웨어 라이브러리

ROS의 KDL, MoveIt, Drake, Pinocchio 등 주요 로봇 소프트웨어 라이브러리는 모두 DH 매개 변수 또는 그 등가 표현을 입력으로 받아 정기구학, 역기구학, 자코비안, 동역학 계산을 수행한다.

참고문헌

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Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Hayati, S. A. (1983). Robot Arm Geometric Link Parameter Estimation. IEEE Conference on Decision and Control, 1477–1483.
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