6.67 회전과 병진의 결합 표현

1. 도입

강체 운동은 회전과 병진이라는 두 가지 본질적으로 다른 종류의 운동의 결합으로 구성된다. 회전은 한 점을 고정한 채 방향을 바꾸는 운동이며 비가환적이고 곡면 매니폴드 위에서 정의되는 반면, 병진은 모든 점을 평행하게 옮기는 운동이며 가환적이고 유클리드 공간 위에서 정의된다. 이 두 종류의 운동을 단일한 객체로 결합하여 표현하는 방식은 로봇공학에서 결정적인 의미를 가진다. 결합의 방식에 따라 변환의 합성, 분해, 보간, 미분의 형태가 달라지며, 그 선택은 알고리즘의 단순성과 성능에 직접적인 영향을 미친다. 이 절에서는 회전과 병진을 결합하는 다양한 방식, 결합 순서의 의미, 단일 행렬 표현과 분리된 표현의 비교, 변환의 합성 규칙, 결합 표현의 미분 구조, 그리고 로봇공학에서의 활용을 다룬다.

2. 분리된 표현

회전과 병진을 분리하여 다루는 가장 단순한 표현은 회전 행렬과 병진 벡터의 쌍 (R, \mathbf{t})이다. 이 경우 점에 대한 작용은

\mathbf{p}' = R\mathbf{p} + \mathbf{t}

로 표현된다. 두 변환 (R_1, \mathbf{t}_1)과 (R_2, \mathbf{t}_2)의 합성은 다음의 규칙으로 결합된다.

(R_1, \mathbf{t}_1) \cdot (R_2, \mathbf{t}_2) = (R_1 R_2, \, R_1 \mathbf{t}_2 + \mathbf{t}_1)

이 결합 규칙은 단순한 곱의 형태가 아니라 회전이 병진에 작용하는 반직접곱(semidirect product)의 구조를 가진다. 이 사실은 강체 운동의 군 SE(3)가 단순한 직접곱 SO(3) \times \mathbb{R}^3이 아닌 반직접곱 SO(3) \ltimes \mathbb{R}^3임을 표현한다.

3. 동차 변환 행렬을 통한 결합

분리된 표현의 결합 규칙은 단일 행렬 곱으로 통일적으로 표현될 수 있다. (R, \mathbf{t})를 4 \times 4 동차 변환 행렬로 결합하면

T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix}

이고, 두 변환의 합성은 단순한 행렬 곱 T_1 T_2가 된다. 행렬 곱의 결합 법칙이 자동으로 강체 운동의 합성에 적용되며, 회전이 병진에 작용하는 방식이 행렬 곱셈의 정의 안에 자연스럽게 내장된다.

이 표현의 장점은 다음과 같다.

• 단일한 객체로 강체 변환을 다룰 수 있다.
• 합성, 역, 점에 대한 작용이 모두 행렬 연산으로 통일된다.
• 코드 구현이 단순해지고, 라이브러리 호환성이 좋다.

4. 결합 순서의 의미

회전과 병진을 단일 강체 변환으로 결합할 때, 그 순서는 변환의 의미를 결정한다. 두 가지 자연스러운 결합 방식을 비교한다.

4.1 회전 후 병진

가장 일반적인 결합 방식은 회전을 먼저 적용한 후 병진을 적용하는 것이다.

\mathbf{p}' = R\mathbf{p} + \mathbf{t}

이 표현은 동차 변환 행렬 T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix}의 표준 형태에 대응한다. 이는 점이 원점을 중심으로 회전한 후 병진 벡터만큼 옮겨진다는 의미이다.

4.2 병진 후 회전

대안적으로, 병진을 먼저 적용한 후 회전을 적용할 수도 있다.

\mathbf{p}' = R(\mathbf{p} + \mathbf{t}') = R\mathbf{p} + R\mathbf{t}'

이 경우 동일한 강체 운동을 표현하기 위해서는 \mathbf{t} = R\mathbf{t}'의 관계가 성립해야 하며, 따라서 \mathbf{t}' = R^\top \mathbf{t}이다. 두 표현은 동일한 변환을 나타내지만, 매개 변수의 의미가 다르다. 첫 번째 표현에서 \mathbf{t}는 회전된 좌표계의 원점 위치이고, 두 번째 표현에서 \mathbf{t}'는 회전 전 좌표계에서의 동일한 원점 위치이다.

5. 수반 표현과 트위스트 좌표

회전과 병진의 결합을 다루는 또 다른 방식은 리 군과 리 대수의 수반 표현을 통한 것이다. SE(3)의 원소 T에 대응하는 수반 사상 \mathrm{Ad}_T는 6 \times 6 행렬로 표현된다.

\mathrm{Ad}_T = \begin{bmatrix} R & [\mathbf{t}]_\times R \\ 0 & R \end{bmatrix}

이 행렬은 트위스트 좌표(twist coordinates)에 작용하여 좌표계 사이의 변환을 수행한다. 수반 표현은 강체 운동의 회전과 병진의 결합 구조를 트위스트 공간 위에서 직접 드러낸다.

6. 지수 좌표를 통한 결합

회전과 병진을 단일 매개 변수화된 형태로 결합하는 강력한 방법은 SE(3)의 지수 사상을 사용하는 것이다. \mathfrak{se}(3)의 원소를 다음과 같이 정의한다.

\hat{\boldsymbol{\xi}} = \begin{bmatrix} [\boldsymbol{\omega}]_\times & \mathbf{v} \\ \mathbf{0}^\top & 0 \end{bmatrix}

여기서 \boldsymbol{\omega}는 각속도 매개 변수, \mathbf{v}는 선속도 매개 변수이다. 이 행렬의 지수는 SE(3)의 원소를 산출한다.

T = \exp(\hat{\boldsymbol{\xi}}) = \begin{bmatrix} \exp([\boldsymbol{\omega}]_\times) & V(\boldsymbol{\omega}) \mathbf{v} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix}

여기서 \exp([\boldsymbol{\omega}]_\times) \in SO(3)는 회전 부분이며, V(\boldsymbol{\omega})는 병진 부분에 적용되는 선형 사상으로 다음과 같이 표현된다.

V(\boldsymbol{\omega}) = I + \frac{1 - \cos\theta}{\theta^2} [\boldsymbol{\omega}]_\times + \frac{\theta - \sin\theta}{\theta^3} [\boldsymbol{\omega}]_\times^2

여기서 \theta = \|\boldsymbol{\omega}\|이다. 이 표현은 회전과 병진이 단일 6차원 매개 변수 (\boldsymbol{\omega}, \mathbf{v})로 결합되며, 그 지수 사상이 SE(3)의 원소를 직접 산출함을 보여 준다.

7. 스크류 운동과 채슬의 정리

19세기에 채슬(Chasles)이 증명한 정리에 따르면, 임의의 강체 변위는 어떤 직선을 축으로 하는 회전과 그 축을 따른 병진의 결합, 즉 스크류 운동(screw motion)으로 표현될 수 있다. 이는 회전과 병진의 결합이 본질적으로 단일한 기하학적 객체임을 보여 주는 결과이다.

스크류 운동은 다음의 매개 변수로 결정된다.

• 스크류 축: 공간 안의 한 직선.
• 회전 각: 축을 중심으로 회전한 각.
• 병진 거리: 축을 따라 이동한 거리.

이 표현은 \mathfrak{se}(3)의 지수 좌표와 자연스럽게 대응되며, 강체 운동의 가장 본질적인 매개 변수화 가운데 하나로 평가된다.

8. 회전과 병진의 분리 가능성과 비분리성

회전과 병진은 표현 차원에서는 분리될 수 있지만, 운동학적·동역학적 결합 측면에서는 서로 영향을 미친다.

• 분리 가능한 측면. 자세 추정과 위치 추정은 종종 독립적으로 수행될 수 있으며, 별도의 알고리즘으로 처리된다. 또한 시각화에서 자세와 위치를 별도의 매개 변수로 다루는 것이 직관적이다.
• 분리 불가능한 측면. 변환의 합성에서 회전이 병진에 영향을 미치며, 한 좌표계에서의 병진은 다른 좌표계에서 보면 회전과 결합된 형태로 나타난다. 또한 강체 동역학에서 회전과 병진은 코리올리 항을 통하여 결합된다.

이러한 양면성은 회전과 병진을 어떻게 결합할 것인지가 응용 맥락에 따라 결정되어야 함을 시사한다.

9. 결합 표현의 미분 구조

회전과 병진의 결합 표현이 시간이나 매개 변수에 따라 변할 때, 그 미분은 트위스트의 형태로 표현된다. 예를 들어 T(t) \in SE(3)의 시간 미분은

\dot{T}(t) = T(t) \cdot \hat{\boldsymbol{\xi}}_b(t) = \hat{\boldsymbol{\xi}}_s(t) \cdot T(t)

로 표현되며, 여기서 \boldsymbol{\xi}_b는 물체 좌표계의 트위스트, \boldsymbol{\xi}_s는 공간 좌표계의 트위스트이다. 두 표현은 수반 사상으로 연결된다.

\boldsymbol{\xi}_s = \mathrm{Ad}_T \boldsymbol{\xi}_b

이 구조는 강체 운동의 미분이 본질적으로 회전과 병진을 결합한 6차원 양임을 보여 준다.

10. 결합 표현의 보간

두 강체 자세 T_1, T_2 사이를 매끄럽게 보간하는 문제에서, 회전과 병진을 분리하여 보간하는 방법과 결합하여 보간하는 방법이 모두 존재한다.

• 분리 보간. 회전을 구면 선형 보간(slerp) 등으로 보간하고, 병진을 선형 보간하는 방식. 단순하지만 곡선이 자연스럽지 않을 수 있다.
• 결합 보간. SE(3) 위에서의 측지선을 따라 보간하는 방식으로, 지수 사상을 통하여 다음의 형태로 표현된다.

T(s) = T_1 \exp\left( s \cdot \log(T_1^{-1} T_2) \right), \quad s \in [0, 1]

이 결합 보간은 회전과 병진을 결합한 일관된 운동 곡선을 생성하며, 운동 계획과 시각화에서 자연스러운 경로를 산출한다.

11. 행렬 표현과 쌍 표현의 비교

회전과 병진의 결합을 표현하는 두 가지 주요 방식은 다음과 같이 비교된다.

응용에 따라 두 표현의 장단점이 달라지며, 실제 시스템에서는 두 표현이 혼용된다.

12. 로봇공학에서의 활용

12.1 매니퓰레이터의 정기구학과 역기구학

매니퓰레이터의 정기구학은 인접 링크 사이의 회전과 병진을 결합한 동차 변환 행렬을 사슬 합성한 형태로 표현된다. 역기구학에서는 주어진 결합 표현으로부터 회전과 병진을 분리하여 관절 변수로 환원하는 절차가 수행된다. 결합 표현과 분리 표현 사이의 자유로운 전환이 알고리즘의 핵심이다.

12.2 자세 추정과 SLAM

3차원 SLAM에서 로봇 자세는 회전과 병진을 결합한 SE(3)의 원소이며, 자세 그래프 최적화는 결합 표현 위에서 직접 수행된다. 이때 결합 표현의 미분 구조와 매개 변수화가 최적화의 효율과 정확성에 직접적인 영향을 미친다.

12.3 운동 계획과 보간

운동 계획에서 시작 자세와 목표 자세 사이의 운동 곡선은 회전과 병진을 결합한 곡선으로 생성된다. SE(3) 위에서의 측지선이나 지수 좌표 보간이 자연스러운 결합 운동을 산출하며, 이는 매끄럽고 물리적으로 그럴듯한 궤적을 제공한다.

12.4 강체 동역학

강체의 동역학은 회전과 병진이 결합된 6차원 트위스트 공간에서 가장 자연스럽게 표현된다. 페더스톤(Featherstone)의 공간 벡터 대수는 회전과 병진을 결합한 통일적 표기법을 도입하여, 다관절 강체 시스템의 동역학 알고리즘을 단순화한다.

12.5 영상 기반 자세 추정

카메라로부터 객체의 자세를 추정하는 PnP 문제는 본질적으로 SE(3)의 원소를 추정하는 문제이며, 회전과 병진을 결합하여 다루는 알고리즘이 효율적이다. 회전과 병진의 결합 매개 변수화의 선택은 추정기의 수렴성과 안정성에 영향을 미친다.

12.6 군집 제어와 다중 로봇 좌표

다중 로봇 시스템에서 각 로봇의 상대 자세는 회전과 병진을 결합한 표현으로 다루어지며, 군집의 합의 알고리즘과 일관성 유지에서 결합 표현의 적절한 선택이 중요하다.

참고문헌

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• Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
• Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
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