6.64 동차 좌표계의 정의와 필요성

1. 도입

유클리드 공간에서 회전과 병진을 동시에 다루는 것은 로봇공학의 가장 기본적인 요구이다. 그러나 일반적인 직교 좌표계에서 회전은 행렬 곱셈으로, 병진은 벡터 덧셈으로 표현되며, 이 두 연산이 서로 다른 형태를 가진다는 사실은 변환의 합성과 사상의 표현을 번거롭게 만든다. 동차 좌표계(homogeneous coordinate system)는 이러한 비대칭성을 제거하기 위해 좌표 공간을 한 차원 확장하여 회전과 병진을 모두 단일 행렬 곱셈으로 표현하는 수학적 장치이다. 이 절에서는 동차 좌표의 사영 기하학적 기원, 정의와 표기, 점과 자유 벡터의 구분, 사영 공간과의 관계, 동차 변환의 통일적 표현, 그리고 로봇공학에서 동차 좌표가 가지는 본질적 필요성을 다룬다.

2. 사영 기하학적 기원

동차 좌표는 본래 17세기 사영 기하학에서 도입된 개념으로, 평행선이 무한 원에서 만난다는 사영 기하학적 직관을 대수적으로 표현하기 위한 수단이었다. 가우스, 뫼비우스, 플뤼커 등에 의하여 정식화된 이 개념은 직교 기하학과 사영 기하학을 통일적으로 다루는 강력한 도구가 되었다. 컴퓨터 그래픽스와 로봇공학에서는 회전과 병진의 통합 표현을 위한 실용적 수단으로 활용되며, 컴퓨터 시각의 카메라 모델에서는 사영 변환 자체를 자연스럽게 표현하는 좌표계로 사용된다.

3. 동차 좌표의 정의

$n$ 차원 유클리드 공간의 점 $\mathbf{p} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ 에 대응하는 동차 좌표는 $(n+1)$ 차원 벡터로 정의된다.

$\tilde{\mathbf{p}} = (w x_1, w x_2, \ldots, w x_n, w), \qquad w \neq 0$

여기서 $w$ 는 임의의 영이 아닌 실수이며, 동차 좌표는 영이 아닌 스칼라 곱에 대해 동치 관계를 가진다. 즉,

$(x_1, x_2, \ldots, x_n, 1) \sim (k x_1, k x_2, \ldots, k x_n, k), \qquad k \neq 0$

이며 두 동차 좌표는 동일한 유클리드 점을 나타낸다. 정규화된 표현은 $w = 1$ 로 잡은 형태이며

$\tilde{\mathbf{p}} = (x_1, x_2, \ldots, x_n, 1)$

이다. 이를 표준 표현이라 부른다. 일반 동차 좌표 $(\tilde{x}_1, \tilde{x}_2, \ldots, \tilde{x}_n, \tilde{w})$ 로부터 유클리드 좌표를 복원하는 방법은 마지막 성분으로 나누는 것이다.

$x_i = \frac{\tilde{x}_i}{\tilde{w}}$

4. 점과 자유 벡터의 구분

동차 좌표의 가장 중요한 실용적 장점 중 하나는 점과 자유 벡터를 형식적으로 구분할 수 있다는 점이다. 표준 약속에 따르면

점: 마지막 성분이 $1$ 인 동차 좌표 $(x_1, x_2, x_3, 1)$ 로 표현된다.
자유 벡터(방향 벡터): 마지막 성분이 $0$ 인 동차 좌표 $(v_1, v_2, v_3, 0)$ 로 표현된다.

이 구분은 단순한 표기 약속이 아니라 변환의 의미와 직결된다. 점에 동차 변환을 적용하면 회전과 병진이 모두 적용되고, 자유 벡터에 적용하면 회전만 적용되며 병진은 자동으로 소거된다. 이는 별도의 코드 분기나 특수 처리 없이 점과 벡터의 변환 규칙의 차이를 표현 자체에 내장하는 효과를 가진다.

5. 동차 변환 행렬의 정의

$\mathbb{R}^3$ 에서의 동차 좌표를 사용한 강체 변환은 $4 \times 4$ 행렬로 표현된다.

$T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$

여기서 $R \in SO(3)$ 은 회전 행렬, $\mathbf{t} \in \mathbb{R}^3$ 는 병진 벡터이다. 이 행렬을 점의 동차 좌표에 곱하면 회전과 병진이 동시에 적용된다.

$\begin{bmatrix} \mathbf{p}' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{p} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\mathbf{p} + \mathbf{t} \\ 1 \end{bmatrix}$

자유 벡터에 적용하면 다음과 같이 회전만 적용된다.

$\begin{bmatrix} \mathbf{v}' \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{v} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\mathbf{v} \\ 0 \end{bmatrix}$

이로써 점과 자유 벡터의 구분이 행렬 곱셈의 결과에 자동으로 반영된다.

6. 동차 좌표의 필요성

동차 좌표를 도입하지 않은 경우, 강체 변환은 다음과 같이 표현되어야 한다.

$\mathbf{p}' = R\mathbf{p} + \mathbf{t}$

이 표현은 행렬 곱과 벡터 덧셈이 혼합되어 있어 다음의 단점을 가진다.

변환의 합성이 단순한 행렬 곱이 아니라 회전과 병진의 분리된 결합으로 표현되어야 한다.
행렬 표현을 통한 일관된 대수적 처리가 어렵다.
사상의 매개 변수가 회전과 병진으로 분리되어 통합적 분석이 번거롭다.

동차 좌표는 이 모든 문제를 해결한다. 두 강체 변환의 합성은 단순한 행렬 곱이 된다.

$T_1 T_2 = \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1 \mathbf{t}_2 + \mathbf{t}_1 \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix}$

이는 회전과 병진이 모두 올바르게 결합된 결과이며, 결합 법칙이 자동으로 보장된다. 또한 변환의 역도 단일 역행렬로 표현된다.

7. 동차 변환 행렬의 군 구조

$4 \times 4$ 동차 변환 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 대해 군의 구조를 형성한다. 이 군이 특수 유클리드 군 $SE(3)$ 이다.

$SE(3) = \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} : R \in SO(3), \, \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3 \right\}$

이 군은 다음의 성질을 가진다.

단위원: 단위 행렬 $I_4$ .
결합 법칙: 행렬 곱의 결합 법칙이 자동으로 성립한다.
역원: $T^{-1} = \begin{bmatrix} R^\top & -R^\top \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix}$ .
폐쇄성: 두 동차 변환의 곱이 다시 동차 변환이다.

$SE(3)$ 는 일반적으로 가환군이 아니며, 회전과 병진의 순서가 결과에 영향을 미친다. 이 군 구조는 강체 운동을 대수적으로 다루는 토대가 된다.

8. 사영 공간과의 관계

동차 좌표는 본질적으로 실수 사영 공간 $\mathbb{R}P^n$ 의 좌표이다. 사영 공간의 한 점은 영이 아닌 벡터의 동치류

$[\tilde{x}_1 : \tilde{x}_2 : \cdots : \tilde{x}_{n+1}]$

로 정의되며, 이 동치류 안의 모든 영이 아닌 벡터는 동일한 사영 점을 나타낸다. 마지막 성분이 영인 동차 좌표는 무한 원의 점을 나타내며, 이는 평행선이 만나는 가상의 점에 대응한다. 이러한 무한 원의 도입은 사영 변환을 자연스럽게 표현하는 데 본질적이며, 컴퓨터 시각의 핀홀 카메라 모델과 호모그래피 변환은 이 사영 기하학적 구조를 직접 활용한다.

9. 사영 변환과 호모그래피

동차 좌표는 일반적인 사영 변환을 행렬 곱으로 표현할 수 있게 한다. $n$ 차원 공간의 사영 변환은 $(n+1) \times (n+1)$ 행렬로 표현된다.

$\tilde{\mathbf{p}}' = H \tilde{\mathbf{p}}$

여기서 $H$ 는 영이 아닌 스칼라 곱에 대해 동치인 행렬이며, $n+1$ 차원 행렬이지만 실질적인 자유도는 $(n+1)^2 - 1$ 이다. 이러한 사영 변환은 일반적으로 직선을 직선으로, 평면을 평면으로 보존하지만 거리와 각은 보존하지 않는다. 강체 변환, 닮음 변환, 아핀 변환, 사영 변환은 모두 이 일반적 틀의 특수한 경우이다.

10. 변환의 위계

동차 좌표 표현을 통해 다양한 기하학적 변환을 행렬 형태의 위계로 정리할 수 있다.

변환 종류	자유도(2차원)	자유도(3차원)	보존하는 양
강체 변환	3	6	거리, 각, 평행성, 직선성
닮음 변환	4	7	각, 평행성, 직선성
아핀 변환	6	12	평행성, 직선성, 비율
사영 변환	8	15	직선성, 교차비

각 위계는 상위 위계의 특수 경우이며, 동차 좌표는 이 모든 변환을 통일적으로 표현하는 표준적 수단을 제공한다.

11. 정규화의 필요성과 수치적 고려

동차 좌표는 임의의 영이 아닌 스칼라 배에 대해 동치이지만, 수치 계산에서는 표준 형태로의 정규화가 중요하다. 정규화 단계에서 마지막 성분으로의 나눗셈이 영에 가까워지면 수치적 불안정이 발생할 수 있으며, 이는 사영 변환에서 무한 원에 가까운 점을 다룰 때 나타난다. 동차 좌표의 동치 관계를 보존하는 연산을 수행하는 한, 사영 공간에서의 계산은 일관성을 유지한다.

12. 로봇공학에서의 필요성

12.1 강체 변환의 통일적 표현

로봇공학의 모든 좌표계 변환과 강체 운동은 동차 변환 행렬로 표현된다. 베이스 좌표계에서 말단 효과기 좌표계까지의 변환, 다관절 로봇의 사슬 변환, 도구 좌표계의 부착, 작업물의 자세 표현 등이 모두 단일한 행렬 형태로 다루어진다.

12.2 정기구학의 명료한 표현

다관절 매니퓰레이터의 정기구학은 인접 링크 사이의 동차 변환을 차례로 합성하는 형태로 기술된다.

$^0 T_n = {}^0 T_1(\theta_1) \cdot {}^1 T_2(\theta_2) \cdots {}^{n-1} T_n(\theta_n)$

각 인접 변환이 동차 변환 행렬이므로, 합성은 단순한 행렬 곱이 된다. DH 매개 변수는 이러한 인접 변환을 표준화된 형태로 표현하는 약속이다.

12.3 카메라 모델과 영상 형성

핀홀 카메라 모델은 본질적으로 사영 변환이며, 동차 좌표를 사용하여 단일 행렬

$\tilde{\mathbf{u}} = K [R \;\; \mathbf{t}] \tilde{\mathbf{X}}$

로 표현된다. 여기서 $K$ 는 내부 매개 변수 행렬, $[R \; \mathbf{t}]$ 는 외부 매개 변수, $\tilde{\mathbf{X}}$ 는 세계 좌표의 동차 표현이다. 이 표현은 컴퓨터 시각과 시각 기반 로봇 제어의 토대이다.

12.4 컴퓨터 그래픽스와 시뮬레이션

로봇 시뮬레이션과 시각화 시스템에서는 모델 변환, 시점 변환, 사영 변환, 시점 변환을 모두 동차 변환 행렬로 처리한다. 그래픽스 파이프라인에서의 모든 변환이 동차 좌표를 사용하므로, 로봇 모델과 환경의 표현이 그래픽스 파이프라인과 자연스럽게 호환된다.

12.5 상태 표현과 SLAM

동시 위치 추정과 지도 작성에서 로봇의 자세는 동차 변환 행렬 또는 그에 대응하는 매개 변수화로 표현되며, 지도 점들의 위치도 동차 좌표로 기술된다. 이는 자세 그래프의 노드와 간선이 일관된 수학적 객체로 다루어지도록 한다.

12.6 충돌 검사와 운동 계획

운동 계획 알고리즘에서 로봇 형상의 변환과 환경 객체의 변환이 모두 동차 변환으로 표현되며, 충돌 검사는 변환된 형상들 사이의 기하학적 검사로 환원된다. 동차 변환의 사용은 기하학적 알고리즘과 운동 계획의 자연스러운 접점을 형성한다.

참고문헌

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