6.61 선형 변환의 행렬 표현

1. 도입

선형 변환과 행렬 사이에는 본질적인 일대일 대응이 존재한다. 유한 차원 벡터 공간 사이의 임의의 선형 변환은 정의역과 공역의 기저가 고정되면 유일한 행렬에 의하여 완전히 표현되며, 반대로 임의의 행렬은 표준 기저에 대한 선형 변환으로 자연스럽게 해석된다. 이러한 대응은 추상적 선형 사상에 구체적 계산 도구를 부여하며, 동시에 행렬 이론을 추상적 의미와 결부 짓는 수단을 제공한다. 이 절에서는 선형 변환의 행렬 표현을 유도하는 표준적 방법, 정의역과 공역에서 서로 다른 기저를 사용하는 일반적 경우, 사상의 합성과 행렬 곱셈의 동치성, 표현의 유일성과 충실성, 그리고 로봇공학에서의 활용을 다룬다.

2. 행렬 표현의 동기

선형 변환 $T : V \to W$ 가 주어졌을 때, $V$ 의 기저 $\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 의 각 기저 벡터에 대한 $T$ 의 작용을 알면 정의역의 모든 벡터에 대한 $T$ 의 작용이 결정된다. 임의의 $\mathbf{x} \in V$ 가

$\mathbf{x} = \sum_{j=1}^{n} c_j \mathbf{v}_j$

로 유일하게 표현되면, 선형성에 의하여

$T(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{n} c_j T(\mathbf{v}_j)$

가 성립한다. 따라서 $T$ 를 완전히 결정하는 데 필요한 정보는 $n$ 개의 벡터 $T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \ldots, T(\mathbf{v}_n)$ 이다. 이 벡터들을 공역의 기저로 표현하여 정렬하면 행렬이 자연스럽게 형성된다.

3. 행렬 표현의 정의

정의. $V$ , $W$ 가 유한 차원 벡터 공간이고 $\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 이 $V$ 의 기저, $\mathcal{C} = \{\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_m\}$ 이 $W$ 의 기저라 하자. 선형 변환 $T : V \to W$ 의 기저 $\mathcal{B}$ , $\mathcal{C}$ 에 대한 행렬 표현을

$[T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} = [\,[T(\mathbf{v}_1)]_{\mathcal{C}} \;\; [T(\mathbf{v}_2)]_{\mathcal{C}} \;\; \cdots \;\; [T(\mathbf{v}_n)]_{\mathcal{C}}\,] \in \mathbb{R}^{m \times n}$

으로 정의한다. 여기서 $[\mathbf{u}]_{\mathcal{C}}$ 는 벡터 $\mathbf{u}$ 의 기저 $\mathcal{C}$ 에 대한 좌표 벡터이다. 즉, 행렬 표현의 $j$ 번째 열은 $T(\mathbf{v}_j)$ 를 공역 기저 $\mathcal{C}$ 로 표현한 좌표이다.

4. 좌표 벡터를 통한 작용

좌표 벡터를 매개로 하면 선형 변환의 작용은 행렬-벡터 곱으로 환원된다.

정리. 임의의 $\mathbf{x} \in V$ 에 대하여

$[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{C}} = [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} \, [\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}$

가 성립한다.

증명. $[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} = (c_1, c_2, \ldots, c_n)^\top$ 라 하면 $\mathbf{x} = \sum_j c_j \mathbf{v}_j$ 이고

$T(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^{n} c_j T(\mathbf{v}_j)$

이다. 양변에 좌표 사상 $[\,\cdot\,]_{\mathcal{C}}$ 를 적용하고, 좌표 사상의 선형성을 이용하면

$[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{C}} = \sum_{j=1}^{n} c_j [T(\mathbf{v}_j)]_{\mathcal{C}} = [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} \, [\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}$

가 성립한다. $\blacksquare$

이 정리는 추상적 선형 사상의 적용을 좌표계 안에서의 행렬-벡터 곱으로 환원하며, 이는 기호 계산과 수치 계산 모두의 기초가 된다.

5. 표준 기저와 표준 행렬

$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 가 선형 변환이고 정의역과 공역에 모두 표준 기저를 사용하는 경우, 행렬 표현은 다음과 같이 단순화된다.

$A = [\,T(\mathbf{e}_1) \;\; T(\mathbf{e}_2) \;\; \cdots \;\; T(\mathbf{e}_n)\,]$

여기서 $\mathbf{e}_j$ 는 표준 기저의 $j$ 번째 단위 벡터이다. 이 행렬을 $T$ 의 표준 행렬(standard matrix)이라 하며, 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ 가 성립한다. 표준 행렬은 행렬과 선형 변환의 가장 직접적이고 빈번하게 사용되는 대응 형태이다.

6. 표현의 유일성

정리. 정의역과 공역의 기저가 고정되면, 임의의 선형 변환은 유일한 행렬 표현을 가진다. 역으로 임의의 행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 는 정의역과 공역의 좌표계에서 유일한 선형 변환을 정의한다.

이 정리는 선형 변환과 행렬 사이의 자연스러운 대응을 정식화하며, 두 개념을 본질적으로 동일하게 다룰 수 있는 근거가 된다. 그러나 행렬 표현은 기저의 선택에 의존하므로, 동일한 선형 변환이 서로 다른 기저에 대하여 서로 다른 행렬로 표현될 수 있음에 주의한다.

7. 사상의 합성과 행렬 곱셈

선형 변환의 합성과 행렬 곱셈은 자연스럽게 호환된다. $T : V \to W$ , $S : W \to U$ 가 선형 변환이고 $\mathcal{B}$ , $\mathcal{C}$ , $\mathcal{D}$ 가 각각 $V$ , $W$ , $U$ 의 기저라 하면 다음이 성립한다.

$[S \circ T]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{B}} = [S]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{C}} \, [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$

증명 개요. 임의의 $\mathbf{x} \in V$ 에 대하여 좌표 표현으로 환원하면

$[(S \circ T)(\mathbf{x})]_{\mathcal{D}} = [S(T(\mathbf{x}))]_{\mathcal{D}} = [S]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{C}} [T(\mathbf{x})]_{\mathcal{C}} = [S]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{C}} [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}$

이고, 표현의 유일성으로부터 등식이 성립한다. $\blacksquare$

이 등식은 행렬 곱셈의 결합 법칙을 사상의 합성의 결합 법칙과 일치시키며, 행렬 곱이 단순한 기호적 약속이 아니라 구조적 필연성을 가진 연산임을 보여 준다.

8. 항등 사상과 영 사상의 표현

특수한 두 선형 변환의 행렬 표현은 다음과 같다.

항등 사상 $I : V \to V$ 의 임의의 기저 $\mathcal{B}$ 에 대한 표현은 단위 행렬이다: $[I]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}} = I_n$ .
영 사상 $0 : V \to W$ 의 임의의 기저 쌍에 대한 표현은 영 행렬이다.

또한 $V$ 에서 자기 자신으로의 항등 사상을 서로 다른 두 기저 $\mathcal{B}$ 와 $\mathcal{B}'$ 로 표현하면 기저 변환 행렬을 얻는다.

$[I]_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}}$

이 행렬은 좌표 사이의 변환을 수행하는 행렬이며, 동일한 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 표현을 결합하는 데 사용된다.

9. 가역성과 역 변환의 표현

선형 변환 $T : V \to W$ 가 가역인 경우 $V$ 와 $W$ 의 차원은 같으며, 그 행렬 표현은 정사각 가역 행렬이다.

$[T^{-1}]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = ([T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1}$

이는 행렬의 역 연산이 선형 변환의 역 연산을 정확히 표현함을 보여 준다.

10. 표현 사상과 동형성

기저 $\mathcal{B}$ , $\mathcal{C}$ 가 고정될 때, 사상

$\Phi : \mathcal{L}(V, W) \to \mathbb{R}^{m \times n}, \qquad \Phi(T) = [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}$

은 선형 사상의 공간 $\mathcal{L}(V, W)$ 에서 행렬 공간 $\mathbb{R}^{m \times n}$ 으로의 동형 사상이다. 이 사상은 다음의 성질을 가진다.

일대일 대응이다.
가법성: $\Phi(T_1 + T_2) = \Phi(T_1) + \Phi(T_2)$ .
동질성: $\Phi(\alpha T) = \alpha \Phi(T)$ .
합성과 곱의 호환성: $\Phi(S \circ T) = \Phi(S) \cdot \Phi(T)$ .

따라서 선형 사상의 공간 $\mathcal{L}(V, W)$ 의 차원은 $\dim V \cdot \dim W$ 이며, 행렬 공간과 본질적으로 동일하다.

11. 비표준 기저에서의 표현

기저의 선택은 행렬 표현의 형태를 결정하며, 적절한 기저를 선택하면 행렬이 단순화될 수 있다. 다음은 대표적 예시이다.

대각화: 선형 변환의 고유 벡터들로 구성된 기저에 대해서는 행렬 표현이 대각 행렬이 된다(대각화 가능한 경우).
조르단 표준형: 일반적 선형 변환에 대하여 적절한 기저를 선택하면 행렬 표현이 조르단 블록의 직합 형태가 된다.
직교 표준형: 대칭 변환은 정규 직교 기저에 대하여 대각 행렬로 표현된다(스펙트럼 정리).

이러한 결과들은 적절한 기저 변환이 선형 변환의 본질적 구조를 더 명료하게 드러냄을 보여 준다.

12. 추상 공간에서의 예시

선형 변환의 행렬 표현은 추상적 벡터 공간에 대해서도 동일한 방식으로 적용된다.

다항식 공간의 미분. $D : P_n \to P_{n-1}$ , $D(p) = p'$ 의 표준 단항식 기저에 대한 표현은 차수가 한 단계 낮은 단항식의 계수에 차수를 곱한 값으로 구성된 직사각 행렬이다.
다항식 공간의 평가 사상. 특정 점에서 다항식을 평가하는 사상은 1차원 공역으로의 선형 사상이며, 행렬 표현은 단일 행 행렬이 된다.
함수 공간의 적분 작용소. 유한 차원 함수 부분 공간으로 제한하면 적분 작용소도 행렬로 표현되며, 이는 수치적 적분 기법의 토대가 된다.

13. 좌표 변환과 표현 사이의 관계

같은 선형 변환을 두 가지 다른 기저 쌍으로 표현하면 두 행렬 표현은 기저 변환 행렬에 의하여 연결된다. $T : V \to V$ 의 두 표현 $[T]_{\mathcal{B}}$ 와 $[T]_{\mathcal{B}'}$ 사이에는

$[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} [T]_{\mathcal{B}} P$

가 성립한다. 여기서 $P = [I]_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}$ 는 기저 변환 행렬이다. 이 관계는 닮음 변환의 형태를 가지며, 동일한 선형 변환의 모든 행렬 표현이 닮음 동치류를 형성함을 보여 준다.

14. 로봇공학에서의 의미

14.1 좌표계 사이의 강체 변환

로봇공학에서 한 좌표계의 좌표 표현을 다른 좌표계의 표현으로 옮기는 사상은 본질적으로 선형 변환(또는 동차 좌표에서의 아핀 변환)이며, 그 행렬 표현이 회전 행렬과 동차 변환 행렬이다. 기저 선택이 곧 좌표계 선택에 해당하며, 표현 행렬의 변화는 좌표계의 변경에 정확히 대응한다.

14.2 자코비안 행렬

매니퓰레이터의 미분 기구학에서 관절 속도와 작업 속도를 연결하는 사상은 선형 사상이며, 그 행렬 표현이 자코비안 행렬이다. 자코비안의 표현은 작업 좌표계의 선택에 의존하며, 좌표계가 바뀌면 자코비안도 그에 맞추어 변환된다.

14.3 관성 텐서의 좌표 변환

강체의 관성 텐서는 본질적으로 각운동량과 각속도 사이의 선형 변환이며, 그 행렬 표현은 좌표계에 따라 달라진다. 다른 좌표계에서의 관성 행렬은 회전 행렬을 이용한 닮음 변환으로 얻어진다.

14.4 측정 모델의 행렬 표현

상태 추정에서 측정 사상이 선형인 경우 그 행렬 표현이 측정 행렬이며, 비선형인 경우에는 자코비안을 통한 국소 선형화로 행렬 표현이 도입된다. 이는 칼만 필터와 확장 칼만 필터의 핵심 구조이다.

14.5 제어 입력 사상

제어 입력에서 시스템 상태로의 사상이 선형인 경우, 그 표현은 입력 행렬 $B$ 로 주어진다. 입력 행렬의 형태는 액추에이터 배치와 좌표계 선택에 의존하며, 시스템의 가제어성 분석은 이 행렬과 시스템 행렬의 곱으로 구성된 가제어 행렬의 랭크 분석으로 환원된다.

참고문헌

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