6.59 선형 변환의 핵과 상

1. 도입

선형 변환의 구조를 이해하기 위해서는 그 변환이 어떤 입력을 영 벡터로 보내는지, 그리고 그 변환의 출력이 공역 안에서 어떤 부분 집합을 형성하는지를 파악하는 것이 본질적이다. 이러한 두 부분 공간이 각각 핵(kernel)과 상(image)이며, 선형 변환의 단사성, 전사성, 가역성, 해의 존재성과 유일성에 관한 모든 정보가 이 두 부분 공간의 성질에 함축되어 있다. 이 절에서는 핵과 상의 정의, 부분 공간으로서의 성질, 단사성·전사성과의 관계, 행렬 표현과의 대응, 그리고 로봇공학에서 가지는 의미를 체계적으로 다룬다.

2. 핵의 정의

벡터 공간 $V$ , $W$ 사이의 선형 변환 $T : V \to W$ 에 대하여, $T$ 의 핵을 다음과 같이 정의한다.

$\ker(T) = \{ \mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W \}$

즉, 핵은 정의역의 벡터 가운데 변환에 의하여 공역의 영 벡터로 옮겨지는 모든 벡터의 집합이다. 핵은 영 공간(null space)이라고도 불리며, 행렬 $A$ 에 대응하는 선형 변환의 경우 $\ker(T) = \mathcal{N}(A) = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$ 로 표현된다.

3. 상의 정의

선형 변환 $T : V \to W$ 의 상을 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm{im}(T) = T(V) = \{ T(\mathbf{v}) : \mathbf{v} \in V \} \subseteq W$

상은 공역의 부분 집합 가운데 정의역의 어떤 원소가 그곳으로 사상되는 모든 점의 집합이다. 행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 에 대응하는 선형 변환의 경우 $\mathrm{im}(T) = \mathcal{R}(A)$ 이며, 이는 $A$ 의 열 벡터들로 생성되는 부분 공간이다.

4. 핵과 상의 부분 공간성

정리. $T : V \to W$ 가 선형 변환이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$\ker(T)$ 는 $V$ 의 부분 공간이다.
$\mathrm{im}(T)$ 는 $W$ 의 부분 공간이다.

증명 개요. 핵의 경우, $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \ker(T)$ 이면 $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ 이고, 임의의 스칼라 $\alpha$ 에 대하여 $T(\alpha \mathbf{u}) = \alpha T(\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ 이다. 또한 $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$ 이므로 $\mathbf{0}_V \in \ker(T)$ 이다. 상의 경우, $\mathbf{w}_1 = T(\mathbf{v}_1)$ , $\mathbf{w}_2 = T(\mathbf{v}_2) \in \mathrm{im}(T)$ 이면 $\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = T(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) \in \mathrm{im}(T)$ 이고, $\alpha \mathbf{w}_1 = T(\alpha \mathbf{v}_1) \in \mathrm{im}(T)$ 이다. $\blacksquare$

따라서 핵과 상은 각각 정의역과 공역의 부분 공간 구조를 가지며, 이로부터 차원, 기저, 직교성과 같은 모든 부분 공간 개념이 자연스럽게 적용된다.

5. 단사성과 핵의 관계

선형 변환의 단사성은 핵의 자명성과 동치이다.

정리. 선형 변환 $T : V \to W$ 가 단사일 필요충분조건은 $\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$ 인 것이다.

증명. ( $\Rightarrow$ ) $T$ 가 단사이고 $\mathbf{v} \in \ker(T)$ 이면 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} = T(\mathbf{0})$ 이므로 단사성에 의하여 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 이다. ( $\Leftarrow$ ) $\ker(T) = \{\mathbf{0}\}$ 이고 $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v})$ 이면 $T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{u} - \mathbf{v} \in \ker(T) = \{\mathbf{0}\}$ 이고, 따라서 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$ 이다. $\blacksquare$

이 결과는 단사성 판정을 핵의 계산으로 환원시키며, 행렬의 경우 단사성은 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 이 자명해만을 가지는 것과 동치이다.

6. 전사성과 상의 관계

선형 변환의 전사성은 상이 공역 전체와 일치하는 것과 동치이다.

정리. 선형 변환 $T : V \to W$ 가 전사일 필요충분조건은 $\mathrm{im}(T) = W$ 인 것이다.

이 진술은 정의 그 자체이지만, 유한 차원 공역의 경우 차원의 비교를 통하여 효율적으로 판정될 수 있다. 즉, $\dim W$ 가 유한한 경우 $\mathrm{im}(T) \subseteq W$ 이고 $\dim \mathrm{im}(T) = \dim W$ 이면 $\mathrm{im}(T) = W$ 이다.

7. 가역성의 특성화

유한 차원 공간 사이의 선형 변환에서 단사성, 전사성, 가역성의 관계는 다음과 같이 정리된다.

정리. $\dim V = \dim W < \infty$ 인 경우, 선형 변환 $T : V \to W$ 에 대하여 다음 명제는 모두 동치이다.

$T$ 는 가역이다.
$T$ 는 단사이다.
$T$ 는 전사이다.
$\ker(T) = \{\mathbf{0}\}$ .
$\mathrm{im}(T) = W$ .

이 동치 관계는 정사각 행렬의 가역성에 관한 핵심 정리에 그대로 대응한다. 그러나 정의역과 공역의 차원이 다를 경우 단사성과 전사성은 분리되며, 각각 독립적으로 판정되어야 한다.

8. 해의 존재성과 유일성

선형 방정식 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{b}$ 의 해 구조는 핵과 상에 의하여 완전히 기술된다.

해의 존재성: $\mathbf{b} \in \mathrm{im}(T)$ 일 필요충분조건이다.
해의 유일성: 존재하는 해가 유일할 필요충분조건은 $\ker(T) = \{\mathbf{0}\}$ 인 것이다.
일반해의 구조: 특수해 $\mathbf{x}_p$ 가 주어진 경우, 일반해는 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$ 의 형태를 가진다. 여기서 $\mathbf{x}_h \in \ker(T)$ 이다.

이는 비동차 시스템의 해 집합이 핵을 따른 평행 이동, 즉 핵에 평행한 아핀 부분 공간임을 보여 주는 기하학적 해석을 제공한다.

9. 핵과 상의 행렬 표현 대응

선형 변환 $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 이 표준 기저에 대하여 행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 로 표현될 때, 핵과 상은 다음과 같이 대응한다.

$\ker(T) = \mathcal{N}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$

$\mathrm{im}(T) = \mathcal{R}(A) = \mathrm{span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n\}$

여기서 $\mathbf{a}_j$ 는 $A$ 의 $j$ 번째 열 벡터이다. 즉, 상은 행렬의 열 벡터들로 생성되는 부분 공간이며, 이로부터 $\dim \mathrm{im}(T) = \mathrm{rank}(A)$ 가 성립한다.

10. 핵과 상의 계산

핵과 상의 기저는 가우스 소거법 또는 행렬 분해를 통하여 명시적으로 계산된다.

핵의 기저: 행렬 $A$ 를 기약 행 사다리꼴로 변환한 후, 자유 변수에 차례로 단위값을 대입하여 얻은 해 벡터들이 핵의 기저를 형성한다.
상의 기저: 행렬의 기약 행 사다리꼴에서 선두 변수에 해당하는 원래 행렬의 열 벡터들이 상의 기저를 형성한다.
특이값 분해를 통한 표현: $A = U\Sigma V^\top$ 이고 $r = \mathrm{rank}(A)$ 인 경우, $\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_r\}$ 이 상의 정규 직교 기저를, $\{\mathbf{v}_{r+1}, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 이 핵의 정규 직교 기저를 형성한다.

특이값 분해를 이용한 방법은 수치적 안정성이 높아 부동 소수점 연산 환경에서 선호된다.

11. 추상 벡터 공간에서의 핵과 상

핵과 상의 개념은 행렬에 대응하지 않는 일반적 선형 변환에도 동일하게 적용된다. 다음의 예시들이 대표적이다.

미분 작용소: $D : C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R})$ , $D(f) = f'$ 의 핵은 상수 함수의 집합이며, 상은 $C^\infty(\mathbb{R})$ 전체이다.
적분 작용소: 적분 변환의 핵과 상은 함수 공간의 부분 공간을 형성하며, 함수 해석학에서 중심적 역할을 수행한다.
다항식 공간 사이의 사상: 차수를 증가시키거나 감소시키는 선형 사상의 핵과 상은 다항식의 차수 구조를 반영한다.

이 사례들은 핵과 상의 개념이 유한 차원 행렬을 넘어 추상 선형 대수학 전반에 걸쳐 통일된 도구임을 보여 준다.

12. 단사성과 전사성의 분리된 사례

정의역과 공역의 차원이 다른 경우 단사성과 전사성은 일반적으로 동시에 성립할 수 없다.

$\dim V > \dim W$ 이면 $T$ 는 결코 단사가 될 수 없다. 핵은 항상 비자명한 부분 공간을 포함한다.
$\dim V < \dim W$ 이면 $T$ 는 결코 전사가 될 수 없다. 상은 항상 $W$ 의 진부분 공간이다.
$\dim V = \dim W$ 인 경우에만 단사성과 전사성이 동치가 된다.

이러한 차원 의존성은 부족 결정 시스템과 과결정 시스템의 본질적 차이를 설명하며, 후자에서는 최소 제곱 해, 전자에서는 최소 노름 해와 같은 일반화된 해 개념이 도입되는 근거가 된다.

13. 합성 변환의 핵과 상

선형 변환 $T_1 : V \to W$ 와 $T_2 : W \to U$ 의 합성 $T_2 \circ T_1$ 에 대하여 다음의 포함 관계가 성립한다.

$\ker(T_1) \subseteq \ker(T_2 \circ T_1), \qquad \mathrm{im}(T_2 \circ T_1) \subseteq \mathrm{im}(T_2)$

이 관계는 합성을 거듭함에 따라 핵이 확대되고 상이 축소될 수 있음을 보여 주며, 등호가 성립하는 조건은 $T_1$ 과 $T_2$ 의 상호 작용에 의존한다.

14. 직합과 보충 부분 공간

선형 변환의 핵은 정의역의 부분 공간이므로 핵을 보충하는 부분 공간을 선택할 수 있다. 즉, 정의역을 $V = \ker(T) \oplus V_0$ 로 분해하면, $T$ 를 $V_0$ 로 제한한 사상은 $\ker(T) \cap V_0 = \{\mathbf{0}\}$ 에 의하여 단사가 되며, $V_0$ 와 $\mathrm{im}(T)$ 사이의 동형 사상을 제공한다. 이는 선형 변환의 표준 분해 정리의 토대이다.

15. 핵과 상의 직교성

내적 공간의 경우 핵과 상은 부분 공간 사이의 직교 관계와 결합된다. 행렬 $A$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathcal{N}(A)^\perp = \mathcal{R}(A^\top), \qquad \mathcal{R}(A)^\perp = \mathcal{N}(A^\top)$

이는 정의역 $\mathbb{R}^n$ 이 행 공간과 영 공간의 직교 직합으로, 공역 $\mathbb{R}^m$ 이 열 공간과 좌영 공간의 직교 직합으로 분해됨을 의미한다.

16. 로봇공학에서의 의미

16.1 자코비안 사상의 핵과 상

매니퓰레이터의 미분 기구학에서 자코비안 행렬 $J(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 은 관절 속도 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서 작업 속도 공간 $\mathbb{R}^m$ 으로의 선형 사상으로 작용한다.

자코비안의 핵: 말단 장치에 영 속도를 발생시키는 관절 속도의 집합으로, 여유 자유도 매니퓰레이터의 내부 운동과 자기 운동을 표현한다.
자코비안의 상: 현재 자세에서 말단 장치가 순간적으로 발생시킬 수 있는 모든 작업 속도의 집합으로, 가조작성과 특이점 분석의 핵심 정보를 제공한다.

핵의 차원이 양수인 경우 같은 말단 운동을 만드는 다양한 관절 운동이 존재하며, 이는 부차 작업 최적화의 자유도를 제공한다. 상의 차원이 $m$ 보다 작은 경우 매니퓰레이터는 특이 형상에 있으며, 일부 작업 속도가 즉시 실현 불가능하다.

16.2 가관측성과 가제어성

선형 시간 불변 시스템 $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}$ , $\mathbf{y} = C\mathbf{x}$ 의 가관측성과 가제어성은 가관측 행렬과 가제어 행렬의 핵과 상의 성질로 특성화된다. 가제어성은 가제어 행렬의 상이 상태 공간 전체와 일치하는 것과 동치이며, 가관측성은 가관측 행렬의 핵이 자명한 것과 동치이다. 이는 상태 추정기와 제어기 설계의 본질적 전제 조건을 제공한다.

16.3 측정 모델과 식별 가능성

상태 추정과 매개 변수 식별 문제에서 측정 사상 $\mathbf{y} = H\mathbf{x}$ 의 핵은 측정으로부터 구별할 수 없는 상태의 모호성을 표현한다. 핵이 자명하지 않으면 해당 부분 공간의 성분은 측정으로부터 복원될 수 없으며, 이는 식별 가능성 분석과 센서 배치 설계의 출발점이 된다.

16.4 제약 운동과 가능 운동 공간

기구학적 제약 또는 환경 접촉 제약을 받는 로봇의 가능 운동은 제약 자코비안의 핵으로 표현된다. 제약을 위반하지 않는 운동은 모두 이 핵 안에 존재하며, 이 부분 공간의 차원이 시스템에 남은 자유도를 결정한다.

16.5 폐쇄 사슬 기구의 변형 모드

폐쇄 사슬 메커니즘의 미세 변형 분석에서 변형 사상의 핵은 메커니즘이 응력 없이 가질 수 있는 영 모드 운동을 나타낸다. 영 모드의 존재 여부와 차원은 메커니즘의 안정성과 가동성을 진단하는 척도이다.

참고문헌

Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
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