6.4 기저와 차원의 개념

1. 기저의 정의

기저(basis)는 벡터 공간의 구조를 결정하는 가장 핵심적인 개념이다. 벡터 공간 $V$ 의 기저는 $V$ 를 생성(span)하면서 동시에 선형 독립(linearly independent)인 벡터의 집합이다.

정의 6.4.1 (기저). 벡터 공간 $V$ 의 벡터 집합 $\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n\}$ 이 다음 두 조건을 동시에 만족하면 $\mathcal{B}$ 를 $V$ 의 기저라 한다 (Axler, 2024).

생성 조건: $V = \text{span}(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n)$ , 즉 $V$ 의 모든 벡터가 $\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n$ 의 선형 결합으로 표현된다.
선형 독립 조건: $c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n = \mathbf{0}$ 이면 $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$ 이다.

기저의 두 조건을 하나로 결합하면 다음의 동치 조건을 얻는다.

정리 6.4.1 (기저의 동치 조건). $\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\}$ 이 $V$ 의 기저일 필요충분조건은 $V$ 의 모든 벡터 $\mathbf{v}$ 가 $\mathcal{B}$ 의 원소들의 선형 결합으로 유일하게 표현되는 것이다. 즉, 임의의 $\mathbf{v} \in V$ 에 대하여

$\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n$

을 만족하는 스칼라 $c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{F}$ 가 유일하게 존재한다.

증명. ( $\Rightarrow$ ) 생성 조건에 의해 표현이 존재한다. 두 표현 $\mathbf{v} = \sum_i c_i \mathbf{b}_i = \sum_i d_i \mathbf{b}_i$ 가 존재하면 $\sum_i (c_i - d_i) \mathbf{b}_i = \mathbf{0}$ 이다. 선형 독립에 의해 $c_i - d_i = 0$ , 즉 $c_i = d_i$ 이므로 표현은 유일하다. ( $\Leftarrow$ ) 유일한 표현이 존재하면 생성 조건은 자명하다. 선형 독립을 보이기 위해 $\sum_i c_i \mathbf{b}_i = \mathbf{0}$ 이라 하면, $\mathbf{0} = \sum_i 0 \cdot \mathbf{b}_i$ 라는 자명한 표현이 존재하므로 유일성에 의해 $c_i = 0$ 이다. $\square$

스칼라 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 을 벡터 $\mathbf{v}$ 의 기저 $\mathcal{B}$ 에 대한 좌표(coordinates)라 하며, 좌표 벡터(coordinate vector)를 $[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = (c_1, c_2, \ldots, c_n)^\top$ 으로 표기한다.

표준 기저

$\mathbb{R}^n$ 의 표준 기저(standard basis)는 $\mathcal{E} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ 이며, $\mathbf{e}_i$ 는 제 $i$ 성분만 1이고 나머지는 모두 0인 벡터이다.

$\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \ldots, \quad \mathbf{e}_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$

표준 기저에 대한 벡터 $\mathbf{v}$ 의 좌표는 $\mathbf{v}$ 의 성분 자체이다: $\mathbf{v} = v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + \cdots + v_n\mathbf{e}_n$ . 로봇공학에서 $\mathbb{R}^3$ 의 표준 기저는 $x$ , $y$ , $z$ 축 방향의 단위 벡터에 대응하며, 좌표계의 축 방향을 정의하는 기본 도구이다.

2. 기저의 비유일성

벡터 공간의 기저는 유일하지 않다. $\mathbb{R}^2$ 를 예로 들면, $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$ 외에도 $\{(1, 1)^\top, (1, -1)^\top\}$ 이나 $\{(2, 0)^\top, (0, 3)^\top\}$ 등 무수히 많은 기저가 존재한다. 로봇공학에서 좌표계의 선택은 곧 기저의 선택에 해당하며, 문제의 성격에 따라 적절한 기저(좌표계)를 선택하는 것이 해석과 계산의 효율성에 큰 영향을 미친다.

3. 차원의 정의

벡터 공간의 차원(dimension)은 기저를 구성하는 벡터의 개수이다.

정리 6.4.2 (차원의 유일성). 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 모든 기저는 동일한 개수의 벡터를 가진다.

이 정리에 의해 기저의 원소 수는 기저의 선택에 무관하게 결정되며, 이를 $V$ 의 차원이라 정의한다.

정의 6.4.2 (차원). 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 차원 $\dim(V)$ 는 $V$ 의 임의의 기저에 포함된 벡터의 개수이다.

대표적인 벡터 공간의 차원은 다음과 같다.

벡터 공간	차원	설명
$\mathbb{R}^n$	$n$	$n$ 차원 실수 벡터 공간
$\mathbb{R}^{m \times n}$	$mn$	$m \times n$ 행렬 공간
$\mathcal{P}_k$	$k + 1$	차수 $k$ 이하의 다항식 공간
$\text{Sym}(n)$	$n(n+1)/2$	$n \times n$ 대칭 행렬 공간
$\text{Skew}(n)$	$n(n-1)/2$	$n \times n$ 반대칭 행렬 공간
$\{\mathbf{0}\}$	$0$	영 공간

4. 차원에 관한 기본 정리

정리 6.4.3. $n$ 차원 벡터 공간 $V$ 에서 다음이 성립한다.

(i) $n$ 개보다 많은 벡터의 집합은 선형 종속이다.

(ii) $n$ 개보다 적은 벡터의 집합은 $V$ 를 생성할 수 없다.

(iii) $n$ 개의 선형 독립 벡터의 집합은 반드시 $V$ 의 기저이다.

(iv) $V$ 를 생성하는 $n$ 개 벡터의 집합은 반드시 $V$ 의 기저이다.

이 정리는 기저를 구성할 때 “적절한 수“의 벡터가 필요함을 보장하며, 선형 독립 조건 또는 생성 조건 중 하나만 확인하면 나머지가 자동으로 보장되는 경우를 제시한다.

정리 6.4.4 (부분 공간의 차원 부등식). $V$ 의 부분 공간 $W$ 에 대하여 $\dim(W) \leq \dim(V)$ 이며, 등호가 성립하면 $W = V$ 이다.

5. 부분 공간의 차원 공식

정리 6.4.5 (차원 공식). 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 두 부분 공간 $W_1$ 과 $W_2$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$

특히, $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$ 이면(직합) $\dim(W_1 \oplus W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2)$ 이다.

기저와 차원의 로봇공학적 의의

자유도와 차원의 관계

로봇 시스템의 자유도(degree of freedom, DOF)는 독립적으로 제어 가능한 운동 변수의 수를 의미하며, 수학적으로 형상 공간(configuration space)의 차원에 해당한다. $n$ 개의 독립 관절을 가진 로봇 매니퓰레이터의 관절 공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분 집합으로 모델링되며, 그 차원은 $n$ 이다.

6자유도 로봇의 경우, 관절 공간의 차원은 6이며, 3차원 공간에서 말단 장치의 위치(3차원)와 자세(3차원)를 모두 독립적으로 지정할 수 있다. 7자유도 이상의 여유 자유도 로봇에서는 자코비안 행렬의 영 공간이 비자명(nontrivial)하며, 그 차원 $\dim(\text{null}(J)) = n - \text{rank}(J) \geq 1$ 은 자기 운동(self-motion)의 자유도를 나타낸다.

행렬의 랭크와 차원

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 의 랭크(rank)는 열 공간 $\text{col}(A)$ 의 차원, 즉 $\text{rank}(A) = \dim(\text{col}(A))$ 이다. 행의 랭크와 열의 랭크는 항상 동일하며, 이를 행렬의 랭크라 한다.

$\text{rank}(A) = \dim(\text{col}(A)) = \dim(\text{row}(A))$

로봇공학에서 자코비안 행렬의 랭크는 현재 형상에서 말단 장치가 달성할 수 있는 독립적인 속도 방향의 수를 나타낸다. 자코비안의 랭크가 최대값보다 작아지는 형상을 특이점(singularity)이라 하며, 이 특이점에서 로봇은 특정 방향으로의 운동 능력을 상실한다.

5.1 랭크-널리티 정리

정리 6.4.6 (랭크-널리티 정리). 행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$

여기서 $\text{nullity}(A) = \dim(\text{null}(A))$ 이다.

이 정리는 로봇공학에서 자코비안 행렬에 적용될 때, 작업 공간에서의 독립 운동 방향의 수(랭크)와 내부 자유도의 수(널리티)의 합이 총 관절 수와 같음을 보장한다. 이 관계는 여유 자유도 로봇의 역기구학 해석에서 해의 구조를 이해하는 데 본질적으로 활용된다.

좌표계 변환과 기저 변환

로봇공학에서 좌표계의 전환은 벡터 공간에서의 기저 변환에 해당한다. 기저 $\mathcal{B}_1$ 에서의 좌표 $[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}_1}$ 를 기저 $\mathcal{B}_2$ 에서의 좌표 $[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}_2}$ 로 변환하는 것은 기저 변환 행렬(change of basis matrix) $P$ 를 이용하여 다음과 같이 수행된다.

$[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}_2} = P [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}_1}$

로봇의 서로 다른 좌표계(월드 좌표계, 로봇 좌표계, 센서 좌표계) 간의 변환은 이 기저 변환의 구체적 적용이다. 회전 행렬 $R$ 은 직교 정규 기저 간의 변환 행렬로 해석되며, $R$ 의 열벡터는 원래 좌표계의 기저 벡터를 새 좌표계에서 표현한 것이다.

참고문헌

Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Springer.
Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2021). Linear Algebra and Its Applications (6th ed.). Pearson.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.

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