6.33 고유 공간과 고유벡터의 기하학적 해석

1. 고유 공간의 정의

정사각 행렬 A \in \mathbb{R}^{n \times n}의 고유값 \lambda에 대응하는 고유벡터들의 집합에 영벡터를 더한 부분집합을 고유 공간(eigenspace)이라 한다. 형식적으로 고유값 \lambda의 고유 공간 E_\lambda는 다음과 같이 정의된다.

E_\lambda = \{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \} = \ker(A - \lambda I)

이 집합은 행렬 A - \lambda I의 영 공간(null space)과 일치하므로, 고유 공간은 \mathbb{R}^n의 부분 공간을 이룬다. 즉, 고유 공간은 영벡터를 포함하며 벡터의 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 특히 영벡터는 고유벡터로 간주되지 않으나 부분 공간의 성질을 만족시키기 위하여 E_\lambda에 포함된다.

2. 대수적 중복도와 기하학적 중복도

고유값 \lambda의 대수적 중복도(algebraic multiplicity) m_a(\lambda)는 특성 다항식 p_A(t) = \det(tI - A)에서 인수 (t-\lambda)가 나타나는 횟수로 정의된다. 반면 고유값 \lambda의 기하학적 중복도(geometric multiplicity) m_g(\lambda)는 고유 공간의 차원으로 정의된다.

m_g(\lambda) = \dim E_\lambda = n - \mathrm{rank}(A - \lambda I)

두 중복도 사이에는 다음의 부등식이 성립한다.

1 \leq m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)

이 부등식은 임의의 고유값에 대하여 적어도 하나의 일차 독립인 고유벡터가 존재하며, 동시에 그 개수가 대수적 중복도를 초과할 수 없음을 의미한다. 두 중복도가 일치하는 고유값을 반단순(semisimple) 고유값이라 한다.

3. 결함 행렬과 결함 고유값

특정 고유값에 대하여 m_g(\lambda) < m_a(\lambda)이 성립할 때 그 고유값을 결함(defective) 고유값이라 하며, 결함 고유값을 가지는 행렬을 결함 행렬이라 한다. 결함 행렬은 일차 독립인 고유벡터의 총 개수가 n 미만이므로 대각화가 불가능하다.

예를 들어 다음 행렬을 고려해보자.

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

특성 다항식은 p_A(t) = (t-2)^2이므로 고유값 \lambda = 2의 대수적 중복도는 2이다. 그러나

A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

의 랭크는 1이므로 고유 공간의 차원은 1이고, 기하학적 중복도는 1이다. 따라서 이 행렬은 결함 행렬이다.

4. 고유벡터의 기하학적 해석

고유벡터의 기하학적 의미는 선형 변환 T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, \mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}의 작용을 통하여 명확하게 드러난다. 고유벡터 \mathbf{v}는 변환 T_A에 의하여 방향이 보존되거나 정확히 반대 방향으로 뒤집히는 벡터이다. 즉, 고유벡터는 변환 후에도 자신이 생성하는 일차원 부분 공간 \mathrm{span}\{\mathbf{v}\} 위에 머무른다.

고유값 \lambda의 부호와 크기는 다음과 같은 기하학적 의미를 가진다.

• \lambda > 1인 경우, 변환은 고유벡터 방향으로 늘림(stretching)을 일으킨다.
• 0 < \lambda < 1인 경우, 변환은 고유벡터 방향으로 줄임(compression)을 일으킨다.
• \lambda = 1인 경우, 고유벡터는 변환에 의하여 불변이다.
• \lambda = 0인 경우, 고유벡터는 영벡터로 사상되며, 이는 행렬이 특이임을 의미한다.
• \lambda < 0인 경우, 고유벡터는 반대 방향으로 뒤집히고 \vert \lambda \vert의 비율로 크기가 변한다.
• \lambda가 복소수인 경우, 변환은 두 차원 부분 공간 위에서 회전과 크기 조절을 동시에 수행한다.

5. 고유 공간의 불변성

고유 공간 E_\lambda는 행렬 A의 작용에 대하여 불변(invariant)인 부분 공간이다. 즉, 임의의 \mathbf{v} \in E_\lambda에 대하여 A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \in E_\lambda가 성립한다. 더 나아가 임의의 다항식 q(t)에 대해서도 q(A)\mathbf{v} = q(\lambda)\mathbf{v}이므로 E_\lambda는 q(A)의 작용에 대해서도 불변이다.

이 성질은 행렬의 거듭제곱과 행렬 함수의 작용을 분석할 때 유용하다. 예컨대 A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}이며, 행렬 지수 함수에 대해서는 e^{At}\mathbf{v} = e^{\lambda t}\mathbf{v}가 성립한다.

6. 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터의 일차 독립성

서로 다른 고유값 \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k에 대응하는 고유벡터 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k는 항상 일차 독립이다. 이 명제는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 따라서 서로 다른 고유값에 대응하는 고유 공간들의 합은 직합(direct sum)이 된다.

E_{\lambda_1} + E_{\lambda_2} + \cdots + E_{\lambda_k} = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}

이 직합의 차원은 각 고유 공간 차원의 합과 같으며, 이 합이 n과 일치할 때에만 행렬 A는 대각화 가능하다.

7. 고유 공간의 계산 절차

주어진 고유값 \lambda에 대하여 고유 공간을 계산하는 절차는 다음과 같다.

1. 행렬 A - \lambda I를 구성한다.
2. 동차 연립 방정식 (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}의 해 공간을 구한다.
3. 가우스 소거법을 통하여 기약 행 사다리꼴로 변환한다.
4. 자유 변수의 개수를 확인하고, 각 자유 변수에 대응하는 기저 벡터를 추출한다.

예를 들어 다음 행렬을 고려해보자.

A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

특성 다항식은 p_A(t) = (t-2)(t-3)이므로 고유값은 \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3이다.

\lambda_1 = 2에 대하여 (A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}의 해는 \mathbf{v}_1 = (1, 1)^\top의 스칼라 배수이며, E_2 = \mathrm{span}\{(1,1)^\top\}이다.

\lambda_2 = 3에 대하여 (A - 3I)\mathbf{v} = \mathbf{0}의 해는 \mathbf{v}_2 = (2, 1)^\top의 스칼라 배수이며, E_3 = \mathrm{span}\{(2,1)^\top\}이다.

두 고유 공간의 직합은 \mathbb{R}^2 전체와 일치하므로 이 행렬은 대각화 가능하다.

8. 좌고유벡터와 우고유벡터

지금까지 다룬 고유벡터는 정확히는 우고유벡터(right eigenvector)이다. 행렬 A에 대하여 \mathbf{w}^\top A = \lambda \mathbf{w}^\top을 만족하는 비영벡터 \mathbf{w}를 좌고유벡터(left eigenvector)라 한다. 좌고유벡터는 전치 행렬 A^\top의 우고유벡터와 같다.

서로 다른 고유값에 대응하는 좌고유벡터와 우고유벡터는 직교성을 가진다. 즉, \lambda_i \neq \lambda_j일 때 \mathbf{w}_i^\top \mathbf{v}_j = 0이 성립한다. 이 직교 관계는 모달 분해와 진동 해석에서 핵심적인 역할을 수행한다.

9. 일반화된 고유 공간

결함 고유값에 대해서는 통상적인 고유 공간만으로 행렬의 작용을 완전히 기술할 수 없다. 이를 보완하기 위하여 일반화된 고유 공간(generalized eigenspace)이 도입된다. 고유값 \lambda의 일반화된 고유 공간은 다음과 같이 정의된다.

G_\lambda = \ker (A - \lambda I)^{m_a(\lambda)}

일반화된 고유 공간의 차원은 항상 대수적 중복도와 일치하며, 결함 행렬에 대한 조르단 표준형 이론의 토대를 제공한다.

10. 로봇공학에서의 응용

10.1 진동 모드 해석

다관절 로봇의 선형화된 운동 방정식 M\ddot{\mathbf{q}} + K\mathbf{q} = \mathbf{0}에서 일반화된 고유값 문제 K\mathbf{v} = \lambda M \mathbf{v}의 고유벡터는 진동 모드를 나타낸다. 각 고유 공간은 특정 고유 진동수에서 로봇이 보이는 변형 형태를 표현하며, 이를 통하여 공진 회피 설계와 능동 진동 제어가 가능하다.

10.2 관성 텐서의 주축

강체의 관성 텐서 \mathbf{I} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}는 대칭 양정치 행렬이므로 세 개의 직교 고유벡터를 가진다. 이 고유벡터들은 강체의 주축(principal axes)을 정의하며, 주축을 좌표축으로 채택하면 관성 텐서가 대각 행렬로 표현된다. 이로써 회전 운동 방정식이 단순화되며, 공중 자세 제어와 기동 안정성 분석이 효율적으로 수행된다.

10.3 안정성 해석에서의 고유 공간 분해

선형화된 로봇 제어 시스템 \dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}의 안정성은 시스템 행렬 A의 고유값과 고유 공간에 의하여 결정된다. 안정 부분 공간(stable subspace)은 음의 실수부를 가지는 고유값에 대응하는 일반화된 고유 공간들의 합으로 정의되며, 불안정 부분 공간 및 중심 부분 공간과 함께 상태 공간을 분해한다. 이러한 분해는 부분 공간 안정화 제어기의 설계에 활용된다.

10.4 자코비안의 영 공간과 고유 구조

자코비안 행렬 J의 특이 형상 부근에서 고유값 0에 대응하는 고유 공간은 순간적으로 운동이 차단되는 방향을 나타낸다. 여유 자유도 로봇의 경우 J^\top J의 작은 고유값에 대응하는 고유 공간을 분석함으로써 부차 임무 수행을 위한 내부 운동의 방향을 결정할 수 있다.

10.5 주성분 분석을 통한 점 구름 처리

점 구름 데이터의 공분산 행렬에 대한 고유 공간 분해는 데이터의 분포 형상을 파악하는 데 사용된다. 가장 큰 고유값에 대응하는 고유벡터는 점 구름의 주된 분산 방향을 나타내며, 이를 활용하여 표면 법선 추정, 평면 적합, 물체 자세 인식 등이 수행된다.

10.6 모달 제어와 분리 설계

다입력 다출력 로봇 시스템에서 좌고유벡터와 우고유벡터의 직교성은 모달 좌표계로의 변환을 통하여 시스템을 비결합된 단일 입력 단일 출력 모드들의 집합으로 분리시킨다. 이 분리 설계 기법은 복잡한 다관절 로봇의 제어기 합성 과정을 단순화한다.

참고문헌

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