6.23 수반 행렬을 이용한 역행렬 유도

1. 수반 행렬의 도입

수반 행렬(adjugate matrix), 또는 고전적 수반(classical adjoint)은 정방 행렬의 여인수로 구성된 보조 행렬이며, 역행렬의 명시적 닫힌 형식을 제공하는 핵심 도구이다. 본 절에서는 수반 행렬의 정의, 그 핵심 성질인 A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I의 증명, 이로부터 유도되는 역행렬 공식, 그리고 로봇공학에서의 응용을 체계적으로 다룬다.

2. 여인수 행렬과 수반 행렬

정의 6.23.1 (여인수 행렬). n \times n 행렬 A의 (i, j) 여인수 C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij})로 구성된 n \times n 행렬을 여인수 행렬(cofactor matrix)이라 하며, \text{Cof}(A) = [C_{ij}]로 표기한다.

정의 6.23.2 (수반 행렬). 행렬 A의 수반 행렬은 여인수 행렬의 전치이다.

\text{adj}(A) = \text{Cof}(A)^\top, \quad (\text{adj}(A))_{ij} = C_{ji}

여기서 전치가 핵심이다. 수반 행렬의 (i, j) 성분은 A의 (j, i) 여인수이며, 이러한 행과 열의 교환이 다음 정리의 핵심 등식을 가능하게 한다.

핵심 정리: 수반 행렬과 행렬식의 관계

정리 6.23.1. 임의의 n \times n 행렬 A에 대하여 다음의 등식이 성립한다.

A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n

증명. A \cdot \text{adj}(A)의 (i, j) 성분은 다음과 같이 계산된다.

(A \cdot \text{adj}(A))_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} (\text{adj}(A))_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk}

이 합은 두 가지 경우로 나누어 분석된다.

경우 1: i = j인 경우. 이 합은 A의 i행에 대한 여인수 전개와 같으므로

\sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{ik} = \det(A)

경우 2: i \neq j인 경우. 이 합은 A의 i행 성분과 j행에 대응하는 여인수의 곱의 합이며, 이는 A의 j행을 i행으로 대체한 행렬 A'의 여인수 전개와 같다. 그런데 A'은 i행과 j행이 같으므로 행렬식이 0이다. 따라서

\sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk} = \det(A') = 0

두 경우를 종합하면

(A \cdot \text{adj}(A))_{ij} = \det(A) \cdot \delta_{ij}

즉 A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n이다. 동일한 논증이 열에 대해서도 적용되어 \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n이 얻어진다. \square

3. 역행렬의 명시적 공식

핵심 정리로부터 다음의 역행렬 공식이 즉시 따라 나온다.

정리 6.23.2 (역행렬의 수반 공식). \det(A) \neq 0인 n \times n 행렬 A에 대하여

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)

이 공식은 역행렬의 각 성분을 A의 성분에 대한 명시적 다항식으로 표현하며, 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

(A^{-1})_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det(A)} = \frac{(-1)^{i+j} \det(M_{ji})}{\det(A)}

여기서 첨자의 순서 (j, i)는 수반 행렬이 여인수 행렬의 전치임을 반영한 것이다.

4. 작은 차수의 명시적 공식

4.1 \times2 행렬

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

여인수는 C_{11} = d, C_{12} = -c, C_{21} = -b, C_{22} = a이며, 수반 행렬은

\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

이다. 따라서 역행렬은

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

3\times3 행렬

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

각 여인수를 명시적으로 계산하면

C_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}, \quad C_{12} = -(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}), \quad C_{13} = a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}

C_{21} = -(a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}), \quad C_{22} = a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}, \quad C_{23} = -(a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31})

C_{31} = a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}, \quad C_{32} = -(a_{11}a_{23} - a_{13}a_{21}), \quad C_{33} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

이로부터 수반 행렬과 역행렬이 명시적으로 표현된다.

크라메르 공식과의 관계

수반 행렬의 등식을 선형 시스템 A\mathbf{x} = \mathbf{b}에 적용하면 크라메르 공식(Cramer’s rule)이 직접 유도된다. 양변에 \text{adj}(A)를 곱하면

\det(A) \cdot \mathbf{x} = \text{adj}(A) \cdot \mathbf{b}

이고, 우변의 i번째 성분은 A의 i열을 \mathbf{b}로 대체한 행렬의 행렬식과 같다. 따라서

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

여기서 A_i는 A의 i번째 열을 \mathbf{b}로 대체한 행렬이다. 이 공식은 작은 시스템의 해석적 풀이에 유용하지만, 큰 시스템에서는 가우스 소거법이 훨씬 효율적이다.

수반 행렬의 추가 성질

행렬식과의 관계

n \times n 행렬 A에 대하여

\det(\text{adj}(A)) = \det(A)^{n-1}

이 성립한다. 이는 A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I의 양변에 행렬식을 취하여 \det(A) \cdot \det(\text{adj}(A)) = \det(A)^n로부터 얻어진다.

4.2 이중 수반

A가 가역일 때

\text{adj}(\text{adj}(A)) = \det(A)^{n-2} \cdot A

특히 n = 2인 경우 \text{adj}(\text{adj}(A)) = A이다.

곱의 수반

\text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A)

이는 곱셈의 반전 법칙과 유사한 구조를 보여 준다.

4.3 전치의 수반

\text{adj}(A^\top) = (\text{adj}(A))^\top

특이 행렬에 대한 정의

수반 행렬의 정의는 행렬이 가역이든 아니든 동일하게 적용된다. 특이 행렬에 대해서도 A \cdot \text{adj}(A) = 0 \cdot I = O가 성립하며, 이는 수반 행렬이 A의 영 공간에 속하는 열들을 가짐을 의미한다.

수반 공식의 이론적 의의

수반 공식은 실용적 계산보다는 다음과 같은 이론적 측면에서 중요하다.

1. 명시적 표현: 역행렬의 각 성분을 원래 행렬의 성분에 대한 다항식으로 표현하므로, 매개변수 분석과 미분 가능성 논증에 적합하다.

2. 미분 가능성 증명: 가역 행렬의 집합에서 역행렬 함수 A \mapsto A^{-1}이 매끄러움을 보이는 데 사용된다. 분모 \det(A)가 다항식이므로 가역 행렬의 집합은 열린 집합이며, 역행렬의 각 성분은 유리식이다.

3. 행렬식 미분: 행렬식의 성분에 대한 미분과 수반 행렬의 관계 \frac{\partial \det(A)}{\partial a_{ij}} = C_{ij}를 통해 자코비 공식이 유도된다.

4. 기호 계산: 컴퓨터 대수 시스템에서 매개변수가 포함된 행렬의 역을 구할 때 수반 공식이 사용된다.

로봇공학에서의 응용

평면 매니퓰레이터의 역기구학

평면 2자유도 또는 3자유도 매니퓰레이터의 자코비안은 작은 정방 행렬이므로 수반 공식을 통해 명시적 역행렬을 얻을 수 있다. 예를 들어 평면 2링크의 자코비안

J = \begin{bmatrix} -l_1 s_1 - l_2 s_{12} & -l_2 s_{12} \\ l_1 c_1 + l_2 c_{12} & l_2 c_{12} \end{bmatrix}

(여기서 s_i = \sin\theta_i, c_i = \cos\theta_i, s_{12} = \sin(\theta_1 + \theta_2) 등) 의 역행렬은 수반 공식으로

J^{-1} = \frac{1}{l_1 l_2 s_2} \begin{bmatrix} l_2 c_{12} & l_2 s_{12} \\ -(l_1 c_1 + l_2 c_{12}) & -(l_1 s_1 + l_2 s_{12}) \end{bmatrix}

으로 표현된다. 이 명시적 표현은 특이점 \sin\theta_2 = 0에서의 거동을 직접 분석할 수 있게 한다.

회전 행렬의 역과 명시적 검증

3\times3 회전 행렬 R의 역은 R^\top이지만, 수반 공식에 따르면 R^{-1} = \text{adj}(R) / \det(R) = \text{adj}(R) (\det(R) = 1)이다. 따라서 \text{adj}(R) = R^\top이 성립해야 하며, 이는 회전 행렬의 각 성분이 다른 성분들로부터 결정되는 의존 관계를 명시적으로 표현한다. 회전 행렬의 수치적 정규화와 검증에 활용될 수 있다.

자코비안 미분과 동역학 자코비

매니퓰레이터의 동역학 해석에서 행렬식의 매개변수 미분 \frac{\partial \det(J)}{\partial q_i}는 수반 공식을 통해 다음과 같이 표현된다.

\frac{\partial \det(J)}{\partial q_i} = \text{tr}\left( \text{adj}(J) \cdot \frac{\partial J}{\partial q_i} \right)

이는 가조작성 지표의 기울기 계산, 특이점 회피 알고리즘의 그래디언트 정보 추출 등에 사용된다.

4.4 컴퓨터 비전의 작은 호모그래피 분해

평면 호모그래피 행렬은 3\times3 행렬이며, 이를 회전, 평면 법선, 평면 거리로 분해할 때 수반 행렬과 작은 행렬식이 명시적 공식의 형태로 등장한다. 카메라 자세 분해, 평면 가설 검증 등에 활용된다.

4.5 작은 칼만 필터의 명시적 게인

저차원 상태와 측정을 가지는 시스템에서 칼만 게인 K = P^- H^\top (H P^- H^\top + R)^{-1}의 역행렬 부분은 수반 공식으로 명시적으로 표현되며, 임베디드 시스템의 효율적 코드 생성에 활용된다.

4.6 강체 동역학의 해석적 자코비안

작은 모델(예: 단일 강체, 2자유도 시스템)의 동역학 자코비안은 수반 공식을 통해 닫힌 형식으로 표현되어, 기호 미분 기반의 모델 예측 제어와 최적 제어 설계에 사용된다.

참고문헌

• Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
• Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Springer.
• Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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