6.14 행렬의 기본 연산과 성질

1. 행렬 연산의 개요

행렬 연산은 선형대수학의 기초적 도구이며, 로봇공학의 모든 수치 계산이 행렬 연산을 통해 수행된다. 본 절에서는 행렬 덧셈, 스칼라 곱, 행렬 곱셈 등의 기본 연산을 정의하고, 그 대수적 성질을 체계적으로 정리한다.

2. 행렬 덧셈

정의 6.14.1 (행렬 덧셈). 동일한 크기의 두 $m \times n$ 행렬 $A = [a_{ij}]$ 와 $B = [b_{ij}]$ 의 덧셈은 성분별로 정의된다.

$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

행렬 덧셈은 동일한 크기의 행렬에 대해서만 정의된다.

행렬 덧셈의 성질

임의의 동일 크기 행렬 $A, B, C$ 와 영행렬 $O$ 에 대하여 다음이 성립한다.

(A1) 교환 법칙: $A + B = B + A$

(A2) 결합 법칙: $(A + B) + C = A + (B + C)$

(A3) 영행렬의 항등성: $A + O = A$

(A4) 역원의 존재: $A + (-A) = O$ , 여기서 $-A = [-a_{ij}]$

이 네 가지 성질은 $m \times n$ 행렬의 집합 $\mathbb{R}^{m \times n}$ 이 행렬 덧셈에 대해 아벨 군(abelian group)을 이룸을 의미한다.

스칼라 곱

정의 6.14.2 (스칼라 곱). 행렬 $A = [a_{ij}]$ 와 스칼라 $k \in \mathbb{R}$ 의 곱은 모든 성분에 $k$ 를 곱한 것이다.

$(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$

2.1 스칼라 곱의 성질

임의의 행렬 $A, B$ 와 스칼라 $k, l$ 에 대하여 다음이 성립한다.

(S1) 분배 법칙 (행렬 덧셈에 대해): $k(A + B) = kA + kB$

(S2) 분배 법칙 (스칼라 덧셈에 대해): $(k + l)A = kA + lA$

(S3) 결합 법칙: $k(lA) = (kl)A$

(S4) 항등원: $1 \cdot A = A$

(S5) 영원소: $0 \cdot A = O$

행렬 덧셈과 스칼라 곱이 정의된 $\mathbb{R}^{m \times n}$ 은 위의 성질에 의해 벡터 공간을 이룬다. 이 벡터 공간의 차원은 $mn$ 이다.

3. 행렬 곱셈

정의 6.14.3 (행렬 곱셈). $m \times p$ 행렬 $A$ 와 $p \times n$ 행렬 $B$ 의 곱 $AB$ 는 $m \times n$ 행렬이며, 그 성분은 다음과 같이 정의된다.

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$

행렬 곱셈은 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같을 때에만 정의된다. 결과 행렬의 크기는 첫 번째 행렬의 행의 수와 두 번째 행렬의 열의 수로 결정된다.

행렬 곱셈의 직관적 해석

행렬 곱 $AB$ 의 $(i, j)$ 성분은 $A$ 의 $i$ 번째 행벡터와 $B$ 의 $j$ 번째 열벡터의 내적과 같다.

$(AB)_{ij} = \mathbf{a}_i^{\text{row}} \cdot \mathbf{b}_j$

또한, 행렬-벡터 곱 $A\mathbf{x}$ 는 $A$ 의 열벡터들의 선형 결합으로 해석할 수 있다.

$A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n$

여기서 $\mathbf{a}_j$ 는 $A$ 의 $j$ 번째 열벡터이고, $x_j$ 는 $\mathbf{x}$ 의 $j$ 번째 성분이다.

행렬 곱셈의 성질

결합 법칙

정리 6.14.1. 행렬 곱셈은 결합 법칙을 만족한다.

$(AB)C = A(BC)$

이 성질은 다관절 로봇의 순기구학에서 여러 동차 변환 행렬을 곱할 때 곱셈 순서를 유연하게 선택할 수 있게 한다.

3.1 분배 법칙

정리 6.14.2. 행렬 곱셈은 행렬 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족한다.

$A(B + C) = AB + AC$
$(A + B)C = AC + BC$

3.2 비교환성

행렬 곱셈은 일반적으로 교환 법칙을 만족하지 않는다.

$AB \neq BA \quad (\text{일반적으로})$

심지어 $A$ 와 $B$ 가 모두 정방 행렬이고 $AB$ 와 $BA$ 가 모두 정의되더라도 두 결과는 다르다. 예를 들어 회전 행렬의 합성은 비교환적이며, 회전 순서가 결과에 영향을 미친다. 두 행렬이 가환(commute)할 조건 $AB = BA$ 는 매우 제한적이다.

항등 행렬과의 곱

항등 행렬은 행렬 곱셈의 항등원이다.

$AI_n = A, \quad I_m A = A \quad \text{for } A \in \mathbb{R}^{m \times n}$

3.3 영행렬과의 곱

영행렬과의 곱은 영행렬이다.

$AO = O, \quad OA = O$

그러나 $AB = O$ 라고 해서 $A = O$ 또는 $B = O$ 인 것은 아니다. 즉, 행렬은 영인자(zero divisor)를 가질 수 있다.

전치와 곱셈

정리 6.14.3. 행렬 곱의 전치는 전치의 곱이며, 순서가 바뀐다.

$(AB)^\top = B^\top A^\top$

일반적으로 $k$ 개의 행렬 곱에 대해

$(A_1 A_2 \cdots A_k)^\top = A_k^\top A_{k-1}^\top \cdots A_1^\top$

이 성질은 자코비안의 전치, 동역학 방정식의 변환, 최소 제곱 문제의 정규 방정식 유도 등에 본질적으로 사용된다.

거듭제곱과 다항식

정방 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

$A^0 = I, \quad A^k = A \cdot A^{k-1}$

행렬 다항식은 스칼라 다항식 $p(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_k x^k$ 에 대하여 다음과 같이 정의된다.

$p(A) = c_0 I + c_1 A + c_2 A^2 + \cdots + c_k A^k$

이 개념은 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)와 행렬 지수 함수의 정의에 사용된다.

대각합

정의 6.14.4 (대각합). 정방 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 대각합(trace)은 주대각선 성분의 합이다.

$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$

3.4 대각합의 성질

대각합은 다음과 같은 성질을 만족한다.

선형성: $\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$ , $\text{tr}(kA) = k \text{tr}(A)$
전치 불변성: $\text{tr}(A) = \text{tr}(A^\top)$
순환 성질: $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ (일반적으로 $AB \neq BA$ 이지만 대각합은 같다)
삼중 곱의 순환: $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$
고유값과의 관계: $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$ , 여기서 $\lambda_i$ 는 $A$ 의 고유값

대각합의 순환 성질은 회전 행렬에서 회전각을 추출하는 식 $\cos\theta = (\text{tr}(R) - 1)/2$ 의 유도 등에 사용된다.

4. 행렬 곱셈의 계산 복잡도

$m \times p$ 행렬과 $p \times n$ 행렬의 곱은 $mpn$ 번의 곱셈과 $m(p-1)n$ 번의 덧셈을 요구한다. 정방 행렬 $n \times n$ 의 경우 표준적 곱셈은 $O(n^3)$ 의 시간 복잡도를 가진다.

스트라센 알고리즘(Strassen’s algorithm)과 같은 고속 알고리즘은 점근적으로 $O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.807})$ 의 복잡도로 행렬 곱셈을 수행할 수 있다. 그러나 실시간 로봇 제어와 같은 응용에서는 캐시 효율과 병렬화가 더 중요하므로 일반적으로 BLAS와 같은 최적화된 라이브러리가 사용된다.

5. 로봇공학에서의 응용

5.1 동차 변환 행렬의 합성

다관절 로봇의 순기구학은 각 관절 사이의 동차 변환 행렬을 차례로 곱하여 계산된다.

${}^0 T_n = {}^0 T_1 \cdot {}^1 T_2 \cdots {}^{n-1} T_n$

이 곱셈은 결합 법칙으로 인해 어느 순서로 계산해도 결과가 같지만, 비교환성으로 인해 곱셈의 순서는 절대 변경할 수 없다.

자코비안의 전치를 이용한 정역학

말단 장치에 작용하는 외력 $\mathbf{F}$ 와 그에 대응하는 관절 토크 $\boldsymbol{\tau}$ 의 관계는 자코비안의 전치를 통해 표현된다.

$\boldsymbol{\tau} = J(\mathbf{q})^\top \mathbf{F}$

이 식은 가상 일의 원리(principle of virtual work)로부터 유도되며, 정역학 해석의 기본 관계이다.

5.2 공분산 행렬의 전파

칼만 필터의 예측 단계에서 상태 공분산 행렬 $P$ 는 다음과 같이 전파된다.

$P^{-} = F P F^\top + Q$

여기서 $F$ 는 상태 천이 행렬이고 $Q$ 는 프로세스 잡음 공분산이다. 이 식은 양변에 전치 연산자가 등장하는 대표적 예이며, 결과는 항상 대칭 양반정치 행렬이다.

회전 행렬의 합성과 순서 의존성

서로 다른 축에 대한 회전을 합성할 때 순서에 따라 결과가 달라진다.

$R_x(\alpha) R_y(\beta) \neq R_y(\beta) R_x(\alpha)$

이 비교환성은 오일러 각의 12가지 규약이 존재하는 근본 이유이며, 짐벌 락 현상의 원인이기도 하다.

참고문헌

Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.
Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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