6.130 텐서의 로봇 동역학 및 유연체 해석 응용

1. 개요

텐서는 로봇 동역학(robot dynamics)과 유연체 해석(flexible body analysis) 전반에서 핵심적인 수학적 도구로 사용된다. 강체 로봇의 동역학에서는 관성 텐서와 공간 관성 행렬이 운동 방정식의 근간을 이루며, 유연체 로봇에서는 응력 텐서, 변형률 텐서, 탄성 텐서가 구조 해석의 기초가 된다. 본 절에서는 텐서가 로봇 동역학과 유연체 해석에 어떻게 응용되는지 체계적으로 서술한다.

2. 강체 동역학에서의 텐서

2.1 뉴턴-오일러 방정식

단일 강체의 회전 운동 방정식은 관성 텐서를 포함하는 오일러 방정식으로 기술된다.

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{I} \boldsymbol{\omega})

여기서 \mathbf{I}는 3 \times 3 관성 텐서, \boldsymbol{\omega}는 각속도 벡터, \boldsymbol{\tau}는 토크 벡터이다. 지표 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

\tau_i = I_{ij} \dot{\omega}^j + \epsilon_{ijk} \omega^j I_{kl} \omega^l

여기서 \epsilon_{ijk}는 레비-치비타 기호이다.

2.2 공간 관성 행렬과 운동 방정식

강체의 병진 및 회전 운동을 통합한 6 \times 6 공간 관성 행렬 \mathcal{G}를 사용하면, 뉴턴-오일러 방정식은 다음과 같이 간결하게 표현된다.

\mathcal{F} = \mathcal{G} \dot{\mathcal{V}} + [\text{ad}_{\mathcal{V}}]^T \mathcal{G} \mathcal{V}

여기서 \mathcal{V} = (\boldsymbol{\omega}, \mathbf{v})^T는 트위스트, \mathcal{F} = (\boldsymbol{\tau}, \mathbf{f})^T는 렌치(wrench), [\text{ad}_{\mathcal{V}}]는 리 괄호(Lie bracket)의 행렬 표현이다.

[\text{ad}_{\mathcal{V}}] = \begin{bmatrix} [\boldsymbol{\omega}] & \mathbf{0} \\ [\mathbf{v}] & [\boldsymbol{\omega}] \end{bmatrix}

2.3 다관절 로봇의 질량 행렬

n-자유도 직렬 로봇의 관절 공간 동역학은 다음과 같다.

M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + C(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}

질량 행렬 M(\mathbf{q})는 각 링크의 공간 관성 행렬과 야코비안으로부터 다음과 같이 계산된다.

M(\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^{n} J_i^T(\mathbf{q}) \, \mathcal{G}_i \, J_i(\mathbf{q})

여기서 J_i(\mathbf{q})는 링크 i의 6 \times n 야코비안이고, \mathcal{G}_i는 링크 i의 6 \times 6 공간 관성 행렬이다. 이 관계는 2차 텐서(관성 행렬)와 야코비안의 축약으로 해석할 수 있다.

2.4 크리스토펠 기호와 코리올리 항

코리올리 및 원심력 행렬 C(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})의 성분은 크리스토펠 기호(Christoffel symbol of the first kind)로 표현된다.

C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \Gamma_{ijk} \dot{q}_k

\Gamma_{ijk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial M_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\right)

크리스토펠 기호 \Gamma_{ijk}는 3개의 지표를 가진 양으로, 질량 행렬이 관절 공간에서 정의하는 리만 계량(Riemannian metric)의 연결(connection) 계수이다. 이는 관절 공간의 기하학적 구조를 텐서로 기술하는 것이다.

2.5 운동 에너지의 텐서적 해석

로봇의 운동 에너지는 관절 공간의 계량 텐서(질량 행렬)에 의한 이차 형식이다.

K = \frac{1}{2} M_{ij} \dot{q}^i \dot{q}^j = \frac{1}{2} g_{ij} \dot{q}^i \dot{q}^j

여기서 g_{ij} = M_{ij}로 놓으면, 질량 행렬은 관절 공간 위의 리만 계량으로 해석된다. 이 관점에서 로봇의 자연 운동(토크가 없는 운동)은 관절 공간 위의 측지선(geodesic)에 대응한다.

3. 유연체 해석에서의 텐서

3.1 응력 텐서

유연체 로봇의 링크에 작용하는 내부 응력은 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor) \sigma_{ij}로 기술된다. 이는 (0, 2)-형 대칭 텐서이다.

\sigma_{ij} = \sigma_{ji}

응력 텐서의 물리적 의미는 다음과 같다. 법선 벡터가 \hat{\mathbf{n}}인 미소 면적 요소에 작용하는 견인력(traction) 벡터는 다음과 같다.

t_i = \sigma_{ij} n^j

3.2 변형률 텐서

미소 변형(small deformation)의 경우, 변형률 텐서(strain tensor) \varepsilon_{ij}는 변위장(displacement field) \mathbf{u}로부터 다음과 같이 정의된다.

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)

변형률 텐서는 대칭 텐서이며, 강체 회전 성분을 제거한 순수한 변형만을 나타낸다.

3.3 구성 방정식: 탄성 텐서

선형 탄성체의 응력-변형률 관계는 4차 탄성 텐서(elasticity tensor 또는 stiffness tensor) C_{ijkl}에 의해 기술된다.

\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl}

4차 탄성 텐서는 다음의 대칭 성질을 가진다.

이 대칭 성질에 의해, 일반 이방성 재료의 독립 탄성 상수는 81개에서 21개로 줄어든다.

3.4 등방성 재료의 구성 방정식

등방성(isotropic) 재료의 경우, 탄성 텐서는 2개의 독립 상수(라메 상수 \lambda, \mu)로 표현된다.

C_{ijkl} = \lambda \, \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})

이를 대입하면 등방성 구성 방정식을 얻는다.

\sigma_{ij} = \lambda \, \varepsilon_{kk} \delta_{ij} + 2\mu \, \varepsilon_{ij}

영률(Young’s modulus) E와 포아송비(Poisson’s ratio) \nu로 표현하면 다음과 같다.

\lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \quad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}

4. 유연체 로봇의 동역학

4.1 유한 요소법과 텐서

유연체 로봇 링크의 동적 거동은 유한 요소법(finite element method, FEM)으로 해석된다. 요소 강성 행렬(element stiffness matrix)은 탄성 텐서와 형상 함수의 적분으로 구한다.

K_e = \int_{V_e} \mathbf{B}^T \mathbf{D} \mathbf{B} \, dV

여기서 \mathbf{B}는 변형률-변위 행렬이고, \mathbf{D}는 탄성 텐서 C_{ijkl}을 보이트(Voigt) 표기법으로 변환한 6 \times 6 행렬이다.

4.2 보이트 표기법

대칭 텐서의 독립 성분만을 벡터로 배열하는 보이트 표기법은 다음과 같다.

\boldsymbol{\sigma} = [\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{23}, \sigma_{13}, \sigma_{12}]^T

\boldsymbol{\varepsilon} = [\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33}, 2\varepsilon_{23}, 2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{12}]^T

이 표기법을 사용하면 4차 텐서의 이중 축약을 행렬-벡터 곱으로 표현할 수 있다.

\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{D} \boldsymbol{\varepsilon}

4.3 유연 다물체 동역학

유연체를 포함하는 로봇 시스템의 동역학 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

\begin{bmatrix} M_{rr} & M_{rf} \\ M_{fr} & M_{ff} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{\mathbf{q}}_r \\ \ddot{\mathbf{q}}_f \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{h}_r \\ \mathbf{h}_f \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{0} \\ K_f \mathbf{q}_f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\tau}_r \\ \mathbf{0} \end{bmatrix}

여기서

강성 행렬 K_f는 탄성 텐서로부터 유한 요소 이산화를 통해 구한다.

5. 변형 에너지와 텐서

유연체에 저장되는 변형 에너지(strain energy)는 응력 텐서와 변형률 텐서의 이중 축약으로 표현된다.

U = \frac{1}{2} \int_V \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} \, dV = \frac{1}{2} \int_V C_{ijkl} \varepsilon_{ij} \varepsilon_{kl} \, dV

이 에너지 표현은 라그랑주 역학의 틀에서 유연체 동역학의 운동 방정식을 유도하는 데 직접 사용된다.

6. 관성 텐서의 시간 변화

로봇이 운동할 때 각 링크의 관성 텐서는 기준 좌표계에서 시간에 따라 변한다. 링크 i의 공간 좌표계 기준 관성 텐서는 다음과 같다.

\mathbf{I}_i^s(t) = R_i(t) \, \mathbf{I}_i^b \, R_i(t)^T

여기서 R_i(t)는 시각 t에서 링크 i의 자세를 나타내는 회전 행렬이고, \mathbf{I}_i^b는 물체 좌표계에서의 (상수) 관성 텐서이다.

시간 미분은 다음과 같다.

\dot{\mathbf{I}}_i^s = [\boldsymbol{\omega}_i] \mathbf{I}_i^s - \mathbf{I}_i^s [\boldsymbol{\omega}_i]

이 결과는 질량 행렬 M(\mathbf{q})가 관절 변수에 의존하는 이유를 텐서 변환의 관점에서 설명한다.

7. 참고 문헌

1. Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
2. Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
3. Shabana, A. A. (2005). Dynamics of Multibody Systems. 3rd ed., Cambridge University Press.
4. Bathe, K. J. (2006). Finite Element Procedures. Prentice Hall.
5. Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications.
6. Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed., Pearson Prentice Hall.

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