6.125 텐서의 정의와 차수 분류

1. 개요

텐서(tensor)는 좌표 변환에 대해 특정한 변환 규칙을 따르는 다차원 배열로, 스칼라, 벡터, 행렬을 일반화한 수학적 대상이다. 로봇공학에서 관성, 응력, 변형률 등 다양한 물리량이 텐서로 기술된다. 본 절에서는 텐서의 엄밀한 정의를 서술하고, 차수(order 또는 rank)에 따른 분류와 각각의 물리적 의미를 다룬다.

2. 텐서의 정의

2.1 좌표 변환 기반 정의

n차원 공간에서 좌표계 \{x^i\}를 \{x'^i\}로 변환하는 경우, 변환 행렬의 원소를 다음과 같이 정의한다.

A^i{}_j = \frac{\partial x'^i}{\partial x^j}, \quad B^i{}_j = \frac{\partial x^i}{\partial x'^j}

(p, q)-형 텐서(type-(p, q) tensor)는 반변(contravariant) 지표 p개와 공변(covariant) 지표 q개를 가지며, 좌표 변환 시 다음의 규칙을 따르는 양이다.

T'^{i_1 \cdots i_p}{}_{j_1 \cdots j_q} = A^{i_1}{}_{k_1} \cdots A^{i_p}{}_{k_p} \, B^{l_1}{}_{j_1} \cdots B^{l_q}{}_{j_q} \, T^{k_1 \cdots k_p}{}_{l_1 \cdots l_q}

이 변환 규칙을 만족하는 양만이 텐서이다.

2.2 다중선형 사상으로서의 정의

보다 추상적으로, (p, q)-형 텐서는 다음과 같은 다중선형 사상(multilinear map)이다.

T : \underbrace{V^* \times \cdots \times V^*}_{p} \times \underbrace{V \times \cdots \times V}_{q} \to \mathbb{R}

여기서 V는 벡터 공간이고 V^*는 그 쌍대 공간(dual space)이다. 이 정의는 좌표계에 의존하지 않으므로 좌표 불변(coordinate-independent)이다.

2.3 텐서의 차수

텐서의 **차수(order)**는 반변 지표와 공변 지표의 총합 p + q이다. 때때로 **계수(rank)**라고도 부르지만, 행렬의 계수(rank)와 혼동을 피하기 위해 본 서에서는 차수로 통일한다.

3. 차수별 분류

3.1 차 텐서: 스칼라

0차 텐서는 지표가 없는 양, 즉 스칼라이다. 좌표 변환에 의해 값이 변하지 않는다.

T' = T

로봇공학에서 0차 텐서의 예시:

• 질량 m
• 운동 에너지 K = \frac{1}{2}\dot{\boldsymbol{\theta}}^T M(\boldsymbol{\theta}) \dot{\boldsymbol{\theta}}
• 위치 에너지 U
• 온도

3.2 차 텐서: 벡터

1차 텐서는 하나의 지표를 가지며, 반변 벡터와 공변 벡터로 구분된다.

반변 벡터(contravariant vector, (1,0)-형):

v'^i = A^i{}_j \, v^j = \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} \, v^j

예시: 변위 벡터, 속도 벡터

공변 벡터(covariant vector, (0,1)-형):

w'_i = B^j{}_i \, w_j = \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} \, w_j

예시: 그래디언트(gradient) \frac{\partial \phi}{\partial x^i}

로봇공학에서 1차 텐서의 예시:

3.3 차 텐서: 행렬

2차 텐서는 두 개의 지표를 가지며, (2,0), (1,1), (0,2)의 세 유형이 있다.

(2,0)-형 (반변-반변):

T'^{ij} = A^i{}_k \, A^j{}_l \, T^{kl}

(1,1)-형 (혼합):

T'^i{}_j = A^i{}_k \, B^l{}_j \, T^k{}_l

(0,2)-형 (공변-공변):

T'_{ij} = B^k{}_i \, B^l{}_j \, T_{kl}

로봇공학에서 2차 텐서의 예시:

3.4 차 이상의 텐서

3차 텐서는 세 개의 지표를 가진다. 대표적인 예로 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol) \epsilon_{ijk}가 있다.

\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & (i,j,k) \text{가 짝순열} \\ -1 & (i,j,k) \text{가 홀순열} \\ 0 & \text{반복 지표 존재} \end{cases}

4차 텐서의 예로는 탄성 텐서(elasticity tensor) C_{ijkl}이 있으며, 유연체 로봇의 변형 해석에 사용된다.

\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl}

4. 텐서의 대수적 성질

4.1 텐서의 덧셈

같은 유형과 차수의 텐서끼리 성분별로 더할 수 있다.

(S + T)^{i_1 \cdots i_p}{}_{j_1 \cdots j_q} = S^{i_1 \cdots i_p}{}_{j_1 \cdots j_q} + T^{i_1 \cdots i_p}{}_{j_1 \cdots j_q}

결과는 동일한 유형의 텐서이다.

4.2 스칼라 곱

텐서에 스칼라 \alpha를 곱하면 같은 유형의 텐서가 된다.

(\alpha T)^{i_1 \cdots i_p}{}_{j_1 \cdots j_q} = \alpha \, T^{i_1 \cdots i_p}{}_{j_1 \cdots j_q}

4.3 텐서 공간

주어진 유형 (p, q)의 모든 텐서는 벡터 공간을 이룬다. 이 공간의 차원은 n^{p+q}이다(n은 기저 벡터 공간의 차원).

\dim\left(T^p_q(V)\right) = n^{p+q}

5. 특수 텐서

5.1 크로네커 델타

크로네커 델타 \delta^i{}_j는 (1,1)-형 텐서이며, 항등 변환에 대응한다.

\delta^i{}_j = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

모든 좌표계에서 동일한 성분을 가지므로 **등방 텐서(isotropic tensor)**이다.

5.2 계량 텐서

계량 텐서(metric tensor) g_{ij}는 (0,2)-형 대칭 텐서로, 벡터 공간에 내적 구조를 부여한다.

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = g_{ij} \, u^i \, v^j

유클리드 공간의 직교 좌표계에서 g_{ij} = \delta_{ij}이다. 일반 곡선 좌표계에서는 g_{ij}가 위치에 따라 변할 수 있다.

계량 텐서는 지표의 올림과 내림(raising and lowering indices)에 사용된다.

v_i = g_{ij} \, v^j, \quad v^i = g^{ij} \, v_j

여기서 g^{ij}는 g_{ij}의 역행렬 성분이다.

6. 로봇공학에서의 텐서 차수 분류 요약

7. 참고 문헌

1. Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics. 3rd ed., Addison-Wesley.
2. Borisenko, A. I., & Tarapov, I. E. (1968). Vector and Tensor Analysis with Applications. Dover Publications.
3. Simmonds, J. G. (1994). A Brief on Tensor Analysis. 2nd ed., Springer.
4. Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed., Pearson Prentice Hall.
5. Marsden, J. E., & Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications.

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