6.120 로드리게스 공식과 회전의 지수 표현

1. 개요

3차원 공간에서의 회전은 로봇공학의 가장 기본적인 연산이다. 오일러의 회전 정리(Euler’s rotation theorem)에 의하면, 임의의 회전은 고정된 축을 중심으로 한 단일 회전으로 표현할 수 있다. 로드리게스(Rodrigues) 공식은 회전축과 회전각으로부터 회전 행렬을 직접 계산하는 닫힌 형태(closed-form)의 공식이며, 이는 반대칭 행렬의 행렬 지수와 정확히 일치한다. 본 절에서는 로드리게스 공식의 유도, 수학적 성질, 그리고 로봇공학에서의 다양한 응용을 다룬다.

2. 회전의 축-각 표현

2.1 기본 정의

임의의 회전은 단위 벡터 $\hat{\boldsymbol{\omega}} \in \mathbb{R}^3$ ( $\|\hat{\boldsymbol{\omega}}\| = 1$ )로 표현되는 회전축과 회전각 $\theta \in [0, \pi]$ 로 완전히 기술할 수 있다. 이 두 정보를 결합한 회전 벡터(rotation vector)는 다음과 같다.

$\boldsymbol{\omega} = \theta\,\hat{\boldsymbol{\omega}}$

회전 벡터의 방향은 회전축이고, 크기는 회전각이다. 회전의 양의 방향은 오른손 법칙(right-hand rule)을 따른다.

2.2 반대칭 행렬과 외적 연산자

벡터 $\boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)^T$ 에 대응하는 반대칭 행렬(skew-symmetric matrix)은 다음과 같이 정의한다.

$[\boldsymbol{\omega}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}$

이 행렬은 외적 연산을 행렬-벡터 곱으로 표현하는 역할을 한다. 즉, 임의의 벡터 $\mathbf{p}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$[\boldsymbol{\omega}]_\times \mathbf{p} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{p}$

반대칭 행렬의 집합 $\mathfrak{so}(3) = \{\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} : \mathbf{S}^T = -\mathbf{S}\}$ 는 회전 군 $SO(3)$ 의 리 대수(Lie algebra)를 구성한다.

3. 로드리게스 공식의 유도

3.1 행렬 지수로부터의 유도

단위 회전축 $\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 에 대해 $[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times$ 의 거듭제곱은 다음과 같은 주기적 성질을 갖는다.

$[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2 = \hat{\boldsymbol{\omega}}\hat{\boldsymbol{\omega}}^T - \mathbf{I}$

$[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^3 = -[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times$

$[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^4 = -[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2$

$[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^5 = [\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times$

이 주기성을 이용하여 행렬 지수의 급수를 정리한다.

$e^{\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\theta^k [\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^k}{k!}$

짝수 거듭제곱과 홀수 거듭제곱을 분리하면 다음과 같다.

$e^{\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} = \mathbf{I} + \left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times + \left(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^6}{6!} - \cdots\right)[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2$

괄호 안의 급수는 각각 $\sin\theta$ 와 $1 - \cos\theta$ 이므로 다음을 얻는다.

$\boxed{e^{\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} = \mathbf{I} + \sin\theta\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times + (1 - \cos\theta)\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2}$

이것이 로드리게스 공식(Rodrigues’ rotation formula)이다.

3.2 벡터 형태의 로드리게스 공식

회전 행렬 $\mathbf{R} = e^{\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times}$ 을 벡터 $\mathbf{p}$ 에 적용하면 다음과 같다.

$\mathbf{R}\mathbf{p} = \mathbf{p}\cos\theta + (\hat{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{p})\sin\theta + \hat{\boldsymbol{\omega}}(\hat{\boldsymbol{\omega}} \cdot \mathbf{p})(1 - \cos\theta)$

이 형태는 기하학적 해석이 명확하다.

$\mathbf{p}\cos\theta$ : 원래 벡터의 축소된 성분
$(\hat{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{p})\sin\theta$ : 회전축에 수직인 평면 내의 회전 성분
$\hat{\boldsymbol{\omega}}(\hat{\boldsymbol{\omega}} \cdot \mathbf{p})(1 - \cos\theta)$ : 회전축 방향 사영의 보정 성분

3.3 기하학적 유도

벡터 $\mathbf{p}$ 를 회전축 $\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 방향 성분과 수직 성분으로 분해한다.

$\mathbf{p}_\parallel = (\hat{\boldsymbol{\omega}} \cdot \mathbf{p})\hat{\boldsymbol{\omega}}, \quad \mathbf{p}_\perp = \mathbf{p} - \mathbf{p}_\parallel$

회전축 방향 성분 $\mathbf{p}_\parallel$ 은 회전에 의해 변하지 않는다. 수직 성분 $\mathbf{p}_\perp$ 는 $\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 에 수직인 평면 내에서 $\theta$ 만큼 회전한다. 이 평면의 직교 기저를 $\mathbf{p}_\perp$ 와 $\hat{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{p}_\perp = \hat{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{p}$ 로 잡으면 다음과 같다.

$\mathbf{R}\mathbf{p} = \mathbf{p}_\parallel + \mathbf{p}_\perp \cos\theta + (\hat{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{p})\sin\theta$

이를 전개하면 위의 벡터 형태와 동일한 결과를 얻는다.

4. 로드리게스 공식의 성질

4.1 직교성 보존

로드리게스 공식으로 계산한 $\mathbf{R}$ 이 직교 행렬임을 확인한다.

$\mathbf{R}^T = \mathbf{I} - \sin\theta\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times + (1 - \cos\theta)\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2 = e^{-\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times}$

따라서 $\mathbf{R}^T\mathbf{R} = e^{-\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} e^{\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} = \mathbf{I}$ 이다. 또한 $\det(\mathbf{R}) = e^{\text{tr}(\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times)} = e^0 = 1$ 이므로 $\mathbf{R} \in SO(3)$ 이다.

4.2 역회전

역회전은 부호를 바꾸어 얻는다.

$\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^T = e^{-\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} = \mathbf{I} - \sin\theta\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times + (1 - \cos\theta)\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2$

4.3 특수한 경우

$\theta = 0$ 일 때: $\mathbf{R} = \mathbf{I}$ (항등 회전)

$\theta = \pi$ 일 때: $\sin\pi = 0$ 이므로 다음과 같다.

$\mathbf{R} = \mathbf{I} + 2[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2 = 2\hat{\boldsymbol{\omega}}\hat{\boldsymbol{\omega}}^T - \mathbf{I}$

이는 $\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 축에 대한 $180°$ 회전이다.

$\theta = \pi/2$ 일 때: $\sin(\pi/2) = 1$ , $\cos(\pi/2) = 0$ 이므로 다음과 같다.

$\mathbf{R} = \mathbf{I} + [\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times + [\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2 = \hat{\boldsymbol{\omega}}\hat{\boldsymbol{\omega}}^T + [\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times$

5. 회전 행렬에서 축-각 추출

5.1 회전각의 추출

회전 행렬 $\mathbf{R}$ 로부터 회전각 $\theta$ 를 추출하려면 대각합(trace)을 이용한다. 로드리게스 공식에서 대각합을 취하면 다음과 같다.

$\text{tr}(\mathbf{R}) = 3 - 2(1 - \cos\theta) = 1 + 2\cos\theta$

따라서 회전각은 다음과 같다.

$\theta = \arccos\left(\frac{\text{tr}(\mathbf{R}) - 1}{2}\right)$

5.2 회전축의 추출

$\theta \neq 0$ 이고 $\theta \neq \pi$ 인 일반적인 경우, 회전축은 $\mathbf{R}$ 의 반대칭 부분으로부터 추출한다.

$\mathbf{R} - \mathbf{R}^T = 2\sin\theta\,[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times$

따라서 다음과 같다.

$[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times = \frac{\mathbf{R} - \mathbf{R}^T}{2\sin\theta}$

구체적으로 각 성분은 다음과 같다.

$\hat{\boldsymbol{\omega}} = \frac{1}{2\sin\theta}\begin{bmatrix} R_{32} - R_{23} \\ R_{13} - R_{31} \\ R_{21} - R_{12} \end{bmatrix}$

5.3 특이한 경우의 처리

$\theta = 0$ 인 경우: 회전축이 정의되지 않는다(항등 회전). 임의의 단위 벡터를 회전축으로 설정한다.

$\theta = \pi$ 인 경우: $\sin\theta = 0$ 이므로 반대칭 부분에서 축을 추출할 수 없다. 이 경우 $\mathbf{R} + \mathbf{I} = 2\hat{\boldsymbol{\omega}}\hat{\boldsymbol{\omega}}^T$ 를 이용한다. $\mathbf{R} + \mathbf{I}$ 의 영이 아닌 열벡터를 정규화하여 $\hat{\boldsymbol{\omega}}$ 를 얻는다.

$\hat{\boldsymbol{\omega}} = \frac{(\mathbf{R} + \mathbf{I})\mathbf{e}_j}{\|(\mathbf{R} + \mathbf{I})\mathbf{e}_j\|}$

여기서 $\mathbf{e}_j$ 는 $(\mathbf{R} + \mathbf{I})$ 의 열 중 가장 큰 노름을 갖는 열에 대응하는 단위 벡터이다.

5.4 수치적으로 안정한 구현

$\theta$ 가 $0$ 이나 $\pi$ 에 가까울 때 수치적 안정성을 위해 다음과 같은 전략을 사용한다.

$\cos\theta$ 와 $\sin\theta$ 를 동시에 사용하여 atan2 함수를 이용한다.

$\theta = \text{atan2}\left(\|(\mathbf{R} - \mathbf{R}^T)^{\vee}\| / 2,\, (\text{tr}(\mathbf{R}) - 1)/2\right)$

여기서 $(\cdot)^{\vee}$ 는 반대칭 행렬에서 벡터를 추출하는 연산자이다. 이 방법은 $\arccos$ 의 $\theta \approx 0, \pi$ 근방에서의 민감도 문제를 회피한다.

6. $SE(3)$ 로의 확장

6.1 트위스트와 강체 운동의 지수 표현

강체 운동은 회전과 병진의 결합이다. 트위스트(twist) $\boldsymbol{\xi} = (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{\omega})^T \in \mathbb{R}^6$ 에 대응하는 $4 \times 4$ 행렬은 다음과 같다.

$[\boldsymbol{\xi}] = \begin{bmatrix} [\boldsymbol{\omega}]_\times & \mathbf{v} \\ \mathbf{0}^T & 0 \end{bmatrix} \in \mathfrak{se}(3)$

이 행렬의 지수는 동차 변환 행렬을 생성한다.

$e^{\theta[\boldsymbol{\xi}]} = \begin{bmatrix} e^{\theta[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times} & \mathbf{G}(\theta)\mathbf{v} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in SE(3)$

여기서 $\boldsymbol{\omega} \neq \mathbf{0}$ 일 때, $\hat{\boldsymbol{\omega}} = \boldsymbol{\omega}/\|\boldsymbol{\omega}\|$ 이고 $\mathbf{G}(\theta)$ 는 다음과 같다.

$\mathbf{G}(\theta) = \mathbf{I}\theta + (1 - \cos\theta)[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times + (\theta - \sin\theta)[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2$

$\|\boldsymbol{\omega}\| = 1$ 로 정규화한 경우이며, 일반적인 $\boldsymbol{\omega}$ 에 대해서는 $\theta = \|\boldsymbol{\omega}\|$ 로 대체한다.

6.2 곱의 지수 공식(Product of Exponentials)

로봇 매니퓰레이터의 순기구학은 각 관절의 트위스트에 대한 지수의 곱으로 표현할 수 있다. $n$ 자유도 매니퓰레이터의 순기구학은 다음과 같다.

$\mathbf{T}(\mathbf{q}) = e^{[\boldsymbol{\xi}_1]q_1}\, e^{[\boldsymbol{\xi}_2]q_2} \cdots e^{[\boldsymbol{\xi}_n]q_n}\, \mathbf{T}(0)$

여기서 $\boldsymbol{\xi}_i$ 는 $i$ 번째 관절의 트위스트이고, $q_i$ 는 관절 변수이며, $\mathbf{T}(0)$ 은 기준 배치(reference configuration)에서의 말단 장치 변환이다.

이 표현은 DH 파라미터 방법과 동등한 정보를 담고 있으면서도, 좌표계를 각 관절에 부착할 필요가 없어 기하학적 직관이 명확하다는 장점이 있다.

7. 수치적 구현 시 주의사항

7.1 소각 근사

$\theta$ 가 매우 작을 때( $\theta < 10^{-8}$ 정도), $\sin\theta/\theta$ 와 $(1 - \cos\theta)/\theta^2$ 의 직접 계산은 $0/0$ 형태의 부정형이 될 수 있다. 이 경우 테일러 전개를 사용한다.

$\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 - \frac{\theta^2}{6} + \frac{\theta^4}{120} - \cdots$

$\frac{1 - \cos\theta}{\theta^2} = \frac{1}{2} - \frac{\theta^2}{24} + \frac{\theta^4}{720} - \cdots$

배정밀도에서 $\theta < 10^{-4}$ 정도면 첫 두 항만으로 기계 정밀도를 달성할 수 있다.

7.2 $\theta \approx \pi$ 근방

$\theta$ 가 $\pi$ 에 가까울 때 $\sin\theta \approx 0$ 이므로, 회전축 추출에서 $\sin\theta$ 로 나누는 연산이 불안정해진다. 이 경우 $\mathbf{R} + \mathbf{I} = 2\hat{\boldsymbol{\omega}}\hat{\boldsymbol{\omega}}^T$ 를 이용하는 것이 수치적으로 안정적이다.

7.3 계산 효율

로드리게스 공식의 행렬 형태는 삼각함수 2회, 행렬 곱 1회( $[\hat{\boldsymbol{\omega}}]_\times^2$ ), 스칼라-행렬 곱 2회, 행렬 합 2회로 계산할 수 있다. 이는 $3 \times 3$ 행렬 곱의 일반적인 비용( $O(27)$ 곱셈)보다 효율적이며, 반대칭 행렬의 구조를 이용하면 더욱 최적화할 수 있다.

8. 참고 문헌

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Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Selig, J. M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics (2nd ed.). Springer.
Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd ed.). Pearson Prentice Hall.
Rodrigues, O. (1840). “Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace.” Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 5, 380–440.

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