6.104 영 공간의 정의와 계산

1. 개요

영 공간(null space, 핵(kernel))은 선형대수학의 기본 개념 중 하나로, 행렬로 표현되는 선형 사상에서 영벡터로 사상되는 모든 벡터의 집합이다. 로봇공학에서 영 공간은 야코비안의 영 공간을 통해 여유 자유도(redundancy)를 활용하는 데 핵심적인 역할을 한다. 이 절에서는 영 공간의 수학적 정의, 계산 방법, 그리고 로봇공학에서의 의미를 상세히 다룬다.

2. 영 공간의 정의

2.1 일반 정의

행렬 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}에 대해 영 공간 \mathcal{N}(\mathbf{A})는 다음과 같이 정의된다.

\mathcal{N}(\mathbf{A}) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0} \}

즉, \mathbf{A}에 의해 영벡터로 사상되는 \mathbb{R}^n의 모든 벡터의 집합이다.

2.2 부분공간 성질

\mathcal{N}(\mathbf{A})는 \mathbb{R}^n의 부분공간(subspace)이다. 이를 확인하기 위해 다음 세 조건을 검증한다.

1. 영벡터 포함: \mathbf{A}\mathbf{0} = \mathbf{0}이므로 \mathbf{0} \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이다.
2. 덧셈에 대한 닫힘: \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이면 \mathbf{A}(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) = \mathbf{A}\mathbf{x}_1 + \mathbf{A}\mathbf{x}_2 = \mathbf{0}이므로 \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이다.
3. 스칼라 곱에 대한 닫힘: \mathbf{x} \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이고 c \in \mathbb{R}이면 \mathbf{A}(c\mathbf{x}) = c\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}이므로 c\mathbf{x} \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이다.

2.3 널리티 (Nullity)

영 공간의 차원을 널리티(nullity)라 하고 다음과 같이 표기한다.

\text{nullity}(\mathbf{A}) = \dim(\mathcal{N}(\mathbf{A}))

3. 영 공간의 계산 방법

3.1 방법 1: 가우스 소거법

\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}의 해를 구하기 위해 \mathbf{A}를 행 사다리꼴 형태(Row Echelon Form, REF) 또는 기약 행 사다리꼴 형태(Reduced Row Echelon Form, RREF)로 변환한다.

단계:

1. \mathbf{A}에 행 연산을 적용하여 RREF를 구한다.
2. 피벗 열(pivot column)과 자유 변수(free variable)에 해당하는 열을 식별한다.
3. 자유 변수를 매개변수로 설정하고, 피벗 변수를 자유 변수로 표현한다.
4. 일반해를 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현한다.

예제: 다음 행렬의 영 공간을 구하라.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}

RREF로 변환하면

\text{RREF}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

피벗 열은 1열이고, 자유 변수는 x_2와 x_3이다. x_2 = s, x_3 = t로 놓으면 x_1 = -2s - 3t이므로

\mathbf{x} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

따라서 \mathcal{N}(\mathbf{A})의 기저는 \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}이고 \text{nullity}(\mathbf{A}) = 2이다.

3.2 방법 2: 특이값 분해 (SVD)

\mathbf{A} = \mathbf{U} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{V}^\top의 SVD에서, \text{rank}(\mathbf{A}) = r이면 \mathbf{V}의 마지막 n - r개의 열벡터가 \mathcal{N}(\mathbf{A})의 정규 직교 기저를 형성한다.

\mathcal{N}(\mathbf{A}) = \text{span}\{\mathbf{v}_{r+1}, \mathbf{v}_{r+2}, \dots, \mathbf{v}_n\}

증명: i > r이면 \sigma_i = 0이므로

\mathbf{A}\mathbf{v}_i = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^\top \mathbf{v}_i = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{e}_i = \sigma_i \mathbf{u}_i = \mathbf{0}

따라서 \mathbf{v}_i \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이다. \{\mathbf{v}_{r+1}, \dots, \mathbf{v}_n\}은 정규 직교이므로 일차 독립이고, 개수가 n - r = \text{nullity}(\mathbf{A})개이므로 기저를 형성한다.

3.3 방법 3: QR 분해

열 피벗팅을 적용한 QR 분해 \mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{Q}\mathbf{R}에서, \mathbf{R}의 대각 원소가 0인 열에 대응하는 \mathbf{P}의 열들로부터 영 공간의 기저를 구성할 수 있다. 이 방법은 SVD보다 계산 비용이 적다.

4. 영 공간 사영 행렬

4.1 정의

영 공간으로의 직교 사영(orthogonal projection) 행렬은 다음과 같이 정의된다.

\mathbf{N} = \mathbf{I} - \mathbf{A}^+ \mathbf{A}

여기서 \mathbf{A}^+는 Moore-Penrose 의사 역행렬이다.

4.2 성질

영 공간 사영 행렬 \mathbf{N}은 다음 성질을 만족한다.

1. 멱등성: \mathbf{N}^2 = \mathbf{N}
2. 대칭성: \mathbf{N}^\top = \mathbf{N}
3. 사영 성질: 임의의 \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n에 대해 \mathbf{A}(\mathbf{N}\mathbf{z}) = \mathbf{0}
4. 고정점 성질: \mathbf{x} \in \mathcal{N}(\mathbf{A})이면 \mathbf{N}\mathbf{x} = \mathbf{x}

성질 1의 증명:

\mathbf{N}^2 = (\mathbf{I} - \mathbf{A}^+\mathbf{A})(\mathbf{I} - \mathbf{A}^+\mathbf{A}) = \mathbf{I} - 2\mathbf{A}^+\mathbf{A} + \mathbf{A}^+\mathbf{A}\mathbf{A}^+\mathbf{A}

Moore-Penrose 조건 \mathbf{A}^+\mathbf{A}\mathbf{A}^+ = \mathbf{A}^+에 의해 \mathbf{A}^+\mathbf{A}\mathbf{A}^+\mathbf{A} = \mathbf{A}^+\mathbf{A}이므로

\mathbf{N}^2 = \mathbf{I} - 2\mathbf{A}^+\mathbf{A} + \mathbf{A}^+\mathbf{A} = \mathbf{I} - \mathbf{A}^+\mathbf{A} = \mathbf{N}

성질 3의 증명:

\mathbf{A}\mathbf{N}\mathbf{z} = \mathbf{A}(\mathbf{I} - \mathbf{A}^+\mathbf{A})\mathbf{z} = \mathbf{A}\mathbf{z} - \mathbf{A}\mathbf{A}^+\mathbf{A}\mathbf{z}

Moore-Penrose 조건 \mathbf{A}\mathbf{A}^+\mathbf{A} = \mathbf{A}에 의해

\mathbf{A}\mathbf{N}\mathbf{z} = \mathbf{A}\mathbf{z} - \mathbf{A}\mathbf{z} = \mathbf{0}

4.3 SVD를 이용한 표현

SVD에서 \mathbf{A}^+ \mathbf{A} = \mathbf{V}_r \mathbf{V}_r^\top이므로 (\mathbf{V}_r은 \mathbf{V}의 처음 r개 열)

\mathbf{N} = \mathbf{I} - \mathbf{V}_r \mathbf{V}_r^\top = \mathbf{V}_0 \mathbf{V}_0^\top

여기서 \mathbf{V}_0 = [\mathbf{v}_{r+1}, \dots, \mathbf{v}_n]은 영 공간의 정규 직교 기저이다.

5. 로봇공학에서의 영 공간

5.1 야코비안의 영 공간

로봇 매니퓰레이터에서 야코비안 \mathbf{J} \in \mathbb{R}^{m \times n}의 영 공간은

\mathcal{N}(\mathbf{J}) = \{ \dot{\boldsymbol{\theta}} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{J} \dot{\boldsymbol{\theta}} = \mathbf{0} \}

으로 정의된다. 물리적으로 이는 말단 장치의 속도를 발생시키지 않으면서 관절이 움직이는 내부 운동(self-motion)에 해당한다.

5.2 여유 자유도의 정량화

m < n인 여유 자유도 로봇에서, 풀 랭크일 때

\dim(\mathcal{N}(\mathbf{J})) = n - m

이다. 예를 들어, 7자유도 로봇의 6차원 태스크에서는 \dim(\mathcal{N}(\mathbf{J})) = 1이므로 1차원의 자기 운동 자유도가 존재한다.

5.3 영 공간을 이용한 부가 목적 최적화

의사 역행렬 해에 영 공간 성분을 추가하여 부가 목적을 달성한다.

\dot{\boldsymbol{\theta}} = \mathbf{J}^+ \dot{\mathbf{x}}_d + (\mathbf{I} - \mathbf{J}^+ \mathbf{J}) \dot{\boldsymbol{\theta}}_0

영 공간 사영 (\mathbf{I} - \mathbf{J}^+ \mathbf{J}) \dot{\boldsymbol{\theta}}_0는 주 태스크(\mathbf{J} \dot{\boldsymbol{\theta}} = \dot{\mathbf{x}}_d)에 영향을 주지 않으면서 관절 공간에서의 부가 목적을 추구한다.

경사 하강법(gradient descent)을 적용하여 스칼라 목적 함수 H(\boldsymbol{\theta})를 최대화하고자 하면

\dot{\boldsymbol{\theta}}_0 = k \nabla_{\boldsymbol{\theta}} H(\boldsymbol{\theta})

로 설정한다.

5.4 전형적인 부가 목적 함수

관절 한계 회피:

H(\boldsymbol{\theta}) = -\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\theta_i - \bar{\theta}_i}{\theta_{i,\max} - \theta_{i,\min}} \right)^2

여기서 \bar{\theta}_i = (\theta_{i,\max} + \theta_{i,\min})/2는 i번째 관절의 중앙값이다.

조작도 최대화:

H(\boldsymbol{\theta}) = \sqrt{\det(\mathbf{J}(\boldsymbol{\theta}) \mathbf{J}(\boldsymbol{\theta})^\top)}

6. 좌영 공간

행렬 \mathbf{A}의 좌영 공간(left null space)은 \mathbf{A}^\top의 영 공간으로 정의된다.

\mathcal{N}(\mathbf{A}^\top) = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^m \mid \mathbf{A}^\top \mathbf{y} = \mathbf{0} \}

이는 \mathbf{A}의 열 공간(column space)에 직교하는 부분공간이다.

\mathcal{N}(\mathbf{A}^\top) = \mathcal{C}(\mathbf{A})^{\perp}

여기서 \mathcal{C}(\mathbf{A}) = \{ \mathbf{A}\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \}은 \mathbf{A}의 열 공간이다.

로봇공학에서 \mathcal{N}(\mathbf{J}^\top)은 야코비안의 열 공간에 직교하는 태스크 공간 방향, 즉 어떤 관절 토크로도 발생시킬 수 없는 태스크 공간 힘/모멘트 방향을 나타낸다.

7. 네 가지 기본 부분공간의 관계

행렬 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}에 대해 네 가지 기본 부분공간은 다음과 같다.

직교 분해 관계:

\mathbb{R}^n = \mathcal{C}(\mathbf{A}^\top) \oplus \mathcal{N}(\mathbf{A})

\mathbb{R}^m = \mathcal{C}(\mathbf{A}) \oplus \mathcal{N}(\mathbf{A}^\top)

8. 참고 문헌

• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
• Nakamura, Y. (1991). Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications (5th ed.). Pearson.

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