6.10 벡터 사영과 직교 분해

1. 사영의 개념

사영(projection)은 한 벡터를 다른 벡터 또는 부분 공간의 방향으로 “투영“하여 그 방향 성분을 추출하는 연산이다. 사영은 직교 분해, 최소 제곱법, 그람-슈미트 정규 직교화, 회전 표현, 점-평면 거리 계산 등 선형대수학과 로봇공학 전반에 걸쳐 핵심적으로 사용된다.

2. 벡터 위로의 사영

정의 6.10.1 (벡터 사영). 영벡터가 아닌 벡터 \mathbf{u} 위로의 벡터 \mathbf{v}의 사영은 다음과 같이 정의된다.

\text{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u}^\top \mathbf{v}}{\mathbf{u}^\top \mathbf{u}} \mathbf{u}

이 사영은 \mathbf{u} 방향의 직선 \text{span}(\mathbf{u})에 속하며, \mathbf{v}의 \mathbf{u} 방향 성분을 나타낸다.

\mathbf{u}가 단위 벡터인 경우(\|\mathbf{u}\| = 1), 사영의 표현은 단순화된다.

\text{proj}_{\hat{\mathbf{u}}} \mathbf{v} = (\hat{\mathbf{u}}^\top \mathbf{v}) \hat{\mathbf{u}}

3. 사영의 기하학적 해석

벡터 사영의 크기는 \|\text{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v}\| = \frac{|\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle|}{\|\mathbf{u}\|} = \|\mathbf{v}\| |\cos\theta|이며, 여기서 \theta는 \mathbf{v}와 \mathbf{u}의 사잇각이다. 이 값을 \mathbf{v}의 \mathbf{u} 방향 스칼라 사영(scalar projection) 또는 성분(component)이라 하며, 다음과 같이 표기한다.

\text{comp}_{\mathbf{u}} \mathbf{v} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{u}\|}

직교 분해

벡터 \mathbf{v}는 \mathbf{u} 방향 성분과 그에 수직인 성분의 합으로 유일하게 분해된다.

정리 6.10.1 (직교 분해 정리). 영벡터가 아닌 벡터 \mathbf{u}와 임의의 벡터 \mathbf{v}에 대하여, 다음의 분해가 유일하게 존재한다.

\mathbf{v} = \mathbf{v}_{\parallel} + \mathbf{v}_{\perp}

여기서 \mathbf{v}_{\parallel} = \text{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v}이고, \mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v}이며, \mathbf{v}_{\perp} \perp \mathbf{u}가 성립한다.

증명. \mathbf{v}_{\perp} \cdot \mathbf{u} = (\mathbf{v} - \frac{\mathbf{u}^\top \mathbf{v}}{\mathbf{u}^\top \mathbf{u}} \mathbf{u}) \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}^\top \mathbf{v} - \frac{\mathbf{u}^\top \mathbf{v}}{\mathbf{u}^\top \mathbf{u}} \mathbf{u}^\top \mathbf{u} = 0이므로 \mathbf{v}_{\perp} \perp \mathbf{u}이다. 분해의 유일성은 직교 조건으로부터 곧바로 따라온다. \square

4. 부분 공간 위로의 사영

부분 공간 W \subseteq \mathbb{R}^n이 정규 직교 기저 \{\hat{\mathbf{u}}_1, \hat{\mathbf{u}}_2, \ldots, \hat{\mathbf{u}}_k\}를 가질 때, 벡터 \mathbf{v}의 W 위로의 사영은 각 기저 벡터 위로의 사영의 합으로 계산된다.

\text{proj}_W \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{k} (\hat{\mathbf{u}}_i^\top \mathbf{v}) \hat{\mathbf{u}}_i

일반적인 기저 \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_k\}의 경우, 행렬 U = [\mathbf{u}_1 \; \mathbf{u}_2 \; \cdots \; \mathbf{u}_k] \in \mathbb{R}^{n \times k}를 정의하면 사영은 다음과 같이 표현된다.

\text{proj}_W \mathbf{v} = U(U^\top U)^{-1} U^\top \mathbf{v}

5. 사영 행렬

부분 공간 W 위로의 사영을 수행하는 행렬을 사영 행렬(projection matrix)이라 한다.

정의 6.10.2 (사영 행렬). 행렬 P \in \mathbb{R}^{n \times n}이 다음 두 조건을 만족하면 직교 사영 행렬(orthogonal projection matrix)이라 한다.

1. 멱등성(Idempotence): P^2 = P
2. 대칭성(Symmetry): P^\top = P

기저 행렬 U가 주어지면 직교 사영 행렬은 다음과 같이 구성된다.

P = U(U^\top U)^{-1} U^\top

만약 U의 열벡터가 정규 직교이면 U^\top U = I이므로 사영 행렬은 다음과 같이 단순화된다.

P = UU^\top

6. 사영 행렬의 성질

정리 6.10.2. 직교 사영 행렬 P는 다음 성질을 만족한다.

(i) P의 고유값은 0 또는 1만 가진다.

(ii) \text{rank}(P) = \dim(W), \text{tr}(P) = \dim(W)

(iii) I - P는 W의 직교 보수 공간(orthogonal complement) W^{\perp} 위로의 사영이다.

(iv) 임의의 \mathbf{v}에 대하여 P\mathbf{v}는 W에서 \mathbf{v}에 가장 가까운 점이다. 즉,

\|\mathbf{v} - P\mathbf{v}\| = \min_{\mathbf{w} \in W} \|\mathbf{v} - \mathbf{w}\|

성질 (iv)는 사영의 최적성을 나타내며, 최소 제곱법의 이론적 기반이 된다.

직교 보수 공간

정의 6.10.3 (직교 보수 공간). 부분 공간 W \subseteq V의 직교 보수 공간은 다음과 같이 정의된다.

W^{\perp} = \{\mathbf{v} \in V \mid \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 \text{ for all } \mathbf{w} \in W\}

직교 보수 공간 W^{\perp}는 V의 부분 공간이며, 다음의 성질을 만족한다.

• W \cap W^{\perp} = \{\mathbf{0}\}
• V = W \oplus^{\perp} W^{\perp} (직교 직합)
• \dim(W) + \dim(W^{\perp}) = \dim(V)
• (W^{\perp})^{\perp} = W

7. 직교 분해 정리의 일반화

정리 6.10.3 (직교 분해 정리의 일반화). V의 임의의 부분 공간 W에 대하여, 모든 \mathbf{v} \in V는 다음과 같이 유일하게 분해된다.

\mathbf{v} = \mathbf{w} + \mathbf{w}^{\perp}, \quad \mathbf{w} \in W, \; \mathbf{w}^{\perp} \in W^{\perp}

여기서 \mathbf{w} = \text{proj}_W \mathbf{v}이고, \mathbf{w}^{\perp} = \mathbf{v} - \text{proj}_W \mathbf{v}이다.

점과 부분 공간 사이의 거리

벡터 \mathbf{v}로부터 부분 공간 W까지의 거리는 직교 보수 성분의 노름과 같다.

d(\mathbf{v}, W) = \|\mathbf{v} - \text{proj}_W \mathbf{v}\| = \|(I - P)\mathbf{v}\|

이 거리는 W 안의 임의의 점까지의 거리 중 최솟값이며, 사영의 최적성을 정량적으로 표현한다.

8. 로봇공학에서의 응용

8.1 최소 제곱 해

과결정 시스템 A\mathbf{x} = \mathbf{b} (A \in \mathbb{R}^{m \times n}, m > n)에서 정확한 해가 존재하지 않을 때, 잔차 \|\mathbf{b} - A\mathbf{x}\|를 최소화하는 해는 사영의 최적성으로부터 도출된다. 최소 제곱 해는 \mathbf{b}의 \text{col}(A) 위로의 사영에 해당하는 A\mathbf{x}^\ast를 만드는 \mathbf{x}^\ast이며, 다음의 정규 방정식(normal equation)으로부터 얻는다.

A^\top A \mathbf{x}^\ast = A^\top \mathbf{b}

이 식은 잔차 벡터가 \text{col}(A)에 직교한다는 조건 A^\top (\mathbf{b} - A\mathbf{x}^\ast) = \mathbf{0}으로부터 유도된다. 로봇 캘리브레이션, SLAM 백엔드 최적화, 센서 융합 등 거의 모든 추정 문제가 이 정규 방정식의 형태로 환원된다.

그람-슈미트 정규 직교화

선형 독립인 벡터 집합 \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}로부터 정규 직교 기저 \{\hat{\mathbf{u}}_1, \hat{\mathbf{u}}_2, \ldots, \hat{\mathbf{u}}_k\}를 구성하는 그람-슈미트 과정은 사영의 반복적 적용으로 수행된다.

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \hat{\mathbf{u}}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|}

\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\hat{\mathbf{u}}_1} \mathbf{v}_2, \quad \hat{\mathbf{u}}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|}

\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \text{proj}_{\hat{\mathbf{u}}_i} \mathbf{v}_k, \quad \hat{\mathbf{u}}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\|\mathbf{u}_k\|}

이 과정은 회전 행렬의 재정규화, QR 분해의 구성, 직교 다항식의 생성 등에 활용된다.

8.2 회전 행렬의 재정규화

수치 연산 과정에서 회전 행렬의 직교성이 손상될 수 있으며, 이를 복원하기 위해 그람-슈미트 과정 또는 SVD 기반 재정규화가 사용된다. 행렬 R의 SVD가 R = U\Sigma V^\top일 때, 재정규화된 회전 행렬은 R_{\text{재정규화}} = UV^\top이다.

8.3 자코비안의 영 공간 사영

여유 자유도 로봇의 역기구학에서, 영 공간 사영 행렬 N = I - J^{+}J를 이용하여 임의의 관절 속도 후보 \dot{\mathbf{q}}_0를 자코비안의 영 공간으로 사영함으로써 부차 목표 운동을 생성한다.

\dot{\mathbf{q}} = J^{+}\dot{\mathbf{x}} + N\dot{\mathbf{q}}_0

이 사영은 말단 장치의 위치와 자세를 변화시키지 않으면서 관절 한계 회피, 장애물 회피 등을 수행하는 데 활용된다.

점-평면 거리와 ICP

ICP(Iterative Closest Point) 알고리즘의 점-평면 변형(point-to-plane variant)에서, 각 점과 목표 평면 사이의 거리는 사영을 통해 계산되며, 평면의 법선 방향으로의 잔차가 최적화 비용 함수로 사용된다. 이 방식은 표준 점-점 ICP보다 빠른 수렴 속도를 보이는 것으로 알려져 있다.

칼만 필터의 갱신 단계

칼만 필터의 갱신 단계는 본질적으로 측정 부분 공간으로의 사영 연산이다. 칼만 이득 행렬 K는 측정 잔차를 상태 공간으로 매핑하는 일종의 가중 사영이며, 이로부터 추정 상태가 측정 정보를 반영하여 갱신된다.

참고문헌

• Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
• Axler, S. (2024). Linear Algebra Done Right (4th ed.). Springer.
• Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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