### 0.0.1 도심 협곡(Urban Canyon) 및 구조물 근접 비행 시 반사파(Multipath) 신호가 코드 위상 추적 루프(DLL)에 미치는 왜곡 모델링

다중 경로(Multipath)로 인한 GPS 오차는 하늘이 뻥 뚫려있는 개활지에서는 거의 발생하지 않는다. 이 재앙은 주로 고층 빌딩이 숲을 이루는 도심 협곡(Urban Canyon)이나, 교량(Bridge) 하부 점검, 송전탑 근접 정밀 비행과 같이 전파를 반사할 수 있는 거대한 구조물 곁을 지날 때 극대화된다.

본 절에서는 왜 이러한 반사파가 수신기 내부의 지능적인 신호 추적기를 바보로 만드는지, 그 원리를 코드 위상 추적 루프(DLL, Delay Lock Loop)의 붕괴 모델링 측면에서 심층적으로 분석한다.

0.1 직접파(LOS)와 반사파(Multipath)의 중첩 모델링

GPS 수신기 안테나는 하늘에서 내려오는 깨끗한 가시거리(LOS, Line-Of-Sight) 신호 $S_{LOS}(t)$ 만 골라 받을 수 없다. 주변 빌딩 유리에 맞고 튕겨 나온 반사파 신호들 $S_{MP_i}(t)$ 이 짧게는 수 나노초(ns), 길게는 수 마이크로초( $\mu s$ ) 지연된 상태로 연달아 쏟아져 들어온다.

안테나가 실제로 수신하는 누적 신호 $S_{RX}(t)$ 모델은 다음과 같다:

$S_{RX}(t) = S_{LOS}(t) + \sum_{i=1}^{N} \alpha_i \cdot S_{LOS}(t - \tau_i) e^{j\theta_i}$

$\alpha_i$ : 건물 벽면의 재질(유리, 콘크리트 등)로 인해 감쇠된 반사파의 진폭(Amplitude) 수렴 계수.
$\tau_i$ : 우회 경로를 거치며 발생한 시간 지연(Delay).
$\theta_i$ : 반사되면서 발생한 반송파(Carrier)의 위상(Phase) 편이.

문제는 이 지연된 복제본(반사파)들이 원본(직접파)과 시간적으로 너무 바짝 붙어 들어올 때 발생한다.

0.2 코드 위상 추적 루프(DLL)의 식별 한계와 왜곡

GPS 수신기의 코어는 ’코드 위상 추적 루프(DLL)’라는 알고리즘 덩어리다. DLL은 수신된 신호를 자신이 내부적으로 복제한 PRN 코드와 이리저리 맞춰보며 상관 함수(Correlation Function) 그래프를 그린다. 두 코드가 완벽히 시간적으로 일치할 때, 그래프는 날카로운 삼각형 모양의 상관 피크(Correlation Peak) 를 형성한다. 이 피크의 꼭짓점이 바로 위성 신호의 ’도착 시간’이다.

그러나 앞서 모델링한 중첩 신호 $S_{RX}(t)$ 가 수신기에 들어오면 참사가 벌어진다.

비대칭 왜곡(Asymmetric Distortion): 지연된 반사파가 만들어내는 상관 피크가 원본 피크의 오른쪽(지연된 시간대) 사면을 타고 올라가 중첩된다. 날카로웠던 삼각형 피크의 오른쪽 변형이 심하게 찌그러지며(Distortion) 뭉툭해진다.
Early-Late 게이트의 동기화 실패: DLL은 피크의 정점을 찾기 위해 피크의 양쪽 비탈면에 ’Early Gate’와 ’Late Gate’라는 측정 지점을 두고 두 에너지 값이 같아지는 중앙 지점을 꼭짓점으로 삼는다. 반사파에 의해 오른쪽 비탈면이 부풀어 오르면, DLL 컨트롤러는 피크의 꼭짓점이 오른쪽으로 밀려났다고 착각하고 수신기의 내부 타이머를 지연시간 쪽으로 끌고 간다( $\tau$ 에러 발생).
지연 지시 에러(Tracking Error): 추적 루프가 완전히 반사파에 속아 넘어가는 이 현상을 수학적으로 모델링하면, 코드 위상 오차 $\Delta \tau$ 는 반사파의 상대적 크기( $\alpha$ )와 지연 시간( $\tau$ )에 비례하여 기하급수적으로 증가한다. 수십 나노초(ns)의 시간 착각은 빛의 속도( $c$ )와 곱해져 곧바로 수십 미터의 거리 오차(Pseudorange Error)로 변모한다.

0.3 구조물 근접 비행 시의 다이내믹 모델(Dynamic Model)

도심 협곡이나 다리 밑을 10m/s 로 비행 중인 드론을 상상해 보자. 구조물의 기하학적 배치가 매초 달라지므로, 안테나에 꽂히는 반사파의 위상( $\theta$ )과 감쇠율( $\alpha$ )이 수십 헤르츠(Hz) 주기로 춤을 춘다(Fading).

이 현상은 상관 피크를 단순히 한쪽으로 미는 것이 아니라, 오른쪽 비탈면을 미친 듯이 부풀렸다가 꺼뜨리기를 반복한다(Constructive and Destructive Interference). DLL 루프는 이 파동을 쫓아가려다 제어 루프 진동(Oscillation)에 빠지고, 결국 락(Lock)을 완전히 잃어버릴 수 있다.

이것이 도심 구조물 근처에서 비행 기록(Log) 상의 위성 개수(Num Sats)는 20여 개로 빵빵하게 유지되는데도 불구하고, 갑자기 기체가 미친 듯이 꿀렁거리며 5~10미터씩 튀어오르는(Glitch) 현상의 근본적인 수학적 메커니즘이다.