29.28 쌍대 기저(Dual Basis)의 정의와 구성 방법

1. 쌍대 기저의 형식적 정의

$V$ 를 체 $\mathbb{F}$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라 하고, $\mathcal{B} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ 을 $V$ 의 기저라 하자. 쌍대 기저(dual basis) $\mathcal{B}^* = \{\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n\}$ 는 쌍대 공간 $V^*$ 의 기저로서, 다음의 이중 직교(bi-orthogonality) 조건을 만족하는 선형 범함수들의 집합이다.

$\varphi_i(v_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

2. 쌍대 기저의 존재성과 유일성

2.1 존재성

정리. $V$ 의 임의의 기저 $\mathcal{B} = \{v_1, \ldots, v_n\}$ 에 대하여, 이중 직교 조건을 만족하는 쌍대 기저 $\mathcal{B}^*$ 가 유일하게 존재한다.

증명. 각 $i = 1, 2, \ldots, n$ 에 대하여 $\varphi_i$ 를 구성한다. $\varphi_i$ 는 기저 $\mathcal{B}$ 위에서의 값 $\varphi_i(v_j) = \delta_{ij}$ 에 의해 결정되어야 한다. 임의의 $x = \sum_{j=1}^n c_j v_j \in V$ 에 대하여 선형성으로부터

$\varphi_i(x) = \varphi_i\left(\sum_{j=1}^n c_j v_j\right) = \sum_{j=1}^n c_j \varphi_i(v_j) = \sum_{j=1}^n c_j \delta_{ij} = c_i$

따라서 $\varphi_i$ 는 기저 $\mathcal{B}$ 에 대한 $i$ 번째 좌표 추출 함수로 유일하게 결정된다. $\blacksquare$

2.2 유일성

기저에서의 값이 지정되면 선형 사상은 유일하게 결정되므로, 쌍대 기저의 각 원소 $\varphi_i$ 는 유일하다. 따라서 쌍대 기저 전체가 유일하다.

3. 쌍대 기저가 $V^*$ 의 기저임의 증명

정리. $\mathcal{B}^* = \{\varphi_1, \ldots, \varphi_n\}$ 은 $V^*$ 의 기저이다.

일차독립: $\sum_{i=1}^n \alpha_i \varphi_i = 0$ ( $V^*$ 의 영 범함수)이라 가정하라. 각 $v_j$ 에 대하여

$0 = \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \varphi_i\right)(v_j) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_{ij} = \alpha_j$

따라서 $\alpha_1 = \cdots = \alpha_n = 0$ .

생성: 임의의 $\psi \in V^*$ 에 대하여 $\psi = \sum_{i=1}^n \psi(v_i) \varphi_i$ 임을 보인다. 임의의 $x = \sum_{j=1}^n c_j v_j$ 에 대하여

$\left(\sum_{i=1}^n \psi(v_i) \varphi_i\right)(x) = \sum_{i=1}^n \psi(v_i) c_i = \psi\left(\sum_{i=1}^n c_i v_i\right) = \psi(x)$

모든 $x \in V$ 에서 일치하므로 $\psi = \sum_{i=1}^n \psi(v_i) \varphi_i$ . $\blacksquare$

4. $\mathbb{R}^n$ 에서의 쌍대 기저 구성

4.1 표준 기저의 쌍대 기저

$\mathbb{R}^n$ 의 표준 기저 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 에 대한 쌍대 기저는

$\varphi_i(x) = e_i^T x = x_i$

이다. 즉, $\varphi_i$ 는 $i$ 번째 좌표를 추출하는 함수이며, 행 벡터 $e_i^T$ 로 표현된다.

4.2 일반 기저의 쌍대 기저 구성

$\mathcal{B} = \{v_1, \ldots, v_n\}$ 이 $\mathbb{R}^n$ 의 기저이고, $P = (v_1 \mid v_2 \mid \cdots \mid v_n)$ 이 기저 벡터를 열로 배치한 행렬이라 하자. 쌍대 기저의 각 $\varphi_i$ 를 행 벡터 $w_i^T$ 로 표현하면, 이중 직교 조건은

$w_i^T v_j = \delta_{ij}$

이를 행렬 형태로 쓰면

$WP = I_n$

여기서 $W$ 는 $w_i^T$ 를 $i$ 번째 행으로 갖는 행렬이다. 따라서

$W = P^{-1}$

쌍대 기저의 행 벡터 표현은 기저 행렬의 역행렬의 행벡터들이다.

4.3 구체적 예시

$\mathbb{R}^2$ 에서 기저 $\mathcal{B} = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right\}$ 의 쌍대 기저를 구하라.

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

따라서

$\varphi_1(x) = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2, \quad \varphi_2(x) = \frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_2$

검증:

$\varphi_1(v_1) = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = 1$ $\checkmark$
$\varphi_1(v_2) = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(-1) = 0$ $\checkmark$
$\varphi_2(v_1) = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(1) = 0$ $\checkmark$
$\varphi_2(v_2) = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(-1) = 1$ $\checkmark$

5. 쌍대 기저와 좌표 추출

쌍대 기저의 핵심적 기능은 좌표 추출이다. 벡터 $x \in V$ 의 기저 $\mathcal{B}$ 에 대한 좌표 표현이 $x = \sum_{j=1}^n c_j v_j$ 이면

$\varphi_i(x) = c_i$

즉, 쌍대 기저 원소 $\varphi_i$ 를 적용하면 $x$ 의 $i$ 번째 좌표가 추출된다. 이는 좌표 벡터 $[x]_{\mathcal{B}} = (\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots, \varphi_n(x))^T$ 로 표현할 수 있다.

6. 기저 변환과 쌍대 기저의 변환

$V$ 의 기저가 $\mathcal{B}$ 에서 $\mathcal{B}'$ 로 변환될 때 쌍대 기저의 변환 법칙을 살펴보라.

$P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ 를 전이 행렬이라 하면, 쌍대 기저는 역전치(inverse transpose) 행렬에 의해 변환된다.

$\varphi_i' = \sum_{j=1}^n \left[(P^{-1})^T\right]_{ij} \varphi_j$

이는 쌍대 공간에서의 기저 변환이 원래 공간에서의 기저 변환과 **반변적(contravariant)**으로 변환된다는 것을 의미한다. 원래 기저 벡터가 $P$ 에 의해 변환되면, 쌍대 기저는 $(P^{-1})^T = (P^T)^{-1}$ 에 의해 변환된다.

7. 정규 직교 기저의 쌍대 기저

$V$ 가 내적 공간이고 $\{e_1, \ldots, e_n\}$ 이 정규 직교 기저이면, $P = I_n$ 이므로 $P^{-1} = I_n$ 이다. 따라서 쌍대 기저는

$\varphi_i(x) = e_i^T x = \langle e_i, x \rangle$

정규 직교 기저에서는 쌍대 기저 원소가 내적에 의해 자연스럽게 주어진다. 이 경우 원래 기저와 쌍대 기저가 동일한 구조를 가지므로 $V$ 와 $V^*$ 의 구별이 실질적으로 불필요하다.

비정규 직교 기저에서는 이러한 단순성이 성립하지 않으며, 원래 기저와 쌍대 기저가 본질적으로 다른 방향을 가리키게 된다.

8. 쌍대 기저의 기하학적 해석

$\mathbb{R}^n$ 에서 쌍대 기저 벡터 $w_i$ 는 기하학적으로 다음과 같이 해석된다. $w_i$ 는 기저 벡터 $v_i$ 에 대해서는 단위 성분을 갖고, 다른 모든 기저 벡터 $v_j$ ( $j \neq i$ )에 대해서는 직교한다.

구체적으로, $w_i$ 는 $v_j$ ( $j \neq i$ )들이 생성하는 부분 공간에 직교하며, $v_i$ 방향으로의 사영 크기가 $\frac{1}{\|v_i\|^2}$ 이 되도록 정규화된 벡터이다.

기저 벡터들이 직교하지 않으면 쌍대 기저 벡터는 원래 기저 벡터와 다른 방향을 가리키게 되며, 이 차이가 반변 벡터(contravariant vector)와 공변 벡터(covariant vector)의 구분이 필요한 근본적 이유이다.

9. 텐서 분석과의 연결

쌍대 기저는 텐서 분석에서 반변 성분(contravariant component)과 공변 성분(covariant component)의 구분의 수학적 기반이다. 벡터 $x = \sum_i x^i v_i$ 에서 위 첨자(superscript) 좌표 $x^i$ 는 반변 성분이고, $x_i = \varphi_i(x)$ 는 공변 성분이다.

내적 공간에서 계량 텐서(metric tensor) $g_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle$ 를 이용하면 두 성분 사이의 관계는

$x_i = \sum_j g_{ij} x^j$

이며, 역으로

$x^i = \sum_j g^{ij} x_j$

여기서 $g^{ij}$ 는 $g_{ij}$ 의 역행렬 성분이다. 이 “지표의 올림/내림(raising/lowering indices)” 연산이 쌍대 기저와 원래 기저 사이의 변환에 해당한다.