29.25 아핀 변환(Affine Transformation)의 정의와 선형 변환과의 관계

1. 아핀 변환의 형식적 정의

$\mathbb{R}^n$ 에서 $\mathbb{R}^m$ 으로의 **아핀 변환(affine transformation)**이란 다음 형태의 사상 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 이다.

$f(x) = Ax + b$

여기서 $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 는 $m \times n$ 행렬이고, $b \in \mathbb{R}^m$ 는 **평행이동 벡터(translation vector)**이다. $A$ 를 아핀 변환의 선형 부분(linear part), $b$ 를 **평행이동 부분(translational part)**이라 한다.

$b = 0$ 이면 $f(x) = Ax$ 가 되어 아핀 변환은 선형 변환으로 환원된다. 따라서 선형 변환은 아핀 변환의 특수한 경우이다.

2. 아핀 변환과 선형 변환의 차이

2.1 원점의 보존 여부

선형 변환 $T$ 는 반드시 원점을 보존한다: $T(0) = 0$ . 그러나 아핀 변환에서는

$f(0) = A \cdot 0 + b = b$

$b \neq 0$ 이면 원점이 $b$ 로 이동한다. 이는 아핀 변환이 선형 변환이 아닌 근본적 이유이다.

2.2 선형성 조건의 위반

$b \neq 0$ 인 아핀 변환 $f(x) = Ax + b$ 는 가법성을 만족하지 않는다.

$f(x + y) = A(x + y) + b = Ax + Ay + b$

$f(x) + f(y) = (Ax + b) + (Ay + b) = Ax + Ay + 2b$

$b \neq 0$ 이면 $f(x+y) \neq f(x) + f(y)$ 이다. 따라서 $b \neq 0$ 인 아핀 변환은 선형 변환이 아니다.

2.3 아핀 결합의 보존

아핀 변환은 선형 결합을 보존하지는 않지만, **아핀 결합(affine combination)**을 보존한다. 아핀 결합이란 계수의 합이 $1$ 인 선형 결합이다. 즉, $\sum_{i=1}^{k} \alpha_i = 1$ 이면

$f\left(\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i\right) = A\left(\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i\right) + b = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i (Ax_i) + \left(\sum_{i=1}^{k} \alpha_i\right)b = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i (Ax_i + b) = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i f(x_i)$

이 성질은 아핀 변환의 특성화 정리의 핵심이다.

정리. $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 이 아핀 변환일 필요충분조건은 $f$ 가 모든 아핀 결합을 보존하는 것이다.

3. 아핀 변환의 기하학적 성질

3.1 보존되는 기하학적 구조

아핀 변환은 다음의 기하학적 구조를 보존한다.

직선의 보존. 직선 $\ell(t) = p + tv$ ( $t \in \mathbb{R}$ )의 상은

$f(\ell(t)) = A(p + tv) + b = (Ap + b) + t(Av) = f(p) + t(Av)$

이므로 직선이다(단, $Av \neq 0$ 인 경우).

평행성의 보존. 두 직선이 평행하면, 즉 방향 벡터가 같으면, 아핀 변환 후에도 방향 벡터가 $Av$ 로 동일하므로 평행성이 보존된다.

비율의 보존. 선분 위의 내분점의 비율이 보존된다. $p = (1-t)x + ty$ ( $0 \leq t \leq 1$ )이면

$f(p) = (1-t)f(x) + tf(y)$

이므로 $f(p)$ 는 $f(x)$ 와 $f(y)$ 를 $t:(1-t)$ 로 내분한다.

3.2 보존되지 않는 성질

일반적인 아핀 변환은 다음을 보존하지 않는다.

거리 (등거리 아핀 변환인 경우에만 보존)
각도
원과 구의 형태 (타원으로 변형될 수 있다)

4. 아핀 변환의 합성

두 아핀 변환 $f_1(x) = A_1 x + b_1$ 과 $f_2(x) = A_2 x + b_2$ 의 합성은

$(f_2 \circ f_1)(x) = A_2(A_1 x + b_1) + b_2 = A_2 A_1 x + (A_2 b_1 + b_2)$

이는 선형 부분 $A_2 A_1$ 과 평행이동 부분 $A_2 b_1 + b_2$ 를 갖는 아핀 변환이다. 따라서 아핀 변환의 합성은 아핀 변환이다.

합성에서 주의할 점은 평행이동 부분이 단순한 $b_1 + b_2$ 가 아니라 $A_2 b_1 + b_2$ 라는 것이다. 첫 번째 변환의 평행이동이 두 번째 변환의 선형 부분에 의해 변형된다.

5. 아핀 변환의 역변환

$f(x) = Ax + b$ 에서 $A$ 가 가역이면 역변환이 존재한다.

$f^{-1}(y) = A^{-1}(y - b) = A^{-1}y - A^{-1}b$

역변환도 아핀 변환이며, 선형 부분은 $A^{-1}$ 이고 평행이동 부분은 $-A^{-1}b$ 이다.

$A$ 가 비가역이면 $f$ 는 전단사가 아니므로 역변환이 존재하지 않는다.

6. 아핀 변환의 분류

아핀 변환 $f(x) = Ax + b$ 는 선형 부분 $A$ 의 성질에 따라 분류된다.

선형 부분 $A$ 의 성질	아핀 변환의 분류	보존되는 성질
$A \in O(n)$ , $\det A = +1$	강체 변환(rigid body motion)	거리, 각도, 방향
$A \in O(n)$	등거리 아핀 변환(isometric affine)	거리, 각도
$A = cQ$ , $Q \in O(n)$ , $c > 0$	닮음 변환(similarity transformation)	각도, 비율
$A$ 가역	비특이 아핀 변환(nonsingular affine)	평행성, 비율
$A$ 일반	일반 아핀 변환	아핀 결합

7. 아핀 공간(Affine Space)의 관점

엄밀하게는, 아핀 변환은 **아핀 공간(affine space)**에서 정의되는 것이 자연스럽다. 아핀 공간은 벡터 공간과 유사하나 원점이 지정되지 않은 공간이다.

아핀 공간 $\mathcal{A}$ 는 점의 집합과 그에 연관된 벡터 공간 $V$ (방향 공간이라 한다)로 구성된다. 두 점 $p, q \in \mathcal{A}$ 의 차 $q - p$ 는 벡터 $v \in V$ 를 정의하며, $q = p + v$ 로 쓴다.

이 관점에서 아핀 변환은 점을 점으로, 벡터를 벡터로 사상하며, 선형 변환은 벡터에 대한 작용(방향 공간에서의 사상)에 해당한다. 원점을 하나 고정하면 아핀 공간은 벡터 공간과 동일시되며, 아핀 변환은 $f(x) = Ax + b$ 의 형태로 표현된다.

8. 딥러닝에서의 아핀 변환

신경망의 각 층(layer)에서 수행되는 기본 연산은 아핀 변환이다.

$z = Wx + b$

여기서 $W$ 는 가중치 행렬(weight matrix), $b$ 는 편향 벡터(bias vector), $x$ 는 입력 벡터이다. 이 아핀 변환 뒤에 비선형 활성화 함수 $\sigma$ 가 적용되어

$h = \sigma(Wx + b)$

가 된다. 편향 $b$ 의 역할은 결정 경계(decision boundary)를 원점에서 이동시키는 것이다. $b = 0$ 이면 결정 경계가 원점을 반드시 지나야 하는 제약이 생기므로, 편향은 모델의 표현력을 확보하는 데 필수적이다.

아핀 변환 $Wx + b$ 는 선형 변환이 아니지만, 입력 공간을 확장하여 선형 변환으로 표현할 수 있다. 이 기법이 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 이용한 아핀 변환의 선형화이며, 이론적 분석과 구현 모두에서 유용하다.