29.14 전이 행렬의 구성 방법과 역행렬과의 관계

1. 전이 행렬 구성의 일반적 방법

n차원 벡터 공간 V에서 두 기저 \mathcal{B} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}과 \mathcal{B}' = \{w_1, w_2, \ldots, w_n\}이 주어졌을 때, 기저 \mathcal{B}에서 기저 \mathcal{B}'로의 전이 행렬 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}를 구성하려면 옛 기저의 각 벡터를 새 기저의 일차결합으로 표현해야 한다.

각 j = 1, 2, \ldots, n에 대하여

v_j = p_{1j} w_1 + p_{2j} w_2 + \cdots + p_{nj} w_n

을 만족하는 스칼라 p_{1j}, p_{2j}, \ldots, p_{nj}를 구하면, 전이 행렬은

P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = (p_{ij})_{n \times n}

으로 구성된다. 이 행렬의 j번째 열이 v_j의 기저 \mathcal{B}'에 대한 좌표 벡터 [v_j]_{\mathcal{B}'}이다.

2. \mathbb{R}^n에서의 구체적 구성 절차

\mathbb{R}^n에서 기저 벡터들의 표준 좌표가 주어진 경우, 전이 행렬의 구성은 연립방정식의 풀이 또는 행렬 연산으로 환원된다.

2.1 방법 1: 직접 연립방정식 풀이

각 v_j에 대하여

v_j = p_{1j} w_1 + p_{2j} w_2 + \cdots + p_{nj} w_n

을 표준 좌표에서 쓰면, W = (w_1 \mid w_2 \mid \cdots \mid w_n)으로 둘 때

v_j = W \begin{pmatrix} p_{1j} \\ p_{2j} \\ \vdots \\ p_{nj} \end{pmatrix}

이므로

[v_j]_{\mathcal{B}'} = W^{-1} v_j

이다. \mathcal{B}'가 기저이면 W는 가역이므로 W^{-1}이 항상 존재한다. 따라서

P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = W^{-1} V

여기서 V = (v_1 \mid v_2 \mid \cdots \mid v_n)이다.

2.2 방법 2: 가우스-조르단 소거법을 이용한 동시 계산

W^{-1}을 명시적으로 구하지 않고도 전이 행렬을 효율적으로 계산할 수 있다. 첨가 행렬(augmented matrix) (W \mid V)에 가우스-조르단 소거법(Gauss-Jordan elimination)을 적용하여 다음의 형태를 얻는다.

(W \mid V) \xrightarrow{\text{행 축소}} (I_n \mid W^{-1}V)

우변의 W^{-1}V가 곧 전이 행렬 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}이다.

이 방법은 역행렬을 별도로 구하는 과정 없이 전이 행렬을 직접 산출하므로 계산상 효율적이다.

2.3 방법 3: 표준 기저를 경유하는 분해

표준 기저 \mathcal{E}를 중간 경유점으로 활용하면

P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}'} \cdot P_{\mathcal{B} \to \mathcal{E}} = W^{-1} V

이 된다. 여기서 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{E}} = V이고 P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}'} = W^{-1}임을 이용하였다. 이 분해는 연쇄 법칙의 직접적 적용이다.

3. 전이 행렬과 역행렬의 관계

3.1 역방향 전이 행렬

전이 행렬의 가장 근본적인 성질은 역방향 전이 행렬이 원래 전이 행렬의 역행렬과 같다는 것이다.

P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \left(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1}

증명. 임의의 x \in V에 대하여

[x]_{\mathcal{B}'} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} [x]_{\mathcal{B}}

양변의 좌측에 \left(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1}을 곱하면

\left(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1} [x]_{\mathcal{B}'} = [x]_{\mathcal{B}}

이는 P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} [x]_{\mathcal{B}'} = [x]_{\mathcal{B}}와 동일하므로

P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \left(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1}

이다. \blacksquare

3.2 전이 행렬의 행렬식

전이 행렬 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}는 가역이므로 \det(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}) \neq 0이다. 또한

\det(P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}) = \det\left(\left(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1}\right) = \frac{1}{\det(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'})}

이 성립한다. 이 관계는 역행렬의 행렬식에 관한 일반 정리 \det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}의 직접적 적용이다.

3.3 자기 자신으로의 전이

기저 \mathcal{B}에서 \mathcal{B} 자신으로의 전이 행렬은 항등 행렬이다.

P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}} = I_n

이는 자명하다. 모든 벡터의 좌표가 변하지 않기 때문이다.

4. 구체적 계산 예시

4.1 예시 1: 가우스-조르단 소거법에 의한 전이 행렬 계산

\mathbb{R}^3에서 다음 두 기저가 주어졌다고 하라.

\mathcal{B}: \quad v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

\mathcal{B}': \quad w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

첨가 행렬 (W \mid V)를 구성하면

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)

R_2 \leftarrow R_2 - R_1:

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)

R_3 \leftarrow R_3 - R_2:

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \end{array}\right)

R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3:

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

R_1 \leftarrow R_1 - R_3, R_2 \leftarrow R_2 + R_3:

\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

따라서

P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

4.2 역행렬을 통한 검증

위의 전이 행렬에 대하여 P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'})^{-1}을 구하라. 행렬 P가 치환 행렬(permutation matrix)이므로 P^{-1} = P^T = P이다. 따라서

P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

이 결과는 \mathcal{B}와 \mathcal{B}'가 동일한 벡터들의 순서만 바꾼 기저임을 반영한다. 구체적으로 v_1 = w_3, v_2 = w_2, v_3 = w_1이므로 전이 행렬이 치환 행렬이 되는 것은 자연스럽다.

4.3 예시 2: 직교 기저 간의 전이 행렬

\mathbb{R}^2에서 표준 기저 \mathcal{E}와 정규 직교 기저 \mathcal{B} = \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}을 고려하라.

W = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}은 직교 행렬이므로

P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}} = W^{-1} = W^T = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

직교 기저의 경우 전이 행렬의 역행렬이 전치 행렬과 일치한다는 점에서 계산이 현저히 간소화된다. 이 성질은 직교 행렬의 정의 Q^{-1} = Q^T로부터 직접 따른다.

5. 전이 행렬의 대수적 성질 요약

전이 행렬은 다음의 대수적 성질을 만족한다.

6. 전이 행렬의 가역성에 대한 추가 고찰

전이 행렬이 항상 가역인 이유를 열 공간(column space)의 관점에서도 이해할 수 있다. P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}의 열벡터들은 기저 \mathcal{B}의 벡터들을 기저 \mathcal{B}'에서 표현한 좌표 벡터이다. \mathcal{B}가 일차독립 집합이므로 이 좌표 벡터들도 \mathbb{R}^n에서 일차독립이다.

증명. c_1 [v_1]_{\mathcal{B}'} + c_2 [v_2]_{\mathcal{B}'} + \cdots + c_n [v_n]_{\mathcal{B}'} = 0이라 가정하라. 이를 벡터 공간 V에서의 등식으로 되돌리면

c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0

\mathcal{B}가 기저이므로 c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0이다. 따라서 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}의 열벡터들은 일차독립이며, P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}는 가역이다. \blacksquare

이 증명은 전이 행렬의 가역성이 기저의 일차독립성으로부터 필연적으로 도출되는 구조적 성질임을 명확히 한다.