29.13 기저 변환(Change of Basis)의 정의와 전이 행렬(Transition Matrix)
1. 기저 변환의 동기와 정의
유한 차원 벡터 공간 V에서 하나의 벡터는 기저의 선택에 따라 서로 다른 좌표 벡터로 표현된다. 동일한 벡터에 대한 서로 다른 기저에서의 좌표 표현 사이의 관계를 체계적으로 기술하는 것이 **기저 변환(change of basis)**이다.
V를 n차원 벡터 공간이라 하고, \mathcal{B} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}과 \mathcal{B}' = \{w_1, w_2, \ldots, w_n\}을 V의 두 기저라 하자. 임의의 벡터 x \in V는 각 기저에 대하여 유일한 좌표 표현을 갖는다.
x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i = \sum_{j=1}^{n} \beta_j w_j
여기서 [x]_{\mathcal{B}} = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)^T는 기저 \mathcal{B}에 대한 좌표 벡터이고, [x]_{\mathcal{B}'} = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n)^T는 기저 \mathcal{B}'에 대한 좌표 벡터이다.
기저 변환이란 한 기저에서의 좌표 벡터를 다른 기저에서의 좌표 벡터로 변환하는 과정이다. 이 변환은 **전이 행렬(transition matrix)**이라 불리는 정방 행렬에 의해 실현된다.
2. 전이 행렬의 정의
기저 \mathcal{B}에서 기저 \mathcal{B}'로의 전이 행렬(transition matrix) P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}는 다음의 관계를 만족하는 n \times n 행렬이다.
[x]_{\mathcal{B}'} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} [x]_{\mathcal{B}}
이 등식은 모든 x \in V에 대하여 성립해야 한다.
3. 전이 행렬의 유도
3.1 새로운 기저를 옛 기저로 표현
전이 행렬을 유도하기 위해, 먼저 옛 기저 \mathcal{B}의 각 벡터를 새 기저 \mathcal{B}'로 표현하라. 각 j = 1, 2, \ldots, n에 대하여
v_j = p_{1j} w_1 + p_{2j} w_2 + \cdots + p_{nj} w_n = \sum_{i=1}^{n} p_{ij} w_i
라 쓸 수 있다. 이는 [v_j]_{\mathcal{B}'} = (p_{1j}, p_{2j}, \ldots, p_{nj})^T를 의미한다.
3.2 좌표 변환의 도출
임의의 벡터 x = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j에 대하여, 위의 표현을 대입하면
x = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j \left(\sum_{i=1}^{n} p_{ij} w_i\right) = \sum_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{n} p_{ij} \alpha_j\right) w_i
기저 \mathcal{B}'에 대한 좌표의 유일성으로부터
\beta_i = \sum_{j=1}^{n} p_{ij} \alpha_j, \quad i = 1, 2, \ldots, n
이를 행렬 형태로 쓰면
[x]_{\mathcal{B}'} = P [x]_{\mathcal{B}}
이다. 여기서 전이 행렬 P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}의 j번째 열은 [v_j]_{\mathcal{B}'}, 즉 옛 기저의 j번째 벡터를 새 기저로 표현한 좌표 벡터이다.
P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ [v_1]_{\mathcal{B}'} & [v_2]_{\mathcal{B}'} & \cdots & [v_n]_{\mathcal{B}'} \\ \vert & \vert & & \vert \end{pmatrix}
4. 전이 행렬의 가역성
정리. 전이 행렬 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}는 항상 가역(invertible)이다.
증명. \mathcal{B}와 \mathcal{B}'가 모두 기저이므로, \mathcal{B}'에서 \mathcal{B}로의 전이 행렬 P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} 또한 존재한다. 임의의 x \in V에 대하여
[x]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} [x]_{\mathcal{B}'}= P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} [x]_{\mathcal{B}}
[x]_{\mathcal{B}}는 임의의 벡터 \mathbb{R}^n의 원소를 취할 수 있으므로
P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} = I_n
마찬가지 논법으로 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = I_n이 성립한다. 따라서 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}는 가역이며
\left(P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1} = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}
이다. \blacksquare
이 결과는 두 기저 사이의 전이 행렬을 알면 그 역방향 전이 행렬이 자동으로 결정됨을 의미한다.
5. 전이 행렬의 연쇄 법칙
세 기저 \mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, \mathcal{B}_3가 주어졌을 때, 전이 행렬은 다음의 연쇄 법칙(chain rule)을 만족한다.
P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_3} = P_{\mathcal{B}_2 \to \mathcal{B}_3} P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2}
증명. 임의의 x \in V에 대하여
[x]_{\mathcal{B}_3} = P_{\mathcal{B}_2 \to \mathcal{B}_3} [x]_{\mathcal{B}_2} = P_{\mathcal{B}_2 \to \mathcal{B}_3} P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2} [x]_{\mathcal{B}_1}
이므로, P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_3} = P_{\mathcal{B}_2 \to \mathcal{B}_3} P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2}이다. \blacksquare
6. 표준 기저를 포함하는 전이 행렬
\mathbb{R}^n에서 표준 기저 \mathcal{E} = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}가 관여하는 경우, 전이 행렬의 구성이 특히 단순해진다.
표준 기저에서 임의의 기저 \mathcal{B}로의 전이. 기저 \mathcal{B} = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}에 대하여, 표준 기저 벡터 e_j를 기저 \mathcal{B}로 표현한 좌표가 전이 행렬의 열을 구성한다. 이를 위해 행렬 Q = (v_1 \mid v_2 \mid \cdots \mid v_n)을 구성하면, Q의 j번째 열은 v_j의 표준 좌표이다. 그러면
P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}} = Q^{-1}
이다. 그 이유는 [x]_{\mathcal{B}} = Q^{-1} [x]_{\mathcal{E}} = Q^{-1} x이기 때문이다.
임의의 기저 \mathcal{B}에서 표준 기저로의 전이. 역으로
P_{\mathcal{B} \to \mathcal{E}} = Q
이다. 즉, 기저 벡터들을 열로 나열한 행렬 Q 자체가 기저 \mathcal{B}에서 표준 기저로의 전이 행렬이다.
7. 구체적 예시
7.1 예시 1: \mathbb{R}^2에서의 기저 변환
\mathcal{B} = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right\}이 \mathbb{R}^2의 기저임을 확인하라. 표준 기저 \mathcal{E}에서 \mathcal{B}로의 전이 행렬을 구하면
Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
이므로
P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}} = Q^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
벡터 x = (3, 1)^T의 기저 \mathcal{B}에서의 좌표는
[x]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}} x = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
검증: 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}. \checkmark
7.2 예시 2: 두 비표준 기저 사이의 전이
\mathcal{B}_1 = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}, \mathcal{B}_2 = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}
이 경우 연쇄 법칙을 이용하여
P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2} = P_{\mathcal{E} \to \mathcal{B}_2} P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{E}} = Q_2^{-1} Q_1
로 계산한다. 여기서 Q_1, Q_2는 각각 \mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2의 기저 벡터를 열로 배치한 행렬이다.
8. 기저 변환의 기하학적 해석
기저 변환은 벡터 자체를 변형하지 않는다. 동일한 벡터를 서로 다른 좌표계에서 바라보는 관점의 전환이다. 전이 행렬은 이 관점 전환을 수학적으로 인코딩한다.
구체적으로, 전이 행렬 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}는 좌표 공간 \mathbb{R}^n에서 \mathbb{R}^n으로의 가역 선형 사상을 정의한다. 이 사상은 “옛 좌표“를 입력으로 받아 “새 좌표“를 출력으로 내보내는 역할을 한다. 벡터 공간의 원소 자체는 기저 선택과 무관한 불변 객체(invariant object)이며, 변하는 것은 오직 수적 표현뿐이다.
9. 전이 행렬과 항등 변환의 관계
기저 변환은 항등 변환(identity transformation) \text{id}_V : V \to V, \text{id}_V(x) = x의 서로 다른 기저에서의 행렬 표현으로 해석할 수 있다.
기저 \mathcal{B}를 정의역의 기저로, \mathcal{B}'를 공역의 기저로 선택하면, 항등 변환의 행렬 표현이 정확히 전이 행렬 P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}이다.
[\text{id}_V]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}
이러한 관점은 기저 변환을 선형 변환의 행렬 표현이라는 통일된 틀 안에서 이해할 수 있게 해 준다.