29.11 기저(Basis)의 선택과 좌표 벡터(Coordinate Vector)의 정의

1. 기저의 정의

벡터 공간 V의 부분집합 \mathcal{B} = \{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n} \}이 다음 두 조건을 모두 만족할 때, \mathcal{B}를 V의 기저(Basis)라 부른다.

(i) \mathcal{B}는 선형 독립이다. 즉,

\sum_{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{v}_{i} = \mathbf{0}_{V} \implies c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0

이 성립한다.

(ii) \mathcal{B}는 V를 생성한다. 즉,

V = \mathrm{span}(\mathcal{B}) = \left\{ \sum_{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{v}_{i} : c_{i} \in \mathbb{F} \right\}

이다.

기저의 두 조건을 결합하면, 임의의 \mathbf{v} \in V가 기저의 선형결합으로 표현될 수 있고 그 표현이 유일하다는 사실이 따라 나온다. 이는 본 절에서 정의할 좌표 벡터의 유일성을 보장하는 핵심 성질이다.

2. 표현의 유일성

기저의 정의에서 따라 나오는 가장 중요한 결과는 다음과 같다. 기저 \mathcal{B} = \{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n} \}이 주어지면, 임의의 \mathbf{v} \in V는 다음과 같이 유일하게 분해된다.

\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbf{v}_{i}

2.1 유일성의 증명

만약 \mathbf{v}가 두 가지 분해

\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbf{v}_{i} = \sum_{i=1}^{n} b_{i} \mathbf{v}_{i}

를 가진다면, 두 식을 빼서

\mathbf{0}_{V} = \sum_{i=1}^{n} (a_{i} - b_{i}) \mathbf{v}_{i}

를 얻는다. 기저의 선형 독립 조건에 의해 모든 계수가 0이어야 하므로, a_{i} = b_{i}가 모든 i에 대해 성립한다. 따라서 표현은 유일하다.

이 유일성은 기저가 단순한 생성 집합 이상이라는 사실을 보여 준다. 즉, 기저는 벡터 공간의 모든 원소에 대해 좌표라는 일관된 수치적 식별자를 부여하는 도구이다.

3. 정렬된 기저의 필요성

좌표 벡터를 정의하기 위해서는 기저 자체뿐만 아니라 그 원소들의 순서도 함께 고정해야 한다. 일반적인 기저는 단순한 집합이지만, 좌표 벡터의 성분은 각 기저 벡터에 대응되는 계수이며, 이 대응을 명확히 하기 위해서는 순서가 부여되어야 한다. 이러한 이유로 좌표 표현을 다룰 때는 기저를 정렬된 기저(Ordered Basis), 즉 정렬된 튜플 \mathcal{B} = (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n})로 다룬다. 두 기저가 동일한 집합으로 구성되어 있더라도 순서가 다르면 좌표 벡터는 서로 다른 결과를 산출하므로, 정렬된 기저의 채택은 형식적으로 불가결하다.

4. 좌표 벡터의 정의

벡터 공간 V가 정렬된 기저 \mathcal{B} = (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n})을 가지며, \mathbf{v} \in V의 분해가

\mathbf{v} = a_{1} \mathbf{v}_{1} + a_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n} \mathbf{v}_{n}

으로 주어진다고 하자. 이때 \mathbf{v}의 기저 \mathcal{B}에 대한 좌표 벡터(Coordinate Vector)를 다음과 같이 정의한다.

[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{n}

이 정의는 표현의 유일성에 의해 잘 정의(Well-defined)되며, 임의의 벡터에 대해 정확히 하나의 좌표 벡터가 대응된다.

5. 좌표 사상의 성질

좌표 벡터의 부여는 단순한 표기 변환이 아니라, V로부터 \mathbb{F}^{n}으로 가는 자연스러운 동형 사상(Isomorphism)이다. 즉, 좌표 사상

[\,\cdot\,]_{\mathcal{B}} : V \to \mathbb{F}^{n}

은 다음의 성질을 모두 만족한다.

5.1 가법성

임의의 \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V에 대하여,

[\mathbf{u} + \mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{u}]_{\mathcal{B}} + [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

가 성립한다. 이는 \mathbf{u}와 \mathbf{v}의 분해를 각각 더하면 \mathbf{u} + \mathbf{v}의 분해가 얻어지며, 그 계수가 두 분해의 계수의 합이 된다는 사실로부터 즉각 따라 나온다.

5.2 동차성

임의의 \mathbf{v} \in V와 임의의 c \in \mathbb{F}에 대하여,

[c \mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = c \cdot [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

가 성립한다. 이는 분해의 양변에 c를 곱하면 모든 계수에 동일한 c가 곱해진다는 사실에서 따라 나온다.

5.3 단사·전사성

좌표 사상은 단사이다. 만약 [\mathbf{u}]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}이면 두 분해의 계수가 모두 같으므로 \mathbf{u} = \mathbf{v}이다. 또한 좌표 사상은 전사이다. 임의의 (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) \in \mathbb{F}^{n}에 대해 \mathbf{v} = \sum_{i} a_{i} \mathbf{v}_{i}가 그 좌표 벡터를 가지는 벡터이다.

따라서 좌표 사상은 가법성, 동차성, 단사·전사성을 모두 가진 전단사 선형 변환이며, V와 \mathbb{F}^{n} 사이의 동형 사상이다. 이로부터 모든 n차원 벡터 공간이 \mathbb{F}^{n}과 동형이라는 표준 결과가 다시금 확인된다.

6. 표준 기저와 일반 기저

6.1 표준 기저의 경우

V = \mathbb{F}^{n}이고 표준 기저 \mathcal{E} = (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \ldots, \mathbf{e}_{n})이 채택된 경우, 임의의 \mathbf{v} = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) \in \mathbb{F}^{n}의 좌표 벡터는 \mathbf{v} 자신과 일치한다. 즉, [\mathbf{v}]_{\mathcal{E}} = \mathbf{v}이다. 이 경우 좌표 사상은 항등 사상이며, 벡터와 그 좌표 표현이 표기상 구별되지 않는다. 이러한 단순화 때문에 표준 기저는 컴퓨터 구현과 일반적인 계산에서 거의 항상 채택된다.

6.2 일반 기저의 경우

그러나 일반적인 기저가 채택된 경우에는, 동일한 벡터라도 좌표 벡터의 성분이 표준 기저에서의 성분과 다를 수 있다. 예컨대 \mathbb{R}^{2}의 표준 기저 (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}) 대신 \mathcal{B} = ((1, 1)^{\top}, (1, -1)^{\top})을 채택하면, 벡터 \mathbf{v} = (3, 1)^{\top}의 좌표 벡터는

\mathbf{v} = 2 \cdot (1, 1)^{\top} + 1 \cdot (1, -1)^{\top}

이므로 [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = (2, 1)^{\top}이 된다. 이는 동일한 벡터가 어떤 기저에서 표현되느냐에 따라 그 좌표가 달라진다는 사실을 명확히 보여 준다. 좌표는 벡터 자체에 내재된 속성이 아니라, 기저와 벡터의 결합에 의해 결정되는 표현임을 강조해야 한다.

7. 무한차원에서의 한계

본 절의 정의는 모두 유한차원 가정에 본질적으로 의존한다. 무한차원 벡터 공간에서도 기저의 개념(하멜 기저, Hamel Basis)이 정의될 수 있지만, 그러한 기저는 일반적으로 비가산이며 명시적으로 구성하기가 매우 어렵다. 함수 해석학에서는 그 대신 토폴로지를 활용한 슈마우더 기저(Schauder Basis)나 정규 직교 기저(Orthonormal Basis) 등의 변형된 개념이 사용되며, 이는 유한차원의 경우와는 다른 주의 사항을 동반한다. 본 절에서 다루는 내용은 모두 유한차원의 맥락에 국한된 것이다.

8. 신경망 가중치와 기저의 관점

딥러닝의 가중치 행렬은 표준 기저에 대한 행렬 표현을 사용하는 것이 일반적이지만, 일부 분석에서는 가중치 행렬을 다른 기저로 변환하여 해석하는 시각이 등장한다. 예컨대 합성곱 가중치를 푸리에 기저에서 분석하면 합성곱 연산이 곱셈으로 환원되며, 이러한 변환은 푸리에 변환을 표준 기저로부터 푸리에 기저로 가는 좌표 변환으로 보는 관점에 기반한다. 마찬가지로 어텐션의 질의·키·값 변환이 학습 가능한 기저 변환으로 해석되거나, 토큰 임베딩이 단어 공간으로부터 의미 공간으로의 좌표 매핑으로 해석되는 시각도 동일한 맥락에 속한다.

9. 결론

기저는 벡터 공간 위에 선형 독립성과 생성성을 동시에 만족하는 최소 부분집합이며, 그 채택을 통해 임의의 벡터에 유일한 분해와 그에 대응하는 좌표 벡터가 부여된다. 좌표 사상은 벡터 공간을 \mathbb{F}^{n}과 동형으로 만들어 주며, 이로부터 모든 추상적 선형대수가 좌표 단위의 수치 계산으로 환원될 수 있다. 그러나 좌표 벡터의 구체적 형태는 어떤 기저를 선택했느냐에 따라 결정되므로, 동일한 벡터라도 기저가 다르면 다른 좌표를 가진다. 이러한 좌표 의존성은 후속 절에서 다루게 될 기저 변환과 행렬의 닮음 관계를 자연스럽게 도입하는 동기가 된다.