28.15 크로네커 델타(Kronecker Delta)와 레비-치비타 기호(Levi-Civita Symbol)

텐서 해석에서 크로네커 델타와 레비-치비타 기호는 특수하지만 매우 중요한 두 가지 불변 객체(invariant object)로서, 각각 대칭 텐서와 반대칭 텐서의 기본적 예시를 제공한다. 크로네커 델타는 항등 텐서(identity tensor)의 성분 표현으로서 내적과 축약 연산에서 핵심 역할을 수행하며, 레비-치비타 기호는 행렬식, 외적, 그리고 미분 형식 등 반대칭성을 수반하는 연산을 통합적으로 표현하는 수단이다. 본 절에서는 두 객체의 정의, 성질, 그리고 상호 관계를 다룬다.

1. 크로네커 델타의 정의

크로네커 델타는 두 지표 i, j에 대해 다음과 같이 정의되는 이진 함수이다.

\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}

이는 n \times n 항등 행렬의 (i, j) 성분과 동일하며, 혼합 텐서의 형태 \delta^i{}_j로 표기될 때 (1,1)형 텐서로서 좌표 변환에 대해 불변이다. 즉, 임의의 좌표 변환 x^{i'} = A^{i'}{}_i x^i에 대하여 다음이 성립한다.

\delta^{i'}{}_{j'} = A^{i'}{}_i (A^{-1})^j{}_{j'}\, \delta^i{}_j = A^{i'}{}_i (A^{-1})^i{}_{j'} = \delta^{i'}{}_{j'}

2. 크로네커 델타의 축약 성질

크로네커 델타는 아인슈타인 합산 규약 하에서 지표 재배열(index renaming)의 역할을 수행한다.

\delta_{ij}\, v^j = v^i, \qquad \delta_{ij}\, T^{jk} = T^{ik}

또한 자체 축약은 공간의 차원을 반환한다.

\delta^i{}_i = n

일반화된 크로네커 델타(generalized Kronecker delta)는 다음과 같이 정의되며, 반대칭화된 지표 구조를 갖는다.

\delta^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_p} = \det\begin{pmatrix} \delta^{i_1}_{j_1} & \cdots & \delta^{i_1}_{j_p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta^{i_p}_{j_1} & \cdots & \delta^{i_p}_{j_p} \end{pmatrix}

3. 레비-치비타 기호의 정의

n차원 공간에서 레비-치비타 기호 \varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n}는 다음과 같이 정의되는 완전 반대칭 객체이다.

\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} = \begin{cases} +1 & (i_1, i_2, \ldots, i_n)\ \text{이 } (1,2,\ldots,n)\ \text{의 짝수 치환} \\ -1 & (i_1, i_2, \ldots, i_n)\ \text{이 } (1,2,\ldots,n)\ \text{의 홀수 치환} \\ 0 & \text{두 지표 중 같은 값이 존재} \end{cases}

3차원에서 가장 널리 사용되는 구체적 값은 \varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = 1, \varepsilon_{132} = \varepsilon_{213} = \varepsilon_{321} = -1, 그 외에는 0이다. 레비-치비타 기호는 임의의 정방 행렬 A의 행렬식을 다음과 같이 표현하는 데 사용된다.

\det A = \varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n}\, A^{i_1}{}_1 A^{i_2}{}_2 \cdots A^{i_n}{}_n

엄밀한 의미에서 \varepsilon_{i_1 \cdots i_n}은 일반 좌표 변환에서 텐서가 아니라 텐서 밀도(tensor density)이며, 계량 텐서 g_{ij}의 행렬식 g를 이용하여 \mathcal{E}_{i_1 \cdots i_n} = \sqrt{\vert g \vert}\, \varepsilon_{i_1 \cdots i_n}로 정의한 객체가 진정한 텐서(레비-치비타 텐서)가 된다.

4. 두 객체의 상호 관계와 항등식

크로네커 델타와 레비-치비타 기호는 다음과 같은 중요한 수축 항등식(contraction identity)을 통해 연결된다. 3차원에서 가장 널리 사용되는 항등식은 다음과 같다.

\varepsilon_{ijk}\, \varepsilon^{ilm} = \delta_j^l\, \delta_k^m - \delta_j^m\, \delta_k^l

이 항등식은 벡터 외적의 삼중곱 공식 \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})의 기저가 된다. 일반화된 형태는 다음과 같이 기술된다.

\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}\, \varepsilon^{j_1 \cdots j_n} = \delta^{j_1 \cdots j_n}_{i_1 \cdots i_n}

5. 주요 성질 요약

3차원 벡터 외적은 (\mathbf{a} \times \mathbf{b})^i = \varepsilon^{ijk} a_j b_k로 간결하게 표현되며, 이는 레비-치비타 기호가 물리학과 공학의 기하학적 계산을 통합적으로 수행할 수 있는 강력한 도구임을 보여준다.