28.14 텐서의 대칭성(Symmetry)과 반대칭성(Antisymmetry) 분류

텐서는 그 지표들의 교환에 대하여 일정한 변환 성질을 가질 수 있으며, 이러한 성질에 따라 대칭 텐서(symmetric tensor)와 반대칭 텐서(antisymmetric tensor)로 분류된다. 대칭성과 반대칭성은 텐서의 수학적 구조를 단순화하고, 물리학 및 기하학에서 다양한 보존 법칙이나 기하학적 성질을 표현하는 핵심 개념이다. 본 절에서는 2차 텐서를 중심으로 대칭성과 반대칭성의 정의를 제시하고, 고차 텐서로의 일반화, 임의의 텐서를 대칭 부분과 반대칭 부분으로 분해하는 방법, 그리고 대칭군(symmetric group)의 작용에 기반한 일반화된 분류를 다룬다.

1. 2차 텐서에서의 대칭성과 반대칭성

2차 텐서 T의 성분을 T_{ij}로 표기할 때, 텐서가 모든 지표 쌍 (i,j)에 대하여 다음 조건을 만족하면 대칭 텐서라고 한다.

T_{ij} = T_{ji}

이와 대조적으로, 모든 지표 쌍에 대하여 다음 조건을 만족하면 반대칭 텐서(또는 교대 텐서, alternating tensor)라고 한다.

T_{ij} = -T_{ji}

반대칭성의 정의로부터 T_{ii} = -T_{ii}가 성립하며, 이는 실수체 또는 특성이 2가 아닌 체 위에서 모든 대각 성분이 T_{ii} = 0임을 의미한다. 공간의 차원이 n일 때, 대칭 2차 텐서의 자유도는 n(n+1)/2이고 반대칭 2차 텐서의 자유도는 n(n-1)/2이다. 두 자유도의 합이 n^2과 일치하는 것은 뒤에 제시할 분해 정리와 부합한다.

2. 임의의 2차 텐서의 대칭-반대칭 분해

임의의 2차 텐서 T_{ij}는 유일하게 대칭 부분 S_{ij}와 반대칭 부분 A_{ij}의 합으로 분해된다.

T_{ij} = S_{ij} + A_{ij}, \quad S_{ij} = \tfrac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}), \quad A_{ij} = \tfrac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})

이 분해는 벡터 공간 V \otimes V가 대칭 부분공간 \mathrm{Sym}^2 V와 반대칭 부분공간 \Lambda^2 V의 직합(direct sum)으로 표현된다는 사실과 동치이다.

V \otimes V = \mathrm{Sym}^2 V \oplus \Lambda^2 V

3. 고차 텐서로의 일반화와 대칭군 작용

차수가 k인 텐서 T_{i_1 i_2 \cdots i_k}에 대하여, 대칭군 S_k의 원소 \sigma는 지표의 재배열 작용으로 정의된다. 텐서가 모든 \sigma \in S_k에 대하여 다음을 만족하면 완전 대칭(totally symmetric) 텐서이다.

T_{i_{\sigma(1)} i_{\sigma(2)} \cdots i_{\sigma(k)}} = T_{i_1 i_2 \cdots i_k}

반면, 다음 조건을 만족하면 완전 반대칭(totally antisymmetric) 텐서이다.

T_{i_{\sigma(1)} i_{\sigma(2)} \cdots i_{\sigma(k)}} = \mathrm{sgn}(\sigma)\, T_{i_1 i_2 \cdots i_k}

여기서 \mathrm{sgn}(\sigma)는 치환의 부호로서, 짝수 치환에 대하여 +1, 홀수 치환에 대하여 -1의 값을 갖는다. 대칭화 연산자(symmetrization operator)와 반대칭화 연산자(antisymmetrization operator)는 다음과 같이 정의된다.

T_{(i_1 \cdots i_k)} = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} T_{i_{\sigma(1)} \cdots i_{\sigma(k)}}, \quad T_{[i_1 \cdots i_k]} = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} \mathrm{sgn}(\sigma)\, T_{i_{\sigma(1)} \cdots i_{\sigma(k)}}

차수가 k \geq 3인 경우에는 완전 대칭 부분과 완전 반대칭 부분만으로 텐서를 완전히 분해할 수 없으며, 혼합 대칭(mixed symmetry)을 갖는 성분이 존재한다. 이러한 일반적 분해는 영 도표(Young tableau)에 의한 기약 표현(irreducible representation) 이론으로 체계화된다.

4. 자유도와 응용

공간의 차원이 n일 때, 차수 k인 완전 대칭 텐서의 자유도는 \binom{n+k-1}{k}이고, 완전 반대칭 텐서의 자유도는 \binom{n}{k}이다. 반대칭 텐서는 특히 k > n일 때 항상 영 텐서가 된다는 성질을 가지며, 이는 미분 형식(differential form)과 외대수(exterior algebra) 이론의 기초를 이룬다. 대칭 텐서는 관성 텐서(inertia tensor), 변형률 텐서(strain tensor), 응력 텐서(stress tensor), 그리고 리만 계량(Riemannian metric)과 같은 물리적·기하학적 양을 표현하는 데 사용되며, 반대칭 텐서는 회전 생성자(rotation generator), 각운동량, 전자기장 텐서(electromagnetic field tensor), 행렬식(determinant)의 정의 등에 활용된다.