집합과 매핑
함수라고도 하는 매핑은 수학 및 프로그래밍의 기본입니다. 프로그램의 함수와 마찬가지로 수학의 매핑은 한 유형의 인수를 가져와 특정 유형의 개체에 매핑(반환)합니다. 프로그램에서 우리는 “type”이라고 말합니다. 수학에서 우리는 집합을 식별할 것입니다. 집합의 구성원인 객체가 있을 때 $\in$ 기호를 사용합니다. 예를 들어, \(a \in \mathbf S\) “$a$는 집합 $\mathbf S$의 구성원입니다.”로 읽을 수 있습니다. 두 집합 $\mathbf A$와 $\mathbf B$가 주어지면 $\mathbf A \times \mathbf B$로 표시된 두 집합의 데카르트 곱을 취하여 세 번째 집합을 만들 수 있습니다. 이 집합 $\mathbf A \times \mathbf B$는 가능한 모든 순서쌍$(a, b)$으로 구성됩니다. 여기서 $a \in \mathbf A$ 그리고 $b \in \mathbf B$. 약식으로 $\mathbf A^2$ 표기법을 사용하여 $\mathbf A \times \mathbf A$를 나타냅니다. 임의의 많은 세트에서 임의의 긴 순서의 튜플에 대해 3개 세트에서 가능한 모든 순서 트리플 세트를 생성하도록 데카르트 곱을 확장할 수 있습니다. 일반적인 관심 세트는 다음과 같습니다.
- $\mathbb R$ - 실수
- $+\mathbb R$ - 음이 아닌 실수 (0을 포함)
- $\mathbb R^2$ - 2차원 실수 평면상의 순서쌍
- $\mathbb R^3$ - $n$차원 데카르트 공간에서의 점
- $\mathbb Z$ - 정수
- $S^2$ - 단위 구(shpere)상의 3차원 점 세트 ($\mathbb R^3$ 의 점).
$S^2$ 는 3차원 공간에 포함된 점으로 구성되지만 두 개의 변수로 매개변수화할 수 있는 표면에 있으므로 2D 집합으로 생각할 수 있습니다. 매핑 표기법은 화살표와 콜론을 사용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다. \(f : \mathbb R \mapsto \mathbb Z\) “실수를 입력으로 받아 정수에 매핑하는 $f$라는 함수가 있습니다.”라고 읽을 수 있습니다. 여기서 화살표 좌측에 오는 집합을 함수의 도메인(domain, 영역)이라고 하고, 오른쪽에 있는 집합을 타겟(target)이라고 합니다. 컴퓨터 프로그래머는 다음과 같은 언어에 더 익숙할 것입니다. “하나의 실수 인수를 갖고 정수를 반환하는 $f$라는 함수가 있습니다.” 즉, 위의 집합 표기법은 일반적인 프로그래밍 표기법과 동일합니다.
integer f(real)
따라서 콜론 화살표 표기법은 프로그래밍 구문으로 생각할 수 있습니다. 간단합니다. 점 $f(a)$를 의 $a$의 이미지라고 하고, 집합 $A$의 이미지(도메인의 부분집합)는 A에 있는 모든 점의 이미지를 포함하는 타겟의 부분집합입니다. 전체 도메인의 이미지를 함수의 범위(range)라고 합니다.