회전 및 진동 분석 - 소프트웨어 융합

회전 및 진동 분석은 도플러 레이더 데이터를 통해 물체의 움직임을 세밀하게 이해하고 이를 정량적으로 평가하는 데 중요한 역할을 한다. 회전 운동과 진동 운동은 특정 주파수 패턴을 생성하며, 이를 통해 물체의 운동학적 특성을 추출할 수 있다. 이 절에서는 회전 및 진동 분석을 위한 수학적 모델링, 데이터 처리 기법, 그리고 주요한 물리적 해석에 대해 논의한다.

회전 운동의 도플러 효과 분석

회전하는 물체는 각속도에 비례하는 도플러 주파수 이동을 생성한다. 회전 운동을 분석할 때, 레이더 신호는 특정 주파수 오프셋을 가지며, 이를 통해 물체의 회전 속도를 계산할 수 있다.

수학적 모델

회전 운동을 하는 물체에서 특정 위치에 있는 점 $\mathbf{P}$ 의 속도 $\mathbf{v_P}$ 는 회전 중심 $\mathbf{O}$ 로부터의 위치 벡터 $\mathbf{r}$ 와 각속도 벡터 $\mathbf{\omega}$ 의 벡터곱으로 표현된다:

$\mathbf{v_P} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$

도플러 주파수 이동 $\Delta f$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다:

$\Delta f = \frac{2}{\lambda} \mathbf{v_P} \cdot \hat{\mathbf{r}}_d$

여기서: - $\lambda$ 는 레이더 신호의 파장, - $\hat{\mathbf{r}}_d$ 는 레이더와 물체 간의 단위 방향 벡터이다.

신호 처리 기법

회전 운동을 분석하기 위해서는 수신된 도플러 신호에서 주파수 스펙트럼을 추출하고, 이를 통해 각속도를 계산할 수 있다. 주로 사용하는 방법은 다음과 같다:

고속 푸리에 변환 (FFT): 회전 운동에서 생성된 도플러 신호는 특정 주파수 성분을 가지므로 FFT를 통해 주파수 영역에서 이를 분석할 수 있다.
시간-주파수 분석: 시간에 따라 회전 속도가 변할 경우, 시간-주파수 분석 기법(예: 단시간 푸리에 변환(STFT) 또는 웨이블릿 변환)을 사용하여 시간에 따른 도플러 주파수의 변화를 추적한다.

진동 운동의 도플러 효과 분석

진동 운동은 주기적인 변화가 특징이며, 이는 레이더 신호에서 주파수 변조로 나타난다. 진동 분석은 물체의 구조적 건강 진단, 작동 상태 분석 등에서 중요한 역할을 한다.

수학적 모델

진동하는 물체의 속도 $\mathbf{v}(t)$ 는 다음과 같이 표현될 수 있다:

$\mathbf{v}(t) = A \cos(2\pi f_v t + \phi)$

여기서: - $A$ 는 진동 속도의 진폭, - $f_v$ 는 진동 주파수, - $\phi$ 는 위상이다.

도플러 주파수 이동은 다음과 같이 계산된다:

$\Delta f(t) = \frac{2}{\lambda} \mathbf{v}(t) \cdot \hat{\mathbf{r}}_d$

주파수 분석 기법

진동 분석을 위해 중요한 기법은 다음과 같다:

주파수 분석 및 피크 검출: 진동하는 물체는 특정한 주파수 패턴을 생성하므로 FFT를 통해 주요 주파수 성분을 식별할 수 있다.
주기 신호 분석: 시간-주파수 분석을 통해 진동 신호의 주기적 변화를 탐지하며, 이를 통해 진동의 정확한 주파수와 진폭을 추출할 수 있다.

복합 운동: 회전 및 진동의 결합 분석

많은 실제 상황에서는 물체가 회전과 진동을 동시에 수행하는 복합 운동을 한다. 예를 들어, 회전하는 기계 부품이 특정한 고유 진동 주파수를 갖는 경우가 이에 해당한다. 이런 경우, 도플러 신호는 회전과 진동으로 인한 주파수 이동이 결합되어 나타난다.

수학적 모델

복합 운동에서 물체의 속도는 회전 성분 $\mathbf{v_{\text{rot}}}$ 과 진동 성분 $\mathbf{v_{\text{vib}}}(t)$ 의 합으로 표현할 수 있다:

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{v_{\text{rot}}} + \mathbf{v_{\text{vib}}}(t)$

따라서, 도플러 주파수 이동 $\Delta f(t)$ 는 다음과 같다:

$\Delta f(t) = \frac{2}{\lambda} \left( \mathbf{v_{\text{rot}}} + \mathbf{v_{\text{vib}}}(t) \right) \cdot \hat{\mathbf{r}}_d$

여기서 회전 운동의 속도 $\mathbf{v_{\text{rot}}}$ 는 위에서 설명한 바와 같이 $\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$ 로 표현되며, 진동 성분은 주기적인 형태를 띤다.

데이터 처리 및 신호 해석

복합 운동의 도플러 분석에서는 다음의 처리가 필요하다:

주파수 분리 기법: 회전 주파수와 진동 주파수가 명확히 분리되는 경우, 각 주파수 성분을 별도로 추출할 수 있다. 이를 위해서는 고해상도 주파수 분석 방법(예: 음악 밀도 추정법)이 사용될 수 있다.
비선형 변조 분석: 회전과 진동 주파수가 상호 작용하는 경우, 비선형 변조가 발생하며, 이는 주파수 영역에서 새로운 혼합 주파수 성분으로 나타난다. 이러한 비선형 효과를 모델링하기 위해 Hilbert-Huang 변환(HHT) 또는 응답 주파수 추적 기법이 유용할 수 있다.
시간-주파수 패턴 인식: 복합 운동을 정확히 해석하기 위해서는 시간-주파수 영역에서의 변화를 추적하여 복합 주파수 패턴을 식별하는 것이 중요하다.

예시: 전동기의 회전 및 진동 분석

전동기의 회전 운동과 진동 신호를 레이더로 모니터링한다고 가정하자. 전동기의 회전 주파수는 $\omega_r$ , 진동 주파수는 $f_v$ 라 하며, 각각의 신호가 도플러 주파수로 변조되어 레이더로 관측된다. 만약 전동기의 샤프트에 결함이 발생하여 진동 주파수가 회전 주파수에 종속적으로 변할 경우, 도플러 신호에서는 새로운 혼합 성분(예: $\omega_r \pm f_v$ )이 나타나게 된다. 이로 인해 회전 및 진동의 상태를 동시에 분석하고 진단할 수 있는 계기를 마련한다.

비선형 운동 분석

복합 운동이 더 복잡한 비선형 운동을 포함하는 경우, 예를 들어 진동하는 물체가 회전축을 중심으로 불규칙하게 회전하거나, 진동 자체가 비선형적 성질을 가진 경우, 도플러 신호는 더 복잡한 스펙트럼 특성을 보인다. 이때 사용될 수 있는 비선형 분석 기법은 다음과 같다:

수학적 모델 및 변조 패턴

비선형 진동은 흔히 Duffing 방정식과 같은 형태로 기술된다:

$\ddot{x} + \delta \dot{x} + \alpha x + \beta x^3 = \gamma \cos(\omega t)$

여기서 $x(t)$ 는 진동의 위치, $\alpha$ , $\beta$ 는 시스템의 비선형 계수, $\gamma$ 는 외부 구동의 진폭, $\omega$ 는 구동 주파수를 나타낸다. 도플러 신호에서 이와 같은 비선형 성분은 특이한 변조 패턴으로 나타나며, 이를 분석하여 시스템의 동특성을 추정할 수 있다.

비선형 주파수 분석

동기 주파수 변조 분석: 비선형 변조 신호에서 특정 동기 주파수 성분을 추출하여 회전 또는 진동 운동의 비선형 특성을 분석한다.
추출된 특성의 변조 분석: 도플러 신호에서 발생하는 비선형 성분을 분리하여, 변조 주파수와 진폭 변화를 추적함으로써 진동 또는 회전 시스템의 상태를 진단할 수 있다.

회전 불균형 및 불규칙 진동의 분석

회전 시스템에서 불균형이 발생하면 특정 주파수의 진동이 나타나게 되며, 이는 도플러 신호로 포착될 수 있다. 이러한 불균형 진동의 주파수 패턴을 분석하면, 회전 시스템의 결함 여부를 진단하고 그 정도를 평가할 수 있다.

회전 불균형의 수학적 모델

회전 불균형으로 인해 발생하는 진동은 주로 회전 주파수 $\omega_r$ 와 관련이 있으며, 특정 하모닉 주파수 성분이 도플러 신호에서 관측된다. 이 불균형의 모델은 다음과 같이 기술할 수 있다:

$\mathbf{v}(t) = \mathbf{v_0} + \mathbf{v_{\text{imbalance}}}(t)$

여기서 $\mathbf{v_{\text{imbalance}}}(t)$ 는 시간에 따라 주기적으로 변화하는 성분으로, 다음과 같은 형태를 띨 수 있다:

$\mathbf{v_{\text{imbalance}}}(t) = A_{\text{imb}} \cos(\omega_r t + \phi)$

$A_{\text{imb}}$ 는 불균형 진동의 진폭이며, $\phi$ 는 위상이다. 도플러 효과를 적용하면, 이 신호는 특정 주파수에서의 진동으로 나타나고, 불균형이 심해질수록 진폭이 커지게 된다.

신호 처리 및 패턴 분석

하모닉 분석: 불균형 진동은 회전 주파수의 정수배인 하모닉 성분을 생성하며, 이러한 하모닉 성분을 분석하면 불균형의 위치와 정도를 진단할 수 있다.
주파수 영역의 진폭-위상 분석: 주파수 영역에서 진폭과 위상 변화를 추적하여, 불균형의 진폭 $A_{\text{imb}}$ 와 위상 $\phi$ 를 구할 수 있으며, 이를 통해 물리적 결함을 정량화할 수 있다.

구조적 진동 및 모드 해석

물체가 진동할 때, 특정한 공진 주파수에서 고유 진동 모드를 가진다. 레이더는 이러한 고유 진동 모드에 따른 도플러 변조 패턴을 감지할 수 있으며, 이를 통해 물체의 구조적 특성을 분석할 수 있다. 구조적 모드 해석을 통해 물체의 강성, 감쇠 특성, 결함 위치 등을 파악할 수 있다.

고유 진동 모드의 수학적 모델

물체의 고유 진동 모드는 다음의 일반적인 방정식으로 표현된다:

$M \mathbf{\ddot{x}} + C \mathbf{\dot{x}} + K \mathbf{x} = 0$

여기서: - $M$ 은 질량 행렬, - $C$ 는 감쇠 행렬, - $K$ 는 강성 행렬, - $\mathbf{x}$ 는 진동 변위 벡터이다.

고유 모드 해석을 통해 시스템의 고유 주파수와 대응하는 모드 형상을 얻을 수 있다. 도플러 레이더를 사용하면 각 모드에서의 속도 변화를 감지할 수 있으며, 이를 통해 고유 주파수와 진폭을 추출할 수 있다.

공진 주파수 감지 및 모드 형상 추출

주파수 응답 분석 (FRA): 도플러 데이터를 통해 물체의 주파수 응답을 분석하여 공진 주파수를 식별할 수 있다. 이러한 공진 주파수에서의 진동 진폭과 위상 변화를 통해 모드 형상을 추출할 수 있다.
모드별 에너지 분포 분석: 추출된 주파수 성분을 기반으로 각 모드에 대한 에너지 분포를 계산하고, 이를 통해 구조적 진동의 강성 및 감쇠 특성을 평가할 수 있다.

진동 및 회전 신호의 실시간 모니터링

진동과 회전 운동을 실시간으로 모니터링하는 것은 기계 시스템의 상태를 평가하고, 결함을 조기에 감지하는 데 중요한 역할을 한다. 실시간 분석에서는 빠른 데이터 처리와 즉각적인 피드백이 요구되며, 도플러 레이더의 신호 처리는 이러한 실시간 모니터링에 적합한 여러 기법을 포함한다.

실시간 데이터 처리 기법

실시간 푸리에 변환 (RFFT): 신호의 실시간 주파수 성분을 빠르게 분석할 수 있으며, 일정 주기마다 주파수 변화를 모니터링할 수 있다.
적응형 필터링 기법: 시간에 따라 변하는 회전 및 진동 특성을 추적하기 위해 적응형 필터를 사용하여 특정 주파수 성분을 실시간으로 추출하고, 이의 변화를 감지할 수 있다.
실시간 이상 감지 알고리즘: 정상적인 회전 및 진동 패턴으로부터 벗어나는 신호를 자동으로 감지하여, 잠재적인 결함 발생 시 알림을 제공한다.

회전 및 진동 분석에서의 머신러닝 기법 적용

최근에는 회전 및 진동 데이터를 분석하는 데 머신러닝 기법이 널리 사용되고 있다. 머신러닝을 통해 데이터로부터 패턴을 학습하고, 결함 감지 및 시스템의 예측 유지보수에 활용할 수 있다.

특징 추출 및 패턴 인식

도플러 레이더 데이터로부터 회전 및 진동의 주요 특징을 추출하고, 이를 머신러닝 알고리즘에 입력하여 패턴을 학습한다. 대표적인 특징 추출 기법은 다음과 같다:

시간-주파수 특징: STFT, 웨이블릿 변환을 통해 시간에 따른 주파수 변화를 추출하여, 시스템의 변화 패턴을 파악한다.
진폭-위상 패턴: 각 주파수 성분에서의 진폭과 위상 변화 양상을 분석하여, 기계 결함의 초기 증상을 탐지한다.
비선형 특징 추출: 비선형 변조 및 고차 하모닉 성분을 통해 시스템의 비정상적 움직임을 파악하고, 이를 기반으로 모델을 학습하여 진동 및 회전 상태를 예측할 수 있다.