도플러 스펙트럼 분석 기법 - 소프트웨어 융합

도플러 스펙트럼 분석은 레이더 데이터에서 물체의 운동 정보를 추출하는 데 핵심적인 역할을 한다. 도플러 레이더는 목표물의 속도에 따라 반사된 신호의 주파수가 변하는 도플러 효과를 활용하여 속도 정보를 획득한다. 이러한 주파수 변화를 스펙트럼 분석 기법을 통해 분석함으로써 목표물의 이동 속도와 이동 방향에 대한 세부 정보를 얻을 수 있다.

도플러 효과와 주파수 이동

도플러 효과는 레이더 시스템에서 중요한 물리적 원리로, 송신된 전자기파가 이동하는 물체에 반사되어 돌아올 때 발생하는 주파수 변화 현상이다. 목표물이 레이더 쪽으로 이동할 경우 반사파의 주파수가 증가하며, 반대로 멀어질 경우 주파수가 감소한다. 이러한 주파수 변화는 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

$f_d = \frac{2 v_r}{\lambda}$

여기서, - $f_d$ 는 도플러 주파수 편차(Hz), - $v_r$ 는 레이더와 목표물 사이의 상대 속도(m/s), - $\lambda$ 는 송신 신호의 파장(m)이다.

위 수식을 통해 상대 속도 $v_r$ 는 도플러 주파수 변화와 직접적으로 비례함을 알 수 있으며, 이는 도플러 스펙트럼 분석의 근간이 된다.

도플러 스펙트럼 추출 방법

도플러 스펙트럼 분석을 수행하기 위해 가장 일반적으로 사용하는 방법은 고속 푸리에 변환(FFT)을 활용한 주파수 분석이다. 시간 영역의 수신 신호를 주파수 영역으로 변환함으로써, 목표물의 속도에 따른 도플러 주파수 성분을 명확히 파악할 수 있다.

1. 수신 신호의 샘플링과 푸리에 변환

수신된 시간 영역의 신호 $s(t)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$s(t) = A e^{j(2\pi f_c t + \phi)}$

여기서, - $A$ 는 신호의 진폭, - $f_c$ 는 송신 신호의 중심 주파수, - $\phi$ 는 위상이다.

도플러 이동이 발생한 신호는 다음과 같이 수정된다.

$s_d(t) = A e^{j(2\pi (f_c + f_d) t + \phi)}$

이 신호를 샘플링하여 이산 푸리에 변환(DFT)을 적용하면, 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환할 수 있으며, 그 결과 도플러 주파수 성분을 얻을 수 있다. 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j 2\pi f t} dt$

FFT를 사용하여 이산화된 신호에서 주파수 성분을 추출하면, 주파수 축 상에서 도플러 스펙트럼이 나타난다. 여기서 도플러 주파수 $f_d$ 의 위치와 크기는 목표물의 상대 속도와 그 반사 신호의 강도를 나타낸다.

2. 윈도우 함수 적용

실제 신호 처리에서 직접 FFT를 적용하면 스펙트럼 누출(leakage) 현상이 발생할 수 있다. 이로 인해 주파수 해상도가 떨어지고 측정 결과가 왜곡될 수 있다. 이를 보완하기 위해 윈도우 함수를 신호에 적용하여 신호의 가장자리에 나타나는 불연속성을 완화한다. 대표적인 윈도우 함수로는 해밍(Hamming), 해닝(Hanning), 블랙맨(Blackman) 등이 있다.

$s_w(t) = w(t) \cdot s(t)$

여기서 $w(t)$ 는 윈도우 함수이며, 이를 통해 개선된 스펙트럼을 추출할 수 있다. 적절한 윈도우 함수를 선택하면, 도플러 스펙트럼의 해상도를 높이고 잡음에 대한 민감도를 줄일 수 있다.

도플러 빈도 분해 기술

도플러 스펙트럼 분석의 중요한 기술로 도플러 빈도 분해가 있다. 이는 다수의 이동 물체가 있을 때, 각각의 물체가 유발하는 도플러 주파수 성분을 분리하여 분석하는 기법이다. 여러 목표물이 있을 때, 각 물체의 속도는 서로 다르므로 각기 다른 도플러 주파수를 나타내며, 이는 스펙트럼 상에서 피크로 나타난다.

1. 다중 도플러 성분의 검출

복수의 목표물로부터 수신되는 신호는 주파수 성분이 겹쳐지며 다음과 같은 신호 모델로 표현될 수 있다.

$s(t) = \sum_{k=1}^{K} A_k e^{j(2\pi (f_c + f_{d,k}) t + \phi_k)}$

여기서, - $K$ 는 목표물의 수, - $A_k$ 는 $k$ 번째 목표물의 반사 신호 강도, - $f_{d,k}$ 는 $k$ 번째 목표물의 도플러 주파수, - $\phi_k$ 는 위상이다.

FFT를 통해 다중 도플러 성분을 스펙트럼에서 확인할 수 있으며, 각 성분의 위치와 강도를 통해 여러 목표물의 속도와 신호 강도를 개별적으로 추정할 수 있다.

2. 분해능과 도플러 스펙트럼의 해상도

도플러 스펙트럼 분석에서 중요한 요소 중 하나는 분해능(resolution)이다. 분해능은 서로 다른 두 목표물의 도플러 주파수 성분을 명확하게 구별할 수 있는 능력으로, 주로 FFT의 길이와 샘플링 시간에 의해 결정된다. 분해능은 다음 수식으로 표현된다.

$\Delta f = \frac{1}{T}$

여기서, - $\Delta f$ 는 주파수 분해능(Hz), - $T$ 는 신호의 총 샘플링 시간(s)이다.

샘플링 시간이 길수록 주파수 분해능이 높아지며, 이는 도플러 주파수 간의 간격이 작은 목표물도 분리할 수 있게 해준다. 따라서 스펙트럼 분석에서 신호를 오랫동안 관측할수록 더 정밀한 도플러 스펙트럼을 추출할 수 있다.

도플러 스펙트럼의 스펙트럼 밀도 분석

도플러 스펙트럼은 종종 신호의 파워 스펙트럼 밀도(PSD, Power Spectral Density)로 분석된다. PSD는 신호의 주파수 성분에 따라 에너지가 어떻게 분포하는지를 나타내며, 특정 주파수 대역의 신호 강도를 파악하는 데 유용하다. PSD는 시간 축의 신호를 주파수 영역에서 평균한 값으로, 노이즈와 기타 외란 요소들을 줄이고 명확한 도플러 성분을 얻을 수 있다. PSD는 다음과 같은 수식으로 정의된다.

$P(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \left| \int_{-T}^{T} s(t) e^{-j2\pi f t} dt \right|^2$

여기서, $P(f)$ 는 특정 주파수 $f$ 에서의 파워 스펙트럼 밀도이다. FFT를 사용해 이산화된 신호에서 PSD를 계산할 수 있으며, 이는 실제 신호의 평균적 주파수 성분을 잘 나타낸다.

다양한 도플러 스펙트럼 분석 기법

1. 고해상도 스펙트럼 분석

기본적인 FFT 기법 외에도, 더 높은 해상도로 도플러 주파수를 분석하기 위해 여러 고해상도 스펙트럼 분석 방법들이 사용된다. 대표적인 방법으로는 MUSIC(Multiple Signal Classification) 알고리즘과 Capon의 방법이 있다. 이러한 기법은 작은 주파수 차이를 가진 여러 목표물의 도플러 주파수 성분을 효과적으로 분해하는 데 유리하다.

MUSIC 알고리즘: 고해상도 도플러 주파수 분석에 널리 사용되는 기법으로, 신호의 고유벡터 분해를 통해 신호와 잡음을 분리하여 높은 주파수 분해능을 제공한다. 이 알고리즘의 주파수 추정은 다음과 같이 정의된다.

$P_{MUSIC}(f) = \frac{1}{\mathbf{a}^H(f) \mathbf{E_n} \mathbf{E_n}^H \mathbf{a}(f)}$

여기서, - $\mathbf{a}(f)$ 는 주파수 $f$ 에서의 배열 응답 벡터, - $\mathbf{E_n}$ 은 잡음 공간의 고유벡터 행렬이다.

MUSIC 알고리즘은 높은 계산 복잡도를 가지지만, 매우 작은 주파수 차이로 인한 목표물의 도플러 성분도 구별할 수 있는 장점이 있다.

Capon 방법: 최소 분산 왜곡 없는 응답(MVDR) 기반의 스펙트럼 추정 기법으로, 잡음의 영향을 줄이면서 신호의 주파수 성분을 추정할 수 있다. Capon 스펙트럼은 다음과 같이 계산된다.

$P_{Capon}(f) = \frac{1}{\mathbf{a}^H(f) \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}(f)}$

여기서 $\mathbf{R}$ 은 수신 신호의 공분산 행렬이다. Capon 방법은 잡음의 영향을 최소화하면서 도플러 주파수를 구분하는 데 뛰어난 성능을 보인다.

2. 단시간 푸리에 변환(STFT)

도플러 스펙트럼의 변화가 시간에 따라 다를 경우, 단순히 전체 신호에 대해 푸리에 변환을 적용하는 것만으로는 목표물의 동적 변화를 잘 포착하지 못할 수 있다. 이때 단시간 푸리에 변환(STFT, Short-Time Fourier Transform)을 사용하여 시간-주파수 영역에서의 변화를 관찰할 수 있다.

$S(t, f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) w(\tau - t) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

여기서, - $S(t, f)$ 는 시간 $t$ 와 주파수 $f$ 에서의 스펙트럼 값, - $w(\tau - t)$ 는 시간 $t$ 를 중심으로 한 윈도우 함수이다.

STFT는 시간에 따라 변하는 도플러 주파수 성분을 분석하는 데 유리하며, 특히 이동 경로가 복잡한 목표물의 속도 변화를 실시간으로 파악할 수 있게 해준다.

웨이블렛 변환을 이용한 도플러 스펙트럼 분석

도플러 스펙트럼 분석에서는 웨이블렛 변환(Wavelet Transform)도 많이 사용된다. 웨이블렛 변환은 시간-주파수 분석에서 다양한 해상도를 제공하는 강력한 도구로, 특히 도플러 주파수가 시간에 따라 비선형적으로 변화하는 경우 유용하다. 웨이블렛 변환은 신호를 서로 다른 시간과 주파수 해상도로 분해함으로써, 주파수 성분이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 분석할 수 있게 한다.

1. 연속 웨이블렛 변환(CWT)

연속 웨이블렛 변환은 신호의 특정 주파수 대역에서 시간에 따른 변화를 분석할 때 사용된다. 웨이블렛 변환은 주파수 고정 기반인 푸리에 변환과 달리, 서로 다른 시간 해상도를 가진 웨이블렛 함수를 통해 다양한 스케일에서 신호를 분석할 수 있다.

$W(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \psi_{a, b}(t) dt$

여기서, - $W(a, b)$ 는 스케일 $a$ 와 위치 $b$ 에서의 웨이블렛 계수, - $\psi_{a, b}(t)$ 는 스케일링된 웨이블렛 함수로, $a$ 는 주파수 대역(스케일링 파라미터)을, $b$ 는 시간 이동(위치 파라미터)을 의미한다.

웨이블렛 변환의 스케일 파라미터 $a$ 가 작을수록 고주파 성분을, 클수록 저주파 성분을 분석하게 되어 신호의 시간 및 주파수 특성을 다양한 스케일에서 살펴볼 수 있다.

2. 이산 웨이블렛 변환(DWT)

이산 웨이블렛 변환은 연속 웨이블렛 변환의 계산 복잡도를 줄이기 위해 특정 스케일과 위치에서의 신호 분석에 집중하는 기법이다. DWT는 신호를 저주파 및 고주파 성분으로 분해하여 다중 해상도로 분석할 수 있게 하며, 이를 통해 특정 시간대의 도플러 주파수 변화나 간헐적인 신호를 탐지할 수 있다.

도플러 스펙트럼 분석의 신호 처리 기법

1. 스펙트럼 정밀도 향상을 위한 신호 누적

실제 레이더 시스템에서는 신호 대 잡음비(SNR)를 향상시키기 위해 신호 누적 기법을 많이 사용한다. 여러 번의 수신된 도플러 신호를 누적하여 평균을 취함으로써, 랜덤 잡음의 영향을 줄이고 목표물의 도플러 신호를 더 명확하게 추출할 수 있다.

$\mathbf{S_{avg}}(f) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{S_i}(f)$

여기서, - $\mathbf{S_{avg}}(f)$ 는 평균화된 도플러 스펙트럼, - $N$ 은 누적 횟수, - $\mathbf{S_i}(f)$ 는 각 수신 샘플의 스펙트럼이다.

신호 누적을 통해 스펙트럼의 잡음이 상쇄되며, 도플러 주파수 성분의 검출 민감도를 향상시킬 수 있다.

2. 도플러 필터 뱅크

도플러 필터 뱅크는 여러 개의 주파수 대역 필터를 구성하여 도플러 주파수 성분을 분리하고 분석하는 기법이다. 필터 뱅크는 다중 목표물의 도플러 주파수를 동시에 분석할 수 있도록 구성되어 있으며, 각 필터는 특정 도플러 주파수 대역을 통과시키거나 차단한다. 이로 인해 주파수 분해능을 높이고 잡음의 영향을 줄여, 더욱 정확한 도플러 스펙트럼을 얻을 수 있다.

3. 클러터 제거 기법

레이더 신호 처리에서 클러터(clutter)는 고정된 물체에서 반사된 불필요한 신호로, 도플러 주파수 분석에서 목표물의 속도 성분을 혼란스럽게 할 수 있다. 클러터 제거를 위해 다양한 필터링 기법이 사용되며, 가장 대표적인 것은 무빙 타겟 인디케이터(MTI, Moving Target Indicator) 필터와 무빙 타겟 디텍션(MTD, Moving Target Detection) 알고리즘이다.

MTI 필터: 고정된 물체로부터 발생하는 낮은 주파수의 클러터 신호를 제거하고, 이동하는 목표물의 도플러 주파수를 통과시키는 역할을 한다. 이는 기본적으로 고주파 통과 필터와 비슷한 동작을 하며, 도플러 주파수 성분이 낮은 클러터를 차단하여 이동 목표물만을 감지할 수 있게 한다.
MTD 알고리즘: MTI 필터의 기본 원리를 확장하여, 주파수 영역에서 더 정교한 클러터 제거를 수행한다. MTD는 각 도플러 주파수 대역을 필터링한 후 FFT를 적용하여 특정 속도를 가진 이동 목표물을 탐지할 수 있게 한다. 이를 통해 클러터와 목표물의 주파수 간 간섭을 최소화하고 도플러 스펙트럼의 정확도를 높일 수 있다.