추적 데이터의 필터링 및 보정

추적 데이터의 필터링과 보정은 레이더 시스템에서 매우 중요한 단계이다. 레이더 탐지기는 목표물의 위치와 속도 정보를 제공하지만, 이 데이터는 다양한 오차와 노이즈에 영향을 받을 수 있다. 따라서 필터링과 보정은 노이즈를 제거하고, 추적의 정확도를 향상시키며, 목표물의 궤적을 더 신뢰성 있게 예측하기 위해 필수적이다. 이 과정에서 주로 사용되는 기법은 칼만 필터(Kalman Filter), 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter), 입자 필터(Particle Filter) 등이다. 각각의 기법들은 다양한 추적 시나리오에서 적용되며, 레이더 데이터의 특성에 따라 선택된다.

데이터 필터링의 필요성

레이더에서 수집한 추적 데이터는 여러 가지 이유로 인해 불확실성과 노이즈를 포함한다. 이러한 오차의 주요 원인은 다음과 같다.

측정 노이즈: 레이더는 기본적으로 전파를 방출하고 반사된 신호를 수신하여 거리, 속도, 각도 정보를 추정한다. 이 과정에서 환경적 요인이나 전자적 간섭, 반사 특성의 변화 등으로 인해 노이즈가 발생할 수 있다.
목표물의 기동성: 목표물이 복잡한 기동을 할 경우, 간단한 운동 모델로는 정확한 예측이 어려워질 수 있다. 따라서 기동 변화에 민감하게 반응하면서도 노이즈에 강인한 필터링 방법이 필요하다.
센서 오차: 레이더 센서 자체의 하드웨어적 오차와 캘리브레이션 불완전성도 데이터 오차의 원인이 된다.

이러한 불확실성을 줄이기 위해 필터링 및 보정 알고리즘이 사용된다. 이 알고리즘들은 측정된 데이터를 바탕으로 상태 벡터를 업데이트하고, 미래의 상태를 예측한다.

칼만 필터

개요

칼만 필터는 연속적인 측정값에서 시스템의 상태를 추정하기 위한 알고리즘이다. 시스템이 선형이고, 상태와 측정 노이즈가 가우시안 분포를 따른다는 가정 하에 최적의 결과를 제공한다. 칼만 필터는 두 단계로 나누어진다: 예측 단계와 갱신 단계.

수식

상태 벡터: $\mathbf{x}_k$ 는 $k$ -번째 타임스텝에서의 상태 벡터를 나타낸다.
상태 천이 행렬: $\mathbf{F}_k$ 는 시스템의 동적 모델을 정의하는 상태 천이 행렬이다.
입력 벡터: $\mathbf{u}_k$ 는 제어 입력 벡터이며, 이 벡터를 통해 시스템 외부에서 영향을 미칠 수 있다.
측정 벡터: $\mathbf{z}_k$ 는 실제로 측정된 값이다.
측정 행렬: $\mathbf{H}_k$ 는 상태 벡터에서 측정값으로 변환하기 위한 측정 행렬이다.
잡음 벡터: $\mathbf{w}_k$ 는 시스템 노이즈, $\mathbf{v}_k$ 는 측정 노이즈이다.
예측 단계:

$\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \mathbf{F}_{k-1} \hat{\mathbf{x}}_{k-1} + \mathbf{B}_{k-1} \mathbf{u}_{k-1}$

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{F}_{k-1} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{F}_{k-1}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}_{k-1}$

갱신 단계:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} + \mathbf{R}_k\right)^{-1}$

$\hat{\mathbf{x}}_{k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1})$

$\mathbf{P}_{k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}$

여기서: - $\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}$ 는 $k-1$ 시점에서 예측된 $k$ 시점의 상태 벡터이다. - $\mathbf{P}_{k|k-1}$ 는 상태 오차 공분산 행렬이다. - $\mathbf{K}_k$ 는 칼만 이득(Kalman Gain)으로, 측정값과 예측값 사이의 최적의 가중치를 결정한다. - $\mathbf{Q}_{k-1}$ 와 $\mathbf{R}_k$ 는 시스템 노이즈와 측정 노이즈의 공분산 행렬이다.

확장 칼만 필터

개요

확장 칼만 필터(EKF)는 시스템의 동적 모델이나 측정 모델이 비선형일 경우에 사용된다. 이 필터는 선형화 기법을 통해 비선형 시스템을 선형 근사하여 칼만 필터를 적용한다. 선형화 과정은 테일러 급수 전개를 통해 이루어지며, 시스템 모델과 측정 모델의 야코비 행렬(Jacobian Matrix)을 이용한다.

수식

비선형 시스템 모델:

$\mathbf{x}_k = f(\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) + \mathbf{w}_{k-1}$

$\mathbf{z}_k = h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_k$

야코비 행렬:

$\mathbf{F}_{k-1} = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \bigg|_{\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}}$

$\mathbf{H}_k = \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}} \bigg|_{\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}}$

예측 단계:

$\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = f(\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1})$

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{F}_{k-1} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{F}_{k-1}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}_{k-1}$

갱신 단계:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^\mathrm{T} + \mathbf{R}_k\right)^{-1}$

$\hat{\mathbf{x}}_{k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{z}_k - h(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}))$

$\mathbf{P}_{k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}$

EKF는 비선형 시스템에 대한 유용한 근사치로, 실시간 처리에 적합하지만, 선형화에 따른 오차가 포함될 수 있다.

입자 필터

개요

입자 필터(Particle Filter)는 비선형, 비가우시안 시스템에서 사용되는 비모수적 필터링 기법이다. 칼만 필터와 확장 칼만 필터는 가우시안 분포를 가정하여 동작하지만, 입자 필터는 이러한 가정 없이 임의의 확률 분포를 표현할 수 있다. 이는 복잡한 환경에서의 레이더 추적에 매우 유용하다. 입자 필터는 상태 공간을 샘플링하여 여러 개의 입자(Particle)를 생성하고, 이 입자들을 추적하며 상태를 추정한다. 각 입자는 상태 벡터의 가능한 값으로 간주되며, 확률 가중치(weight)를 가지고 있다.

알고리즘

입자 필터는 크게 네 단계로 나눌 수 있다: 초기화, 예측, 중요도 갱신(Importance Weight Update), 재샘플링(Resampling).

초기화: 시스템의 초기 상태 분포로부터 다수의 입자 $\{\mathbf{x}^i_0\}_{i=1}^N$ 를 샘플링하고, 이 입자들에게 초기 가중치 $w^i_0 = \frac{1}{N}$ 를 할당한다. 여기서 $N$ 은 입자의 개수이다.
예측 단계: 각 입자 $\mathbf{x}^i_{k-1}$ 를 시스템 모델을 사용하여 다음 시점의 상태를 예측한다.

$\mathbf{x}^i_k = f(\mathbf{x}^i_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) + \mathbf{w}_{k-1}$

여기서 $\mathbf{w}_{k-1}$ 는 시스템 노이즈로부터 샘플링된 값이다.

중요도 갱신: 입자들의 예측된 상태에 대해 실제 측정값 $\mathbf{z}_k$ 와 비교하여 중요도 가중치 $w^i_k$ 를 업데이트한다. 이 과정은 베이즈 정리의 응용으로, 다음과 같이 표현된다:

$w^i_k \propto w^i_{k-1} p(\mathbf{z}_k | \mathbf{x}^i_k)$

가중치는 모든 입자의 확률 밀도가 1이 되도록 정규화된다:

$w^i_k = \frac{w^i_k}{\sum_{j=1}^N w^j_k}$

재샘플링 단계: 몇몇 입자의 가중치가 매우 낮거나 0에 가까워질 수 있기 때문에, 이러한 입자를 제거하고 높은 가중치를 가진 입자들로부터 새로운 입자들을 샘플링한다. 이를 통해 입자들의 다양성을 유지하고, 희소한 입자에 의해 발생하는 오차를 줄이다.

수식적 표현

입자 필터에서 상태 추정은 가중치 평균을 통해 이루어진다:

$\hat{\mathbf{x}}_k = \sum_{i=1}^N w^i_k \mathbf{x}^i_k$

입자 필터는 다양한 비선형 추적 문제에서 매우 유연하게 사용될 수 있으며, 특히 가우시안 가정이 맞지 않는 시스템에서 큰 강점을 보이다. 하지만 많은 입자를 필요로 하기 때문에 계산 비용이 높아지는 단점이 있다.

노이즈 특성 분석 및 적응형 필터링

노이즈 모델링

추적 데이터에서의 노이즈는 측정 장비의 특성에 따라 다르게 나타날 수 있다. 따라서 노이즈를 정확하게 모델링하는 것은 필터링의 성능을 결정짓는 중요한 요소이다. 일반적으로 레이더 시스템에서의 노이즈는 다음과 같은 두 가지 형태로 나타난다:

시스템 노이즈: 시스템의 동적 모델에서 발생하는 노이즈로, 목표물의 실제 기동과 모델 간의 차이에서 비롯된다.
측정 노이즈: 측정된 데이터에서 발생하는 노이즈로, 센서의 해상도, 환경적 요인 등이 원인이 된다.

노이즈는 대개 가우시안 분포로 가정되지만, 실제로는 비가우시안적 특성을 띠는 경우도 많다. 따라서 필터링 알고리즘은 이러한 비정상적인 노이즈 분포를 처리할 수 있어야 한다.

적응형 칼만 필터

기존의 칼만 필터에서 사용되는 시스템 노이즈 공분산 $\mathbf{Q}$ 와 측정 노이즈 공분산 $\mathbf{R}$ 는 고정된 값으로 설정되지만, 이는 시스템의 동적 특성이 변할 때 유연하게 대응하지 못할 수 있다. 적응형 칼만 필터는 이 문제를 해결하기 위해 $\mathbf{Q}$ 와 $\mathbf{R}$ 를 실시간으로 조정하며, 이를 통해 시스템의 변화에 적응할 수 있다.

적응 알고리즘 예

innovation(혁신) 기반 방법: 혁신 $\mathbf{y}_k = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}$ 의 공분산 $\mathbf{S}_k$ 를 실시간으로 모니터링하여, 시스템 노이즈 $\mathbf{Q}_k$ 와 측정 노이즈 $\mathbf{R}_k$ 를 업데이트한다. 이는 주로 실시간 환경에서 사용된다.

$\mathbf{R}_k = \alpha \mathbf{S}_k + (1-\alpha) \mathbf{R}_{k-1}$

여기서 $\alpha$ 는 적응의 정도를 결정하는 상수이다.

고급 적응 기법: Bayesian Adaptation이나 Machine Learning 기반 기법을 사용하여, 데이터의 패턴을 학습하고 $\mathbf{Q}$ 와 $\mathbf{R}$ 의 값을 더 정밀하게 조정하는 방법도 있다.

적응형 필터링은 다수의 상황에서 기존의 고정형 필터보다 성능을 향상시킬 수 있지만, 실시간 처리에서의 계산 복잡도가 커질 수 있는 단점이 있다.

필터링의 최적화 기법

연속적 필터링 vs. 배치 필터링

필터링을 수행하는 방식은 크게 연속적 필터링(Online Filtering)과 배치 필터링(Batch Filtering)으로 나눌 수 있다.

연속적 필터링:
실시간으로 데이터가 수집되는 대로 필터링을 수행한다. 주로 레이더 추적과 같은 실시간 애플리케이션에 사용된다.
장점: 실시간으로 데이터가 처리되어 지연 시간이 적다.
단점: 일부 이상치나 임시적인 노이즈가 결과에 영향을 미칠 수 있으며, 데이터의 전체적인 흐름을 반영하는 데 한계가 있다.
배치 필터링:
일정 시간 동안 수집된 데이터를 한 번에 처리하여 추정한다. 예를 들어, 드론이나 자율주행 차량이 주기적으로 데이터를 수집하고 이를 분석하는 방식이 이에 해당한다.
장점: 전체 데이터의 경향성을 반영한 더 정확한 필터링 결과를 얻을 수 있다.
단점: 실시간 처리가 불가능하고, 데이터가 늦게 수집될 수록 지연이 발생한다.

필터링 성능 최적화 기법

병렬 처리: 필터링 알고리즘을 병렬로 실행하여 연산 속도를 향상시킬 수 있다. 예를 들어, 다수의 센서로부터 동시에 들어오는 데이터를 독립적으로 필터링하고, 최종 결과에서 합치는 방법을 사용할 수 있다.
적응형 융합 필터링: 여러 필터링 기법을 동시에 실행한 후, 각 필터의 출력을 융합하여 최종 추정치를 얻는다. 이는 다양한 노이즈 특성을 반영할 수 있고, 특정 상황에서 더 높은 정확도를 제공할 수 있다. 예를 들어, 칼만 필터와 입자 필터를 융합하여 각각의 강점을 결합한 필터를 구현할 수 있다.
신경망 기반 필터링: 머신 러닝을 활용하여 복잡한 패턴을 학습하고, 이를 통해 필터링 성능을 향상시키는 방법도 연구되고 있다. 특히 딥러닝 기반의 필터는 비선형성과 복잡한 기동 패턴을 학습하여 기존의 전통적 필터보다 더 우수한 성능을 보일 수 있다. 이 경우 학습 데이터의 품질과 양이 중요하며, 필터링 단계에서 신경망의 예측을 보조적으로 사용하는 방식도 고려될 수 있다.

상태 추정의 정확도 평가

추적 데이터의 필터링 및 보정 성능을 평가하기 위해 다양한 지표가 사용된다. 정확도 평가를 통해 필터의 효율성을 측정하고, 최적의 필터링 설정을 찾아낼 수 있다. 일반적인 지표는 다음과 같다.

평균 제곱 오차 (Mean Squared Error, MSE)

$\text{MSE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \|\mathbf{x}_i - \hat{\mathbf{x}}_i\|^2$

여기서: - $\mathbf{x}_i$ 는 실제 상태 벡터, - $\hat{\mathbf{x}}_i$ 는 필터에 의해 추정된 상태 벡터이다.

MSE는 예측값과 실제값의 차이를 제곱하여 평균화한 값으로, 필터링 정확도를 평가하는 데 가장 널리 사용되는 지표 중 하나이다.

평균 절대 오차 (Mean Absolute Error, MAE)

$\text{MAE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |\mathbf{x}_i - \hat{\mathbf{x}}_i|$

MAE는 예측값과 실제값의 절대 차이를 평균화한 것으로, MSE보다 이상치에 덜 민감한 특성을 갖는다. 이로 인해 데이터에 극단값이 포함된 경우 더 안정적인 지표로 사용될 수 있다.

루트 평균 제곱 오차 (Root Mean Squared Error, RMSE)

$\text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \|\mathbf{x}_i - \hat{\mathbf{x}}_i\|^2}$

RMSE는 MSE의 제곱근으로, 오차의 단위를 원래 상태 변수와 동일하게 만들어 해석하기 쉽게 해준다. 예를 들어, 거리 측정의 RMSE는 "미터" 단위로 표현된다.

사례 연구: 레이더 기반 차량 추적

필터링 기법의 실전 적용 예로서, 레이더 기반 차량 추적 시스템을 살펴보자. 차량의 위치와 속도를 추적하는 것은 레이더 데이터의 필터링과 보정에서 대표적인 응용 사례이다. 레이더는 차량의 방위각, 거리, 속도와 같은 측정치를 제공하며, 이 데이터를 통해 차량의 궤적을 추정하게 된다.

칼만 필터 적용: 선형 궤적을 따르는 경우, 간단한 운동 모델을 사용하여 차량의 위치와 속도를 추정할 수 있다. 예를 들어, 정속도로 움직이는 차량은 가속도가 0이므로, 칼만 필터가 적합한 선택이 된다. 초기 상태를 설정하고, 실시간 측정치를 통해 상태 벡터를 지속적으로 갱신하여 차량의 궤적을 추정한다.
확장 칼만 필터 적용: 차량이 급격한 선회나 가속, 감속을 할 경우, 선형 모델이 아닌 비선형 모델로 접근해야 한다. 이 경우 확장 칼만 필터가 사용되며, 비선형 운동을 선형 근사하여 추적의 정확도를 높인다. 예를 들어, 고속도로에서의 차량 추적 시 차선 변경이나 곡선 주행 시에도 매끄럽게 궤적을 추적할 수 있다.
입자 필터 적용: 복잡한 도심 환경에서 다양한 형태의 기동을 보이는 차량은 단순한 모델로 추적하기 어렵다. 이 경우 입자 필터가 강력한 도구로 활용될 수 있다. 입자 필터는 각 입자가 다른 잠재적인 궤적을 표현할 수 있어, 복잡한 움직임을 보다 정확하게 포착할 수 있다.

이러한 사례 연구는 필터링 기법의 실제 성능을 검증하고, 각각의 기법들이 어떤 환경에서 더 적합한지 이해하는 데 도움을 준다.