목표 추적 필터 칼만 필터와 확장 칼만 필터

목표 추적 필터 개요

레이더 시스템에서 목표 추적은 탐지된 물체의 위치와 움직임을 시간에 따라 정확하게 추정하는 과정을 포함한다. 이를 위해, 목표의 상태를 추정하고 예측하는 필터가 사용되며, 대표적으로 칼만 필터(Kalman Filter)와 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter, EKF)가 있다. 이들 필터는 시간에 따라 변화하는 상태를 효율적으로 추정하며, 노이즈가 포함된 관측치로부터 정확한 정보를 얻기 위해 사용된다.

칼만 필터 (Kalman Filter)

상태 공간 모델

칼만 필터는 선형 시스템의 상태를 추정하는데 사용된다. 시스템의 동작은 다음의 상태 공간 모델로 정의된다.

상태 방정식:

$\mathbf{x}_{k} = \mathbf{F}_{k-1} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_{k-1} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1}$

여기서, - $\mathbf{x}_{k}$ 는 시간 $k$ 에서의 상태 벡터, - $\mathbf{F}_{k-1}$ 은 상태 전이 행렬, - $\mathbf{B}_{k-1}$ 은 제어 입력에 대한 모델링 행렬, - $\mathbf{u}_{k-1}$ 은 제어 입력 벡터, - $\mathbf{w}_{k-1}$ 은 시스템 노이즈로, 평균이 0인 가우시안 노이즈 $\mathcal{N}(0, \mathbf{Q}_{k-1})$ .

관측 방정식:

$\mathbf{z}_{k} = \mathbf{H}_{k} \mathbf{x}_{k} + \mathbf{v}_{k}$

여기서, - $\mathbf{z}_{k}$ 는 시간 $k$ 에서의 관측 벡터, - $\mathbf{H}_{k}$ 는 관측 모델 행렬, - $\mathbf{v}_{k}$ 는 관측 노이즈로, 평균이 0인 가우시안 노이즈 $\mathcal{N}(0, \mathbf{R}_{k})$ .

칼만 필터 알고리즘

칼만 필터는 예측(Prediction)과 갱신(Update) 두 단계로 나뉜다.

예측 단계

상태 벡터와 오차 공분산을 시간 $k-1$ 에서 $k$ 로 예측한다.

$\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = \mathbf{F}_{k-1} \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} + \mathbf{B}_{k-1} \mathbf{u}_{k-1}$

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{F}_{k-1} \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{F}_{k-1}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}_{k-1}$

여기서, $\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}$ 은 예측된 상태 벡터, $\mathbf{P}_{k|k-1}$ 은 예측된 오차 공분산 행렬이다.

갱신 단계

관측 벡터 $\mathbf{z}_{k}$ 가 주어졌을 때, 예측된 상태를 수정하여 더욱 정확한 상태를 추정한다.

$\mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_{k}^\mathrm{T} (\mathbf{H}_{k} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_{k}^\mathrm{T} + \mathbf{R}_{k})^{-1}$

$\hat{\mathbf{x}}_{k|k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_{k} (\mathbf{z}_{k} - \mathbf{H}_{k} \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1})$

$\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k} \mathbf{H}_{k}) \mathbf{P}_{k|k-1}$

여기서, $\mathbf{K}_{k}$ 는 칼만 이득(Kalman Gain), $\hat{\mathbf{x}}_{k|k}$ 는 갱신된 상태 벡터, $\mathbf{P}_{k|k}$ 는 갱신된 오차 공분산 행렬이다.

칼만 필터의 강력함은 노이즈가 있는 데이터에서도 최적의 상태 추정을 제공하며, 시스템이 선형이고 가우시안 노이즈를 가정할 때 통계적 최적화된 해를 제공한다는 점에 있다.

확장 칼만 필터 (Extended Kalman Filter)

비선형 시스템 모델링

많은 실제 시스템은 선형 시스템으로 표현되지 않는다. 이 경우 확장 칼만 필터(EKF)를 사용하여 비선형 시스템을 다룬다. EKF는 상태 및 관측 모델을 선형화하여 칼만 필터의 원리를 확장한다.

비선형 상태 방정식:

$\mathbf{x}_{k} = f(\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) + \mathbf{w}_{k-1}$

비선형 관측 방정식:

$\mathbf{z}_{k} = h(\mathbf{x}_{k}) + \mathbf{v}_{k}$

여기서, $f(\cdot)$ 와 $h(\cdot)$ 는 각각 비선형 상태 전이 함수와 관측 함수이다.

확장 칼만 필터 알고리즘

EKF는 비선형 함수를 선형 근사하기 위해, 현재 상태에서 테일러 급수의 1차 근사로 선형화를 수행한다.

예측 단계

$\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = f(\hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k-1})$

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{F}_{k-1} \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{F}_{k-1}^\mathrm{T} + \mathbf{Q}_{k-1}$

여기서, $\mathbf{F}_{k-1}$ 는 상태 전이 함수 $f$ 의 야코비 행렬로 정의된다:

$\mathbf{F}_{k-1} = \left. \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \right|_{\hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_{k-1}}$

갱신 단계

$\mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_{k}^\mathrm{T} (\mathbf{H}_{k} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_{k}^\mathrm{T} + \mathbf{R}_{k})^{-1}$

$\hat{\mathbf{x}}_{k|k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_{k} (\mathbf{z}_{k} - h(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}))$

$\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k} \mathbf{H}_{k}) \mathbf{P}_{k|k-1}$

여기서, $\mathbf{H}_{k}$ 는 관측 함수 $h$ 의 야코비 행렬로 정의된다:

$\mathbf{H}_{k} = \left. \frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}} \right|_{\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}}$

칼만 필터와 확장 칼만 필터의 비교

선형 대 비선형 시스템

칼만 필터는 시스템의 상태와 관측 모델이 선형일 때 최적의 성능을 발휘한다. 즉, 상태 방정식과 관측 방정식이 모두 선형 행렬 연산으로 표현될 수 있을 때, 칼만 필터는 가우시안 분포를 유지하며, 상태 추정의 불확실성을 최소화한다. 반면, 확장 칼만 필터는 비선형 시스템에서도 사용 가능하다. EKF는 시스템이 선형이 아닐 때, 테일러 급수를 통해 비선형 모델을 선형으로 근사하여 적용된다. 따라서 비선형 시스템에서도 칼만 필터와 유사한 추정 기법을 사용할 수 있게 된다.

근사와 안정성

칼만 필터는 가우시안 노이즈를 가정할 때 최적의 상태 추정기를 제공하지만, 확장 칼만 필터는 비선형 시스템을 선형화하는 과정에서 근사 오차가 발생할 수 있다. 이는 EKF의 정확도와 안정성에 영향을 미칠 수 있으며, 시스템이 강하게 비선형일 경우 추정의 오차가 증가할 수 있다. 이 때문에 EKF를 사용할 때는 시스템의 비선형성을 이해하고, 근사에 따른 오차가 시스템 성능에 미치는 영향을 평가해야 한다.

계산 복잡도

칼만 필터의 연산은 기본적으로 행렬의 곱셈과 역행렬 연산을 포함한다. 일반적으로, 연산 복잡도는 $\mathcal{O}(n^3)$ 정도이며, 여기서 $n$ 은 상태 벡터의 차원이다. 확장 칼만 필터는 추가적으로 야코비 행렬을 계산해야 하므로 칼만 필터보다 연산 복잡도가 더 높아진다. 시스템의 차원이 높고 상태 및 관측 모델이 복잡한 비선형 함수일 경우, 계산 비용이 상당히 증가할 수 있다.

확장 칼만 필터의 한계와 문제점

비선형성 근사의 한계

EKF는 비선형 시스템에서 선형 근사를 사용한다. 이 선형 근사는 시스템이 약하게 비선형일 때 잘 작동하지만, 강한 비선형성을 가진 시스템에서는 문제가 될 수 있다. 예를 들어, 테일러 급수 근사는 시스템의 작동 지점에서만 정확하고, 이 지점에서 벗어나면 근사 오차가 커질 수 있다. 따라서 초기 상태 추정치가 부정확하거나 비선형성이 강할 경우, EKF는 불안정해질 수 있다.

잡음 분포 가정의 문제

칼만 필터와 마찬가지로, EKF는 상태 및 관측 노이즈가 가우시안 분포를 따른다고 가정한다. 실제 환경에서 이 가정이 깨지면 필터의 성능이 크게 저하될 수 있다. 예를 들어, 노이즈가 가우시안이 아니라 비정규 분포를 따르거나, 이상치가 존재할 경우, EKF의 추정치는 큰 오차를 가질 수 있다. 이를 해결하기 위해 여러 변형된 필터 기법이 제안되었으며, 이는 EKF의 한계를 극복하고 더 넓은 범위의 문제에 적용 가능하다.

확장 칼만 필터의 응용

EKF는 다양한 분야에서 비선형 시스템의 상태 추정 문제를 해결하는 데 널리 사용된다. 레이더 데이터 처리에서도 EKF는 물체의 궤적 추적, 비행체의 위치 추정, 선박 항해 등의 응용에 필수적이다. 예를 들어, 레이더가 관측할 수 있는 데이터가 목표물의 거리와 속도일 경우, EKF를 통해 해당 목표물의 위치와 속도 벡터를 추정할 수 있다.

EKF의 주요 응용 분야는 다음과 같다: 1. 항법 시스템: GPS와 관성 항법 장치를 결합하여 비행체의 위치 및 속도를 추정한다. 2. 추적 시스템: 차량, 비행체, 선박 등의 궤적을 추적하는 데 사용된다. 목표물의 움직임이 비선형적일 경우 EKF가 사용된다. 3. 로봇 공학: 로봇의 위치 및 자세를 추정하는 데 사용되며, SLAM(Simultaneous Localization and Mapping) 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.

EKF의 응용이 넓은 이유는 실제 환경에서의 문제들이 대부분 비선형 시스템으로 구성되기 때문이다. 이러한 문제에 대해 EKF는 추정의 정밀도를 크게 향상시키고, 노이즈 환경에서도 안정적인 추정을 제공한다.

칼만 필터의 수렴성과 안정성

필터의 수렴 조건

칼만 필터의 수렴성은 필터가 시간이 지남에 따라 상태를 정확하게 추정할 수 있는지를 나타낸다. 필터의 수렴을 보장하기 위해서는 몇 가지 조건이 충족되어야 한다.

관측 가능성 (Observability): 시스템이 관측 가능한 경우, 즉 현재 상태가 과거의 관측 정보로부터 유일하게 결정될 수 있어야 한다. 수학적으로, 시스템이 관측 가능한지 여부는 상태 전이 행렬 $\mathbf{F}$ 와 관측 행렬 $\mathbf{H}$ 를 사용하여 판단한다. 만약 시스템이 관측 불가능하다면, 필터는 특정 상태를 제대로 추적하지 못할 수 있다.
제어 가능성 (Controllability): 제어 가능성은 시스템이 외부 입력을 통해 원하는 상태로 제어될 수 있는지를 의미한다. 이는 필터의 성능에 직접적으로 영향을 미치지는 않지만, 시스템의 상태가 외부 입력을 통해 제어되도록 해야 전체 시스템의 안정성을 확보할 수 있다.
시스템 안정성: 상태 전이 행렬 $\mathbf{F}$ 의 고유값이 모두 단위 원 내부에 있어야 한다. 이는 시스템이 불안정한 동작을 보이지 않고, 안정적으로 추정할 수 있도록 보장한다.

칼만 이득의 안정성

칼만 이득 $\mathbf{K}_{k}$ 은 필터의 성능을 결정하는 중요한 요소로, 관측과 예측된 상태의 차이를 얼마나 반영할 것인지를 나타낸다. $\mathbf{K}_{k}$ 의 안정성은 필터의 수렴성과도 밀접한 관련이 있다. 칼만 필터는 칼만 이득을 시간에 따라 조정하여 최적의 상태 추정을 수행하지만, 시스템이 충분히 관측 가능하지 않으면 이득이 불안정해질 수 있다.

확장 칼만 필터의 비선형 시스템에 대한 안정성 문제

EKF의 경우, 선형 시스템에서의 안정성 조건이 완전히 보장되지 않는다. 특히 비선형 시스템의 경우, 시스템의 동적 특성에 따라 필터의 안정성에 문제가 발생할 수 있다. 이를 방지하기 위해 다음과 같은 사항을 고려해야 한다.

선형화 오차: EKF는 야코비 행렬을 사용하여 시스템을 선형 근사하지만, 이 과정에서 발생하는 오차가 클 경우 필터가 수렴하지 않거나 불안정해질 수 있다. 이러한 문제를 방지하기 위해, 선형화가 수행되는 점이 실제 시스템 상태와 유사해야 한다.
상태 초기화의 정확성: 비선형 시스템에서는 초기 상태 추정치가 필터의 전체 성능에 큰 영향을 미친다. 초기화가 잘못되면, 필터가 잘못된 상태를 추정하게 되고, 이는 계속해서 잘못된 추정을 누적시킬 수 있다.
시간적 연속성: 시스템의 상태 변화가 빠르고 비선형성이 클수록, EKF의 선형화 근사 오차는 커질 수 있다. 따라서 상태 변화가 급격한 시스템에서는 EKF의 동작 주기를 줄이거나, 다른 고급 필터링 방법(예: 무향 칼만 필터, 입자 필터)로 전환하는 것이 필요할 수 있다.

칼만 필터 및 확장 칼만 필터의 변형 기법

칼만 필터와 EKF는 많은 응용에서 기본이 되는 필터링 기법이지만, 몇 가지 한계가 존재하기 때문에 다양한 변형 기법이 개발되었다.

무향 칼만 필터 (Unscented Kalman Filter, UKF)

무향 칼만 필터는 EKF의 근사 오차 문제를 해결하기 위해 제안된 방법으로, 비선형 시스템의 상태 추정을 개선하기 위해 사용된다. EKF는 비선형성을 테일러 급수를 통해 선형화하지만, UKF는 상태 벡터의 분포를 직접 비선형 함수에 전달함으로써, 더 정확한 예측을 수행한다. UKF는 시스템의 비선형성에도 불구하고 더 높은 정확도를 제공하며, 선형화 과정에서 발생하는 오차를 최소화할 수 있다.

입자 필터 (Particle Filter)

입자 필터는 가우시안 분포를 가정하지 않고, 임의의 분포를 사용하여 상태를 추정할 수 있다. 이는 특히 비선형성 및 비가우시안 노이즈가 존재하는 시스템에서 유용하다. 입자 필터는 시스템 상태를 표현하기 위해 다수의 샘플(입자)을 사용하며, 이 입자들이 상태 공간에서 확률적으로 분포하여 목표의 상태를 추정한다. 따라서 비선형성에 대한 강한 내성을 가지며, 복잡한 시스템에도 적용 가능하다.

칼만 필터와 확장 칼만 필터의 구현 시 고려 사항

시스템 노이즈와 관측 노이즈의 설정

칼만 필터와 EKF의 성능은 시스템 노이즈 공분산 행렬 $\mathbf{Q}$ 와 관측 노이즈 공분산 행렬 $\mathbf{R}$ 의 설정에 크게 좌우된다. 이들 행렬은 필터의 노이즈 모델링을 제어하며, 필터가 수렴하는 속도와 추정 정확도에 영향을 미친다.

$\mathbf{Q}$ 의 역할: 시스템 노이즈 행렬은 상태 변화의 불확실성을 나타낸다. $\mathbf{Q}$ 가 크면 필터는 모델의 불확실성이 크다고 간주하고, 예측된 상태를 덜 신뢰하게 된다. 반면, 작은 $\mathbf{Q}$ 는 필터가 상태 모델을 신뢰하게 만든다.
$\mathbf{R}$ 의 역할: 관측 노이즈 행렬은 측정의 불확실성을 나타낸다. $\mathbf{R}$ 가 크면 관측 데이터를 덜 신뢰하며, 작으면 관측 데이터를 더 신뢰하게 된다.

이들 행렬은 주어진 응용 환경에서 실험적 방법으로 설정되거나, 필터링 과정에서 동적으로 조정될 수 있다.