목표 탐지 이론과 기준 - 소프트웨어 융합

목표 탐지 이론은 레이더 시스템의 중요한 구성 요소로, 환경 속에서 원하는 목표를 신호로 감지하고 다른 비목표 신호(잡음)로부터 구분하는 과정이다. 이러한 탐지 과정은 신호 처리, 통계적 이론, 확률론 등을 활용하여 설계되며, 다양한 응용 분야에서 활용된다. 이 절에서는 목표 탐지의 기본 이론, 주요 통계적 기준, 그리고 이를 설명하는 수학적 모델에 대해 논의한다.

탐지 문제의 정의

레이더 시스템에서 목표 탐지 문제는 수신된 신호가 목표의 존재를 나타내는지 여부를 결정하는 문제로 요약된다. 이 문제는 일반적으로 다음과 같은 두 가설로 정의된다.

$\mathcal{H}_0$ : 목표가 존재하지 않는다 (잡음만 존재)
$\mathcal{H}_1$ : 목표가 존재한다 (목표 신호와 잡음이 함께 존재)

이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$r(t) = \begin{cases} n(t) & \text{if } \mathcal{H}_0 \text{ (잡음만)} \\ s(t) + n(t) & \text{if } \mathcal{H}_1 \text{ (목표 신호와 잡음)} \end{cases}$

여기서, $r(t)$ 는 수신 신호, $s(t)$ 는 목표 신호, $n(t)$ 는 잡음을 의미한다.

신호 대 잡음비 (SNR)

목표 탐지의 성능을 평가하기 위해 신호 대 잡음비(Signal-to-Noise Ratio, SNR)를 사용한다. SNR은 신호 세기와 잡음 세기의 비율로 정의되며, 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

$\text{SNR} = \frac{\mathbb{E}[|s(t)|^2]}{\mathbb{E}[|n(t)|^2]}$

SNR이 높을수록 목표를 탐지하기가 쉽다. 레이더 시스템은 신호 처리 기법을 통해 SNR을 최대로 유지하여 목표 탐지 확률을 높이는 데 집중한다.

통계적 탐지 기준

탐지 이론에서는 다양한 통계적 기준을 사용하여 탐지 문제를 해결한다. 가장 일반적으로 사용되는 탐지 기준으로는 다음과 같다.

Neyman-Pearson 기준

Neyman-Pearson 기준은 주어진 오탐지 확률 $P_{FA}$ 를 만족하면서 목표 탐지 확률 $P_D$ 를 최대화하는 방법을 제안한다. 이 기준은 수신 신호 $r(t)$ 에 대해 가설을 검정하는 문제를 해결하며, 다음과 같은 통계량을 정의한다.

$\Lambda(r) = \frac{p(r|\mathcal{H}_1)}{p(r|\mathcal{H}_0)}$

여기서 $p(r|\mathcal{H}_1)$ 은 $\mathcal{H}_1$ 이 참일 때의 우도 함수, $p(r|\mathcal{H}_0)$ 은 $\mathcal{H}_0$ 이 참일 때의 우도 함수이다. Neyman-Pearson 기준에 따르면 다음과 같은 규칙을 적용하여 탐지 여부를 결정한다.

$\Lambda(r) \underset{\mathcal{H}_0}{\overset{\mathcal{H}_1}{\gtrless}} \eta$

여기서 $\eta$ 는 임계값으로, 주어진 오탐지 확률을 기반으로 결정된다.

우도비 검정 (Likelihood Ratio Test)

우도비 검정은 Neyman-Pearson 기준의 구체적인 형태로, $\mathcal{H}_1$ 과 $\mathcal{H}_0$ 사이의 우도비를 계산하여 탐지 여부를 판단한다. 이 방법은 잡음의 통계적 특성을 알고 있을 때 매우 효과적이다. 목표 탐지 문제에서 우도비 검정은 다음과 같은 형태를 취한다.

$\text{LR}(r) = \frac{p(r|\mathcal{H}_1)}{p(r|\mathcal{H}_0)} \underset{\mathcal{H}_0}{\overset{\mathcal{H}_1}{\gtrless}} \eta$

우도비 검정은 최적의 탐지기 설계에 필수적인 역할을 하며, 특히 가우시안 잡음 환경에서 자주 사용된다.

신호 검출기의 수학적 모델

신호 검출기의 성능을 평가하기 위해 수학적 모델을 도입한다. 기본적으로 수신 신호 $r(t)$ 가 가우시안 잡음 속에서 수신된다고 가정한다. 이 경우, 수신된 신호는 다음과 같은 확률 밀도 함수로 표현할 수 있다.

가우시안 신호 모델

가우시안 신호 모델에서 잡음 $n(t)$ 는 평균이 0이고 분산이 $\sigma^2$ 인 가우시안 분포를 따른다고 가정한다. 목표 신호가 존재할 때와 존재하지 않을 때의 수신 신호 분포는 각각 다음과 같다.

$p(r|\mathcal{H}_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)$

$p(r|\mathcal{H}_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(r - s)^2}{2\sigma^2}\right)$

여기서, $s$ 는 목표 신호의 평균 값이다.

ROC 곡선

수신자 조작 특성(Receiver Operating Characteristic, ROC) 곡선은 탐지 시스템의 성능을 시각적으로 평가할 때 사용된다. ROC 곡선은 탐지 확률 $P_D$ 과 오탐지 확률 $P_{FA}$ 의 관계를 나타내며, 탐지기 성능의 다양한 상태를 보여준다.

ROC 곡선의 정의와 해석

ROC 곡선은 목표 탐지 시스템의 성능을 나타내는 중요한 도구로, 다양한 임계값에 따른 탐지 확률 $P_D$ 과 오탐지 확률 $P_{FA}$ 를 시각적으로 표현한다. ROC 곡선은 좌표평면 상에서 $P_{FA}$ 를 x축에, $P_D$ 를 y축에 두어 그려지며, 다음과 같은 특성을 가진다.

$P_D$ (탐지 확률): 실제로 목표가 존재할 때 이를 올바르게 탐지할 확률.

$P_D = \int_{\eta}^{\infty} p(r|\mathcal{H}_1) dr$

$P_{FA}$ (오탐지 확률): 목표가 존재하지 않는데도 이를 탐지했다고 판단할 확률.

$P_{FA} = \int_{\eta}^{\infty} p(r|\mathcal{H}_0) dr$

임계값 $\eta$ 가 변함에 따라, $P_D$ 와 $P_{FA}$ 의 값이 변하고, 이 변화를 통해 탐지 시스템의 성능을 다양한 조건에서 평가할 수 있다.

ROC 곡선의 특징

완벽한 탐지기: ROC 곡선이 좌상단 모서리에 근접할수록 탐지 성능이 뛰어난 것이다. 즉, $P_{FA}$ 가 0일 때 $P_D$ 가 1에 가까운 경우이다.
임의 추정기: 대각선(45도)에 해당하는 곡선은 무작위 추측과 같은 성능을 나타내며, 탐지기 성능이 매우 낮음을 의미한다.
영역(AUC): ROC 곡선 아래의 영역(Area Under the Curve, AUC)이 넓을수록 탐지기의 성능이 좋다. AUC 값이 1에 가까울수록 완벽한 탐지기를 의미하며, 0.5일 경우 무작위 추정을 나타낸다.

신호 검출 이론

신호 검출 이론(Signal Detection Theory, SDT)은 탐지 시스템이 목표 신호와 잡음을 구분하는 능력을 정량화하는 데 사용되는 이론적 틀이다. 이 이론은 탐지기를 설계하고 성능을 평가하는 데 필수적이며, 특히 다음의 두 주요 지표를 다룬다.

탐지 확률과 오탐지 확률

신호 검출 이론에서 사용되는 주요 두 확률은 앞서 언급한 탐지 확률 $P_D$ 와 오탐지 확률 $P_{FA}$ 이다. 이를 통해 탐지기의 민감도와 신뢰도를 측정할 수 있다.

탐지 확률 $P_D$ : 목표가 존재할 때 올바르게 탐지하는 비율.
오탐지 확률 $P_{FA}$ : 목표가 존재하지 않는데도 잘못 탐지하는 비율.

d' (디프라임)

d'는 목표 신호와 잡음 신호의 분리 정도를 나타내는 척도로, 두 신호 간의 분산 정도를 측정한다. 이는 다음과 같이 정의된다.

$d' = \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma}$

여기서, $\mu_1$ 과 $\mu_0$ 는 각각 목표 신호와 잡음 신호의 평균값, $\sigma$ 는 잡음 신호의 표준편차이다. d' 값이 높을수록 신호와 잡음의 구분이 명확하여 탐지 성능이 뛰어남을 의미한다.

최우수 검출기 (Optimum Detector)

최우수 검출기는 주어진 통계적 모델 하에서 목표 탐지 성능을 최대로 할 수 있는 검출기를 의미한다. 최우수 검출기를 설계하기 위해서는 신호 및 잡음의 통계적 특성을 정확히 알고 있어야 하며, 이러한 특성을 바탕으로 최적의 임계값 $\eta$ 를 설정하여 탐지 성능을 극대화한다.

가우시안 잡음 하의 최우수 검출기

가우시안 잡음 환경에서 최우수 검출기는 다음과 같은 형태의 탐지기를 설계한다. 이 경우, 탐지 문제는 우도비 검정에 기반하며, Neyman-Pearson 기준을 따르는 최적의 탐지기로 해석된다.

$\Lambda(r) = \frac{p(r|\mathcal{H}_1)}{p(r|\mathcal{H}_0)} \underset{\mathcal{H}_0}{\overset{\mathcal{H}_1}{\gtrless}} \eta$

여기서 $p(r|\mathcal{H}_1)$ 와 $p(r|\mathcal{H}_0)$ 는 각각 신호 존재 여부에 따른 확률 밀도 함수이다. 이 방식은 가우시안 분포의 특성을 이용하여 탐지기의 성능을 최대화한다.

CFAR (Constant False Alarm Rate) 탐지기

CFAR 탐지기는 일정한 오탐지 확률을 유지하면서 목표를 탐지하는 방법이다. 이는 레이더 시스템에서 잡음 수준이 시간 또는 공간적으로 변할 때 유용하며, 다음의 두 가지 주요 유형이 있다.

셀 내 평균(CA-CFAR): 탐지 셀 주변의 여러 셀로부터 잡음 평균을 추정하여 임계값을 설정.
가중 평균(OS-CFAR): 잡음의 최솟값 또는 최댓값을 활용하여 임계값을 설정하여 잡음 수준이 급격하게 변하는 환경에서 유용.

CFAR 탐지기의 주요 목표는 잡음 환경의 변동에 관계없이 일정한 탐지 성능을 유지하는 것이다.

Bayesian 탐지기

Bayesian 탐지기는 사전 확률을 고려하여 목표 탐지 문제를 해결한다. 이 접근법은 사전 정보가 주어졌을 때 신호와 잡음의 확률을 기반으로 최적의 탐지 규칙을 설정한다. Bayesian 탐지기의 목적은 다음의 비용 함수를 최소화하는 것이다.

$R = P(\mathcal{H}_0) C_{10} P_D + P(\mathcal{H}_1) C_{01} (1 - P_D)$

여기서 $P(\mathcal{H}_0)$ 와 $P(\mathcal{H}_1)$ 는 각각 가설 $\mathcal{H}_0$ 와 $\mathcal{H}_1$ 의 사전 확률이며, $C_{10}$ 과 $C_{01}$ 는 오탐지와 미탐지의 비용을 의미한다.