펄스 압축 기술 - 소프트웨어 융합

펄스 압축 기술은 레이더 시스템에서 널리 사용되는 신호 처리 기법으로, 긴 펄스 신호를 짧은 고해상도 펄스로 변환하여 거리 해상도를 향상시키는 역할을 한다. 펄스 압축은 긴 신호 지속 시간 동안 에너지를 유지하면서도 짧은 펄스와 유사한 고해상도를 구현할 수 있어, 탐지 성능을 극대화하는 데 유리하다.

기본 원리

펄스 압축의 기본 원리는 긴 펄스 신호를 특정한 변조를 통해 송신하고, 수신된 반사 신호를 적절한 필터링을 통해 처리하여 원하는 고해상도 펄스로 변환하는 것이다. 이때, 사용되는 신호 변조 방식과 매칭 필터(Matched Filter)의 설계가 핵심적인 역할을 한다.

선형 주파수 변조(Linear Frequency Modulation, LFM)

LFM 신호는 펄스 압축에서 가장 많이 사용되는 변조 방식 중 하나이다. LFM 신호는 시간에 따라 주파수가 선형적으로 증가하거나 감소하는 형태를 가지며, 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다:

$s(t) = A \exp \left( j 2 \pi \left( f_0 t + \frac{K}{2} t^2 \right) \right), \quad 0 \leq t \leq T$

여기서: - $A$ 는 신호의 진폭, - $f_0$ 는 초기 주파수, - $K$ 는 주파수 변화율(Chirp Rate), - $T$ 는 펄스 지속 시간이다.

LFM 신호는 넓은 대역폭을 가지며, 그에 따른 시간-대역폭 곱(Time-Bandwidth Product, TBP)도 크기 때문에 펄스 압축 비율이 높아진다.

매칭 필터의 설계

펄스 압축에서 중요한 부분은 수신된 신호에 대한 매칭 필터의 적용이다. 매칭 필터는 수신 신호와 송신 신호를 최대한 일치시키도록 설계되며, 이는 신호 에너지를 최대로 집중시키는 효과를 가져온다. 매칭 필터의 주파수 응답은 송신 신호의 컨주게이트(complex conjugate)로 정의된다:

$H(f) = S^*(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j2\pi ft} dt$

여기서 $S^*(f)$ 는 송신 신호 $s(t)$ 의 컨주게이트 복소수 주파수 변환이다. 매칭 필터를 통과한 수신 신호의 출력은 신호의 자상관 함수와 동일한 형태를 가지게 되어, 펄스 압축 효과가 나타난다.

자상관 함수와 펄스 압축 비율

펄스 압축의 성능은 주로 자상관 함수의 형태로 평가된다. 자상관 함수는 신호가 자기 자신과 얼마나 유사한지를 나타내며, 이를 통해 신호의 압축 정도를 측정할 수 있다. 자상관 함수 $R(\tau)$ 는 다음과 같이 정의된다:

$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s^*(t - \tau) dt$

이 식에서 $\tau$ 는 시간 지연을 나타낸다. 펄스 압축의 성능은 자상관 함수의 주 피크와 측엽(Sidelobe)의 비율에 의해 결정되며, 측엽이 낮을수록 신호 검출 성능이 향상된다.

펄스 압축 비율과 해상도

펄스 압축 비율(Compression Ratio, CR)은 송신 펄스의 길이를 압축된 펄스의 길이로 나눈 값으로, 다음과 같이 정의할 수 있다:

$CR = \frac{\Delta t_{\text{pulse}}}{\Delta t_{\text{compressed}}}$

여기서: - $\Delta t_{\text{pulse}}$ 는 송신 펄스의 지속 시간, - $\Delta t_{\text{compressed}}$ 는 매칭 필터를 통과한 후의 압축된 펄스 지속 시간이다.

높은 압축 비율을 달성하면 긴 신호에서 얻을 수 있는 에너지를 유지하면서도 짧은 펄스와 유사한 시간 해상도를 구현할 수 있다. 이는 레이더의 거리 해상도를 향상시키는 데 중요한 요소로 작용한다.

또한, 펄스 압축의 해상도는 신호의 대역폭에 비례하며, 주어진 대역폭 $B$ 에 대해 다음과 같은 관계를 갖는다:

$\Delta R = \frac{c}{2B}$

여기서: - $\Delta R$ 는 거리 해상도, - $c$ 는 빛의 속도, - $B$ 는 신호의 대역폭이다.

이 수식은 대역폭이 넓을수록 더 나은 거리 해상도를 제공한다는 것을 의미하며, 따라서 LFM과 같은 넓은 대역폭 신호가 펄스 압축에 유리하다.

측엽 억제(Sidelobe Suppression)

펄스 압축 신호의 자상관 함수에서 발생하는 측엽(Sidelobe)은 주변 신호와 혼선이나 간섭을 일으킬 수 있으므로 억제하는 것이 중요하다. 측엽 억제를 위해 다양한 창(Window) 함수가 사용되며, 대표적인 창 함수로는 해밍(Hamming), 해닝(Hanning), 그리고 블랙맨(Blackman) 창이 있다.

창 함수의 효과

매칭 필터 설계 시 창 함수를 적용하면 자상관 함수의 측엽을 감소시키는 효과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 해밍 창을 적용한 매칭 필터의 주파수 응답은 다음과 같이 표현된다:

$H_{\text{windowed}}(f) = H(f) \cdot W(f)$

여기서: - $W(f)$ 는 해밍 창 함수의 주파수 응답, - $H_{\text{windowed}}(f)$ 는 창 함수가 적용된 매칭 필터의 주파수 응답이다.

창 함수를 적용하면 자상관 함수의 주 피크와 측엽의 비율을 개선할 수 있어, 정확한 거리 측정을 가능하게 한다. 그러나 창 함수를 사용할 경우 주 피크의 너비가 넓어지는 단점이 있어, 해상도가 약간 떨어질 수 있다.

상호 상관 기반 펄스 압축

기본적인 펄스 압축은 자상관(Auto-correlation)을 이용하지만, 레이더 시스템의 특정 요구에 따라 상호 상관(Cross-correlation)을 이용하는 경우도 있다. 상호 상관 기반의 펄스 압축에서는 송신 신호와 수신 신호가 다를 수 있으며, 이를 통해 보다 다양한 변조 방식을 활용할 수 있다. 상호 상관 함수는 다음과 같이 정의된다:

$R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) y^*(t - \tau) dt$

여기서: - $x(t)$ 는 송신 신호, - $y(t)$ 는 수신 신호, - $R_{xy}(\tau)$ 는 상호 상관 함수이다.

상호 상관 기반 펄스 압축은 자상관과 유사하게 동작하지만, 신호의 변조와 처리 방식을 좀 더 유연하게 설계할 수 있는 장점이 있다.

비선형 주파수 변조(Non-Linear Frequency Modulation, NLFM)

펄스 압축에서 선형 주파수 변조(LFM)는 널리 사용되지만, 측엽 억제 성능이 제한적일 수 있다. 이를 개선하기 위해 비선형 주파수 변조(NLFM) 기법이 활용된다. NLFM은 주파수가 시간에 따라 비선형적으로 변화하는 신호로, 이를 통해 자상관 함수의 측엽 레벨을 낮추고 더 나은 측엽 억제 성능을 제공한다.

NLFM 신호는 다음과 같이 주파수 변화가 비선형 함수로 표현된다:

$s_{\text{NLFM}}(t) = A \exp\left(j 2 \pi \int_0^t f(\tau) d\tau \right)$

여기서: - $f(\tau)$ 는 비선형 주파수 함수로, 시간에 따라 주파수가 비선형적으로 변화하도록 설계된다. - $A$ 는 신호의 진폭이다.

비선형 주파수 변조를 설계할 때, 특정한 주파수 함수 $f(\tau)$ 를 선택하여 자상관 함수의 측엽을 낮추는 것이 목적이다. 일반적으로 주파수 함수의 설계는 신호의 대역폭과 시간 지속성을 고려하여 최적화된다.

펄스 압축 구현 시의 주요 고려 사항

펄스 압축 기술을 실제 레이더 시스템에 구현할 때에는 다음과 같은 여러 가지 요소를 고려해야 한다:

1. 대역폭과 거리 해상도의 균형

펄스 압축에서 대역폭은 거리 해상도를 결정하는 중요한 요소이다. 대역폭을 넓게 설정하면 더 높은 해상도를 얻을 수 있지만, 시스템 설계 측면에서 더 넓은 주파수 대역을 처리할 수 있는 능력이 필요하다. 또한, 주파수 대역폭이 넓어질수록 신호가 외부 간섭의 영향을 받을 가능성도 증가할 수 있다.

2. 신호 잡음비(Signal-to-Noise Ratio, SNR)

펄스 압축은 기본적으로 긴 펄스를 사용하여 에너지를 집중시키기 때문에 SNR을 향상시키는 데 유리하다. 그러나 매칭 필터를 적용할 때 신호가 왜곡되거나 노이즈가 증폭되는 현상이 발생할 수 있으며, 이를 방지하기 위해 필터 설계와 신호 처리 단계에서 SNR을 고려해야 한다.

3. 실시간 처리와 계산 복잡성

레이더 시스템에서 실시간 처리가 필요할 경우, 펄스 압축 알고리즘의 계산 복잡성이 중요한 문제가 될 수 있다. 특히, 매칭 필터는 수신된 긴 펄스 데이터를 주파수 영역에서 처리하는데 상당한 연산이 요구된다. 실시간 처리를 위해 FFT(Fast Fourier Transform)와 같은 효율적인 알고리즘을 사용하여 계산 속도를 높이는 것이 일반적이다.

FFT 기반의 펄스 압축

펄스 압축을 구현할 때, 시간 도메인에서의 직접적인 계산보다는 주파수 도메인에서 FFT를 활용한 계산이 더 효율적이다. FFT를 사용하면 매칭 필터와 신호의 컨볼루션을 빠르게 수행할 수 있다. 주파수 도메인에서 펄스 압축의 과정은 다음과 같이 요약된다:

송신 신호 $s(t)$ 와 수신 신호 $r(t)$ 의 FFT 계산:

$S(f) = \text{FFT}\{s(t)\}, \quad R(f) = \text{FFT}\{r(t)\}$

주파수 도메인에서 매칭 필터 적용:

$Y(f) = R(f) \cdot S^*(f)$

IFFT(Inverse FFT)를 통해 시간 도메인으로 변환하여 압축된 신호를 얻음:

$y(t) = \text{IFFT}\{Y(f)\}$

이 방법은 계산 효율성을 크게 향상시키며, 특히 대규모 데이터 처리가 필요한 고해상도 레이더 시스템에서 매우 유용하다.

비코드형 펄스 압축(Polyphase Pulse Compression)

비코드형 펄스 압축(Polyphase Pulse Compression)은 펄스 압축 신호의 측엽 억제와 주파수 사용의 효율성을 높이기 위해 설계된 방식이다. 대표적인 비코드형 변조 방식으로 프랭크(Frank) 코드, 피더(Feder) 코드, 바커(Barker) 코드 등이 있다. 이 방식은 특정한 위상 변조 패턴을 사용하여 신호를 구성하며, 주로 다음과 같은 특징을 가진다:

위상 변조: 신호의 위상을 여러 개의 구간으로 나누고 각 구간마다 다른 위상을 부여하여 전송 신호를 생성한다. 이를 통해 높은 주파수 효율성과 낮은 측엽 수준을 달성할 수 있다.
신호 패턴의 다양성: 다양한 비코드형 패턴을 설계함으로써 특정 응용에 맞게 최적화된 신호를 제공할 수 있다.

프랭크 코드(Frank Code)

프랭크 코드는 여러 위상 단계로 구성된 변조 패턴을 사용하여 신호를 생성하며, 각 주기마다 위상이 일정하게 변화한다. 프랭크 코드는 자상관 함수의 측엽이 매우 낮아 펄스 압축 성능이 우수하다. 프랭크 코드를 사용한 신호의 예시는 다음과 같이 수학적으로 표현된다:

$s_{\text{Frank}}(t) = A \exp \left( j 2\pi \frac{nk}{N} \right), \quad n, k = 0, 1, \ldots, N-1$

여기서: - $N$ 은 위상 단계의 수, - $n$ 과 $k$ 는 신호 내 위상의 변화를 나타내는 인덱스이다.

이와 같은 방식은 특정 주파수 대역을 최대한 활용하면서도 높은 신호 대 간섭비(SIR)를 보장할 수 있다.

위상 코딩(Phase Coding)

위상 코딩은 송신 신호의 위상을 특정 코드(sequence)로 변조하는 기법으로, 펄스 압축에서 매우 유용하다. 위상 코딩 방식은 일반적으로 다음과 같은 단계로 구성된다:

코드 생성: 송신 신호의 위상을 결정하는 코드 $\phi_n$ 를 설계. 이 코드는 원하는 자상관 특성과 대역폭을 기준으로 선택된다.
위상 변조: 각 신호 구간에서 코드에 따라 신호를 변조하여 전송 신호 생성:

$s(t) = A \exp(j \phi_n)$

대표적인 위상 코딩 방식으로는 바커(Barker) 코드가 있다. 바커 코드는 특수한 위상 패턴을 가지고 있어 자상관 함수에서 낮은 측엽을 나타내기 때문에, 짧은 거리와 고해상도가 필요한 레이더 시스템에 유리하다.

바커 코드(Barker Code)

바커 코드는 다음과 같은 짧은 길이의 코드로 구성되며, 각 비트는 +1 또는 -1의 위상을 갖는다. 예를 들어, 7-비트 바커 코드는 $[+1, +1, +1, -1, -1, +1, -1]$ 이다. 이 코드의 자상관 함수는 주 피크 외의 모든 지점에서 낮은 값을 가지므로 측엽 억제에 유리하다.

$R_{\text{Barker}}(\tau) = \sum_{n=0}^{N-1} s_n s^*_{n-\tau}$

주파수 도약 변조(Frequency Hopping Modulation)

주파수 도약 변조는 신호의 주파수를 시간에 따라 일정 주기로 변화시키는 방법이다. 이 방식은 특정 주파수 대역에서의 간섭을 줄이고, 다중 경로 간섭(multipath interference)을 방지하는 데 유리하다. 주파수 도약 신호는 다음과 같은 형태로 표현된다:

$s_{\text{FH}}(t) = A \exp \left( j 2\pi f_i t \right), \quad f_i \in \{f_1, f_2, \ldots, f_N\}$

여기서: - $f_i$ 는 각 도약 구간에서의 주파수 값, - $N$ 은 사용 가능한 주파수 집합의 개수이다.

주파수 도약 변조는 펄스 압축에서 강한 주파수 분산 특성을 제공하며, 송신 신호의 도약 패턴을 수신측에서 정확하게 재현할 수 있다면, 주파수 간섭을 크게 줄일 수 있다.

필터 뱅크 설계(Filter Bank Design)

펄스 압축에서 필터 뱅크(Filter Bank) 설계는 여러 주파수 대역의 신호를 병렬로 처리하여 펄스 압축 성능을 극대화하는 방식이다. 필터 뱅크는 각 대역을 독립적으로 분석하고, 이들을 결합하여 전체 신호를 재구성하는 역할을 한다. 이 방법은 주로 다중 대역 펄스 압축에 사용되며, 효율적인 신호 처리와 실시간 응답에 기여한다.

코드형 펄스 압축의 신호 설계

코드형 펄스 압축에서는 송신 신호에 미리 정의된 코드(sequence)를 적용하여 변조함으로써, 압축된 신호가 더 높은 해상도와 낮은 측엽을 가지도록 설계한다. 이러한 신호 설계는 특히 간섭 환경에서 강력한 성능을 제공하며, 다양한 응용에서 활용된다. 대표적인 코드형 변조 방식은 다음과 같다:

골드 코드(Gold Code)

골드 코드는 펄스 압축에 사용되는 특수한 이진 코드로, 좋은 자상관 특성과 낮은 상호 상관 특성을 가진다. 이는 서로 다른 레이더 플랫폼 간의 간섭을 줄이는 데 유용하며, 주로 다중 레이더 시스템에서 사용된다. 골드 코드는 다음과 같은 수학적 절차를 통해 생성된다:

두 개의 서로 다른 m-직렬(Shift Register Sequences) 생성: 두 m-직렬은 서로 다른 초기 조건으로 설정되며, 각 직렬은 동일한 다항식을 사용한다.
이진 XOR 연산을 통해 새로운 코드 생성: 두 직렬의 출력을 이진 XOR 연산을 통해 결합하여 새로운 골드 코드를 생성한다.

$c_{\text{gold}} = c_1 \oplus c_2$

여기서 $\oplus$ 는 이진 XOR 연산을 나타낸다.

측엽 억제 기술

펄스 압축에서 측엽 억제는 매우 중요한 문제로, 높은 측엽은 레이더 신호의 해상도를 저하시키고 목표물의 탐지를 방해할 수 있다. 이를 해결하기 위해 여러 가지 측엽 억제 기법이 개발되었으며, 대표적으로 창 함수 적용, 비선형 필터 설계, 그리고 다중 펄스 기술 등이 있다.

창 함수(Window Function)

창 함수는 펄스 압축에서 자상관 함수의 측엽을 억제하기 위해 신호의 매칭 필터에 적용되는 방법이다. 앞서 설명한 해밍(Hamming), 해닝(Hanning), 블랙맨(Blackman) 창 외에도, 최근에는 신호의 특정 특성을 최적화할 수 있는 다양한 창 함수들이 개발되었다.

$w(n) = \alpha - (1 - \alpha) \cos\left( \frac{2\pi n}{N-1} \right), \quad \alpha \text{는 창 함수의 계수}$

이 식은 일반화된 창 함수로, 다양한 계수 값 $\alpha$ 를 통해 해밍, 해닝, 블랙맨 창 등의 다양한 형태로 표현될 수 있다.

비선형 필터(Non-Linear Filtering)

펄스 압축 신호의 측엽을 억제하기 위해 비선형 필터를 사용하는 방법도 있다. 비선형 필터는 신호의 특정 구간에서 비선형 특성을 도입하여 측엽의 크기를 줄이는 데 유리하다. 예를 들어, 측엽이 일정 수준 이상 클 경우 해당 신호를 비선형적으로 축소하는 방식이 있으며, 이를 통해 주요 신호의 해상도는 유지하면서 측엽의 간섭을 줄일 수 있다.

다중 펄스 압축(Multi-Pulse Compression)

다중 펄스 압축은 여러 개의 펄스를 송신하고 수신된 신호들을 결합하여 최종 신호를 생성하는 기법이다. 이 방식은 단일 펄스보다 에너지를 더 많이 사용할 수 있어, 신호 대 간섭비(SIR)를 개선하고 낮은 측엽을 유지하면서도 해상도를 높일 수 있다. 다중 펄스 신호는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다:

$s_{\text{multi}}(t) = \sum_{i=1}^{N} s_i(t - t_i)$

여기서: - $s_i(t)$ 는 각 펄스 신호, - $t_i$ 는 각 펄스의 시간 지연을 나타낸다.

이 방식은 간섭 환경에서 신호의 복원력을 높이며, 다중 경로 간섭을 줄이는 데도 효과적이다.

펄스 압축 기술의 응용 분야

펄스 압축은 다양한 레이더 시스템에서 필수적인 기술로, 특히 아래와 같은 응용 분야에서 광범위하게 사용된다:

1. 장거리 레이더(Long-Range Radar)

장거리 레이더는 목표물의 탐지 거리가 매우 길기 때문에, 긴 펄스를 사용하여 신호의 에너지를 집중시킬 필요가 있다. 그러나 긴 펄스는 해상도를 낮출 수 있으므로, 펄스 압축 기술을 사용하여 이를 해결한다. 예를 들어, 항공 관제 레이더와 기상 레이더에서 펄스 압축을 활용하여 높은 거리 해상도를 유지하면서도 넓은 범위의 탐지가 가능하다.

2. 고해상도 이미징 레이더(High-Resolution Imaging Radar)

고해상도 이미징 레이더는 목표물을 세밀하게 분석하고 이미지를 생성하는 데 사용된다. 이 경우 짧은 펄스가 필요하지만, 높은 에너지를 유지하기 위해 긴 펄스를 사용하고 펄스 압축 기술을 적용하여 신호를 처리한다. 대표적인 예로 SAR(Synthetic Aperture Radar)와 ISAR(Inverse Synthetic Aperture Radar)가 있다.