기본 레이더 신호의 구조 - 소프트웨어 융합

레이더 신호의 구조는 목표 물체의 탐지, 거리 측정, 속도 추정, 방향 판별 등의 기능을 수행하기 위해 설계된다. 기본적인 레이더 신호는 특정 주파수를 갖는 전자기파로 구성되며, 다양한 신호 변조 방식을 통해 원하는 정보를 얻을 수 있다. 이 절에서는 기본 레이더 신호의 구성 요소와 그 신호가 시간 및 주파수 도메인에서 어떻게 표현되는지 엄밀하게 설명한다.

레이더 신호의 주파수 구성

기본적인 레이더 신호는 주로 다음과 같은 형태로 표현된다:

$s(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \phi)$

여기서: - $A$ 는 신호의 진폭, - $f_0$ 는 송신 주파수(또는 중심 주파수), - $\phi$ 는 초기 위상이다.

이 신호는 시간 도메인에서 사인파로 표현되며, 주파수 도메인에서는 중심 주파수 $f_0$ 를 기준으로 하는 단일 주파수 성분으로 나타난다. 주파수의 폭, 즉 대역폭은 레이더의 거리 해상도와 직접적으로 연관이 있으며, 넓은 대역폭은 더 높은 해상도를 제공한다.

변조 방식

레이다 신호의 변조 방식은 기본적인 사인파 신호에 정보를 추가하는 방식이다. 대표적인 변조 방식으로는 주파수 변조(Frequency Modulation, FM), 위상 변조(Phase Modulation, PM), 그리고 펄스 변조(Pulse Modulation)가 있다. 각 변조 방식의 구조와 특성을 살펴보자.

주파수 변조 (FM)

주파수 변조에서는 시간에 따라 주파수를 변화시켜 신호를 변조한다. 특히, 선형 주파수 변조(Linear Frequency Modulation, LFM)는 다음과 같은 수식으로 표현된다:

$s(t) = A \cos\left(2\pi \left(f_0 + \frac{k}{2}t\right)t + \phi\right)$

여기서 $k$ 는 주파수 변화율(Sweep rate)이다. LFM 신호는 거리 해상도 개선에 유리하며, 이 신호의 스펙트럼은 중심 주파수 $f_0$ 를 기준으로 선형적으로 변화하는 대역폭을 갖는다.

펄스 변조 (PM)

펄스 변조는 일정 시간 동안 신호를 송신한 후, 짧은 시간 동안 송신을 멈추는 방식이다. 펄스 신호는 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다:

$s(t) = \begin{cases} A \cos(2\pi f_0 t + \phi) & 0 \leq t \leq \tau \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 $\tau$ 는 펄스 지속 시간(Pulse duration)이다. 펄스의 지속 시간과 대역폭은 서로 반비례 관계에 있으며, 이를 통해 거리 해상도를 조절할 수 있다.

신호의 시간 및 주파수 도메인 표현

기본 레이더 신호는 시간 도메인뿐만 아니라 주파수 도메인에서도 분석할 수 있다. 시간 도메인 신호의 주파수 변환은 다음과 같은 푸리에 변환을 통해 주파수 도메인에서의 특성을 명확하게 확인할 수 있다:

$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j 2\pi ft} dt$

푸리에 변환을 통해 신호의 대역폭, 중심 주파수, 신호 대 잡음비(Signal-to-Noise Ratio, SNR) 등을 쉽게 분석할 수 있으며, 이는 레이더 시스템의 성능 분석에 중요한 역할을 한다.

시간-주파수 분석과 변조 신호의 특성

레이다 신호는 실시간으로 주파수를 분석하여 물체의 움직임이나 거리를 측정하는 데 사용된다. 이를 위해 시간-주파수 분석(Time-Frequency Analysis)이 필요하며, 이는 변조 신호의 특성을 더 잘 이해할 수 있게 한다. 시간-주파수 분석의 대표적인 도구로는 짧은 시간 푸리에 변환(Short-Time Fourier Transform, STFT)과 웨이블릿 변환(Wavelet Transform)이 있다.

짧은 시간 푸리에 변환 (STFT)

STFT는 신호를 짧은 시간 동안의 창(Window)을 통해 나누어 각 구간의 주파수 성분을 분석하는 방법이다. STFT는 다음과 같이 표현된다:

$S(t, f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) w(\tau - t) e^{-j 2\pi f \tau} d\tau$

여기서: - $w(\tau - t)$ 는 중심이 $t$ 인 창 함수(Window Function)이다. - $S(t, f)$ 는 시간 $t$ 에서의 주파수 $f$ 에 대한 주파수 성분을 나타낸다.

STFT를 사용하면 신호의 시간에 따른 주파수 변화, 즉 시간-주파수 도메인에서의 변조 특성을 확인할 수 있다. 이 방법은 주파수 변조가 심한 신호, 예를 들어, LFM 신호의 주파수 변화 패턴을 분석하는 데 유용하다.

웨이블릿 변환 (Wavelet Transform)

웨이블릿 변환은 STFT와 달리 다양한 주파수 대역에서 서로 다른 시간 해상도를 제공하는 변환 방법이다. 특히 레이다 신호에서 펄스의 위치와 대역폭을 분석하는 데 적합하다. 웨이블릿 변환은 다음과 같이 정의된다:

$W(a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \psi^*\left(\frac{t - b}{a}\right) dt$

여기서: - $a$ 는 스케일링 파라미터, - $b$ 는 시간 이동 파라미터, - $\psi$ 는 모 웨이블릿(Mother Wavelet) 함수이다.

웨이블릿 변환을 통해 펄스의 발생 시간과 주파수 특성을 동시에 분석할 수 있어, 거리 측정과 속도 분석을 보다 정확하게 수행할 수 있다.

레이더 신호의 에너지 및 대역폭

레이더 신호의 에너지와 대역폭은 성능 분석에서 매우 중요한 요소이다. 에너지가 높을수록 더 먼 거리에 있는 물체를 탐지할 수 있으며, 대역폭이 넓을수록 더 높은 거리 해상도를 제공한다.

에너지 신호 및 평균 전력

신호 $s(t)$ 의 에너지는 다음과 같이 정의된다:

$E = \int_{-\infty}^{\infty} |s(t)|^2 dt$

이는 신호의 전체 에너지를 의미하며, 평균 전력은 단위 시간당 에너지로 정의된다:

$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |s(t)|^2 dt$

레이더 시스템에서 높은 평균 전력은 더 강력한 신호 송신을 의미하며, 이는 탐지 거리 및 정확도 향상으로 이어진다.

대역폭과 거리 해상도

대역폭 $B$ 는 신호의 주파수 범위를 의미하며, 신호의 시간 폭 $\tau$ 와 역비례 관계를 가진다. 특히 LFM 신호의 경우, 대역폭은 다음과 같이 거리 해상도 $\Delta R$ 에 영향을 미친다:

$\Delta R = \frac{c}{2B}$

여기서 $c$ 는 빛의 속도이다. 넓은 대역폭을 갖는 신호는 더 작은 거리 해상도를 제공하며, 이는 근거리 물체의 정밀한 탐지에 매우 유리하다.

복잡한 변조 신호와 위상 코드 변조 (PCM)

레이더의 성능을 향상시키기 위해 더 복잡한 변조 신호를 사용하는 경우가 많다. 특히 위상 코드 변조(Phase Code Modulation, PCM)는 펄스 내에서 위상을 변화시켜 고유한 패턴을 생성하는 방법으로, 잡음 환경에서도 신호를 보다 쉽게 구별할 수 있게 해준다. PCM 신호는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} A_n \cos(2\pi f_0 t + \phi_n) \, \Pi\left(\frac{t - nT}{T}\right)$

여기서: - $A_n$ 은 각 펄스의 진폭, - $\phi_n$ 은 위상 코드, - $\Pi$ 는 펄스의 지속 시간을 나타내는 사각 펄스 함수이다.

PCM을 통해 펄스의 코드를 다양하게 설계함으로써 레이더 시스템의 분해능을 극대화할 수 있으며, 이와 함께 적응형 신호 처리를 통해 잡음 및 간섭에 강한 성능을 제공한다.

펄스 압축과 주파수 변조의 응용

펄스 압축(Pulse Compression)은 레이더 시스템에서 신호의 길이를 짧게 유지하면서도 높은 대역폭을 확보하기 위해 사용하는 기술이다. 펄스 압축을 통해 신호의 송신 시간 동안 에너지를 축적하여, 거리 해상도와 탐지 거리를 동시에 개선할 수 있다. 이 기술은 특히 선형 주파수 변조(LFM)와 밀접하게 관련되어 있다.

선형 주파수 변조(LFM) 기반 펄스 압축

LFM 기반의 펄스 압축은 펄스 신호가 송신되는 동안 주파수가 선형적으로 변화하는 방식으로 이루어진다. 이 경우 송신 신호는 다음과 같이 정의할 수 있다:

$s(t) = \begin{cases} A \cos\left(2\pi (f_0 + \frac{k}{2}t) t + \phi\right) & 0 \leq t \leq \tau \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서: - $k$ 는 주파수 변화율(Sweep rate), - $\tau$ 는 펄스의 지속 시간이다.

LFM 신호의 주파수 스펙트럼은 넓은 대역폭을 가지며, 이를 통해 신호가 반사되어 돌아온 이후 펄스 압축을 통해 시간 도메인에서 신호의 길이를 줄일 수 있다. 이는 높은 거리 해상도를 유지하면서도 장거리 탐지가 가능한 이점을 제공한다.

매칭 필터와 펄스 압축

펄스 압축을 구현하기 위해 수신 신호에 매칭 필터(Matched Filter)를 적용한다. 매칭 필터는 수신 신호와 송신 신호의 시간 반전(Time Reversal) 및 복소켤레를 곱함으로써 신호를 압축하고, 잡음을 줄이는 효과를 낸다. 매칭 필터의 수식은 다음과 같다:

$h(t) = s^*(-t)$

여기서 $s^*(-t)$ 는 시간 반전 및 복소켤레를 취한 신호이다. 수신된 신호 $r(t)$ 에 매칭 필터를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다:

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} r(\tau) h(t - \tau) d\tau$

이 연산은 $y(t)$ 에서 신호의 펄스를 압축하고, 이를 통해 거리 측정의 정밀도가 높아진다.

위상 간섭 및 신호 처리

레이더 신호는 물체의 속도를 측정하기 위해 도플러 효과(Doppler Effect)를 이용한다. 도플러 효과는 물체의 이동으로 인해 신호의 주파수가 변하는 현상으로, 이를 통해 물체의 속도를 계산할 수 있다.

도플러 주파수 이동

도플러 주파수 이동은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다:

$f_d = \frac{2v}{\lambda} \cos(\theta)$

여기서: - $f_d$ 는 도플러 주파수 이동, - $v$ 는 목표 물체의 속도, - $\lambda$ 는 레이더 신호의 파장, - $\theta$ 는 레이더와 목표 물체 간의 이동 각도이다.

도플러 이동은 수신된 신호에서 시간-주파수 분석을 통해 측정할 수 있으며, 이를 바탕으로 물체의 속도 성분을 분리하고 분석할 수 있다.

위상 간섭을 이용한 거리 및 속도 측정

위상 간섭(Phase Interference)은 동일한 주파수 성분을 가진 두 신호 간의 위상 차이를 측정하여 목표 물체의 거리와 속도를 계산하는 방법이다. 수신된 신호가 다음과 같이 주어진다고 하자:

$r(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \phi_r)$

여기서 $\phi_r$ 는 수신 신호의 위상이다. 송신 신호의 위상 $\phi_t$ 와 비교하여 두 신호 간의 위상 차이를 측정하면, 다음과 같이 거리 정보를 얻을 수 있다:

$\Delta \phi = \phi_r - \phi_t = \frac{4\pi R}{\lambda}$

여기서 $R$ 는 목표 물체까지의 거리이다.

위상 차이를 통해 매우 작은 거리 변화도 탐지할 수 있으며, 높은 정밀도로 거리 및 속도 분석이 가능하다. 이는 특히 위성 레이더나 거리 측정기(LIDAR)에서 중요한 역할을 한다.

다중 펄스 신호와 주파수 변조 방식의 응용

기본적인 단일 펄스 신호 외에도 다중 펄스(Multi-Pulse) 신호가 레이더 시스템에서 널리 사용된다. 다중 펄스 신호는 서로 다른 시간에 송신된 여러 개의 펄스로 구성되어 있으며, 각 펄스가 다양한 변조 방식을 통해 송신된다. 이를 통해 신호의 해상도를 높이고, 잡음 저항성을 개선할 수 있다.

다중 펄스 간섭 및 주파수 다이버시티

다중 펄스 레이더에서 각 펄스는 특정 주파수를 가지고 송신되며, 송신된 펄스가 서로 겹치지 않도록 시간 차이를 두거나 주파수를 변경하여 전송한다. 이를 통해 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다: - 다중 목표 탐지: 여러 목표 물체를 동시에 탐지할 수 있다. - 잡음 및 간섭 저항성: 주파수 다이버시티(Frequency Diversity)를 활용하여 특정 주파수 대역에서 발생하는 간섭을 피할 수 있다.

예를 들어, $N$ 개의 펄스를 서로 다른 주파수 $f_i$ ( $i = 1, 2, \ldots, N$ )로 전송하면 다음과 같은 신호를 구성할 수 있다:

$s(t) = \sum_{i=1}^{N} A_i \cos(2\pi f_i t + \phi_i) \, \Pi\left(\frac{t - iT}{T}\right)$

여기서 각 펄스의 주파수 $f_i$ 는 서로 간섭하지 않도록 설계된다.

펄스 도플러 레이더와 PRF

펄스 도플러 레이더는 특정 펄스 반복 주파수(Pulse Repetition Frequency, PRF)를 사용하여 연속적인 펄스를 송신하고, 이 신호를 통해 도플러 효과를 분석하는 방식이다. PRF는 펄스 사이의 시간 간격에 영향을 미치며, 탐지 거리와 속도 측정의 정확도에 중요한 역할을 한다. PRF는 다음과 같이 정의된다:

$\text{PRF} = \frac{1}{T_r}$

여기서 $T_r$ 은 펄스 사이의 반복 시간이다.

높은 PRF: 더 작은 거리에서 빠르게 움직이는 물체를 탐지하는 데 유리하다.
낮은 PRF: 더 긴 거리에서 느리게 움직이는 물체를 탐지하는 데 적합하다.

PRF 설정은 거리와 속도 분석의 정확도와 해상도에 직접적인 영향을 미치며, 다양한 레이더 시스템에서 최적의 성능을 내기 위해 조정된다.

클러터 제거와 MTI (Moving Target Indication)

레이더 시스템에서 목표 물체뿐만 아니라 주변의 고정된 물체(예: 지면, 건물 등)도 신호를 반사할 수 있다. 이러한 신호는 클러터(Clutter)라고 불리며, 이동하는 목표 물체를 탐지하기 위해 제거해야 한다. 클러터 제거 기술 중 하나로는 MTI (Moving Target Indication)가 있다.

MTI 필터링

MTI 필터는 수신 신호에서 고정된 목표의 주파수 성분을 제거하고, 이동하는 목표의 도플러 주파수 이동을 통해 이동 물체만을 추출하는 방식이다. MTI 필터의 기본 개념은 다음과 같이 표현된다:

$y(t) = r(t) - r(t - T_d)$

여기서: - $T_d$ 는 지연 시간(Delay Time)으로, 송신된 펄스의 반복 주기와 일치한다. - $r(t)$ 는 수신 신호이다.

이 필터링을 통해 클러터 신호는 상쇄되고, 이동하는 목표의 신호만 남게 된다. 이는 이동 목표 탐지와 추적의 정확도를 높이는 데 매우 효과적이다.

펄스 압축 신호의 오토코렐레이션

펄스 압축의 효과를 분석하기 위해 오토코렐레이션(Autocorrelation)을 사용한다. 오토코렐레이션은 신호의 자기 유사성을 나타내며, 특정 지점에서 신호의 에너지가 집중되는지를 파악할 수 있다. 레이더 신호에서 오토코렐레이션은 다음과 같은 수식으로 정의된다:

$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s^*(t - \tau) dt$

여기서: - $R(\tau)$ 는 시간 지연 $\tau$ 에서의 오토코렐레이션 함수이다. - $s^*(t)$ 는 신호의 복소켤레이다.

오토코렐레이션 함수의 피크는 신호가 압축되어 목표 물체의 위치와 거리를 정확하게 측정할 수 있는 지점을 나타낸다. 넓은 대역폭의 신호는 좁은 펄스 폭의 오토코렐레이션 피크를 가지며, 이를 통해 높은 해상도를 얻을 수 있다.

주파수 변조 및 코드 변조의 응용

레이더 신호의 성능을 극대화하기 위해 주파수 변조와 코드 변조를 조합하여 사용하는 경우도 많다. 이러한 신호 설계 방식은 다양한 환경에서 신호의 신뢰성과 분해능을 높이는 데 중요한 역할을 한다.

주파수-코드 변조 신호

주파수 변조와 코드 변조를 동시에 사용하는 신호는 일반적으로 서로 간섭이 적고, 간섭 방해(Interference)로부터 안전하며, 다중 목표 탐지와 같은 상황에서 유리하다. 이러한 신호는 주파수 도약(Frequency Hopping)과 위상 변조가 결합된 형태로 사용되며, 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다:

$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} A \cos\left(2\pi f_n t + \phi_n\right) \, \Pi\left(\frac{t - nT}{T}\right)$

여기서: - $f_n$ 은 주파수 도약을 통해 선택된 주파수, - $\phi_n$ 은 각 펄스의 위상 코드 값이다.

주파수 도약(Frequency Hopping)은 각 펄스 사이에서 주파수를 빠르게 변화시켜, 간섭 방해가 일어나는 특정 주파수 대역을 피할 수 있도록 설계된다. 이러한 방식은 특히 군사용 레이더에서 중요하게 사용되며, 간섭 방지 및 보안 측면에서 유리하다.

주파수 대역폭과 신호 처리 이득

신호 처리 이득은 레이더 시스템에서 수신된 신호를 처리하여 유용한 정보로 변환하는 과정에서 얻는 이득을 의미한다. 신호 처리 이득은 대역폭, 신호 길이, 그리고 신호 변조 방식에 따라 크게 달라진다.

신호 처리 이득의 정의

신호 처리 이득(Processing Gain, PG)은 다음과 같이 정의된다:

$\text{PG} = \frac{\text{신호의 대역폭}}{\text{펄스의 대역폭}}$

여기서: - 신호의 대역폭: 송신된 신호가 차지하는 주파수 범위, - 펄스의 대역폭: 각각의 펄스가 차지하는 주파수 범위이다.

신호 처리 이득이 클수록 수신된 신호에서 잡음 성분을 더 잘 제거할 수 있으며, 이는 목표 물체의 탐지 정확도와 감지 거리를 증가시킨다.

주파수 도약 레이더와 스펙트럼 확산

스펙트럼 확산(Spread Spectrum)은 신호의 주파수를 넓게 확산시켜, 특정 대역에서 간섭을 피할 수 있도록 설계된 방식이다. 스펙트럼 확산 방식은 신호를 더 넓은 대역폭으로 확산시키는 반면, 개별 주파수 성분의 에너지는 상대적으로 낮아져서 감지하기 어렵게 만든다. 다음과 같은 수식으로 표현된다:

$s(t) = A \cos\left(2\pi (f_0 + k(t)) t + \phi\right)$

여기서 $k(t)$ 는 시간에 따른 주파수 변화 함수이다. 주파수 도약은 이러한 스펙트럼 확산의 한 예로, 각 시간 구간마다 서로 다른 주파수를 사용함으로써 간섭에 대한 저항성을 강화할 수 있다.

위상 코드 변조와 상관 처리

위상 코드 변조(Phase Code Modulation)는 송신된 펄스의 위상을 고유한 코드로 변조하여 송신하는 방식이다. 이러한 방식은 각 펄스의 위상을 다르게 설정하여, 수신 신호를 상관 처리(Correlation Processing)하는 과정에서 특정 신호 패턴을 인식할 수 있도록 한다.

상관 처리와 신호 검출

상관 처리는 수신된 신호와 미리 알고 있는 기준 신호(Reference Signal) 간의 상관도를 계산하여, 특정 신호가 수신되었는지를 판단하는 과정이다. 상관 처리는 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다:

$C(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} r(t) s^*(t - \tau) dt$

여기서: - $C(\tau)$ 는 상관 함수, - $r(t)$ 는 수신된 신호, - $s^*(t)$ 는 기준 신호의 복소켤레이다.

위상 코드 변조와 상관 처리를 결합하면, 신호가 클러터와 잡음에 섞여 있을 때도 특정 신호를 효과적으로 분리하고 검출할 수 있다. 특히 여러 개의 위상 코드 신호가 동시에 수신될 때, 각각의 신호를 독립적으로 추출하는 데 유리하다.

위상 간섭 제거와 자기 상관 특성

레이더 신호에서 위상 간섭을 제거하는 방법은 레이더 신호의 자기 상관 특성을 이용하여 수행된다. 자기 상관(Autocorrelation)은 신호의 일정한 패턴을 식별할 수 있도록 도와주며, 이는 목표 물체의 속도나 움직임을 분석하는 데 유용하다.

자기 상관 함수와 위상 간섭 제거

자기 상관 함수는 다음과 같이 정의된다:

$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s^*(t - \tau) dt$

이 함수는 $\tau = 0$ 에서 최대값을 가지며, 신호의 자기 유사성을 평가하는 데 사용된다. 자기 상관을 통해 원하지 않는 위상 간섭이나 주파수 성분을 필터링함으로써, 목표 물체의 신호만을 추출할 수 있다.

이를 통해 레이더 시스템은 주변 환경의 간섭을 줄이고, 목표 물체의 신호를 보다 정확하게 포착할 수 있으며, 이는 거리, 속도, 방향 분석의 정밀도를 높이는 데 기여한다.