사영 기하학의 개념 - 실험 도서관

사영 기하학(射影幾何學, Projective Geometry)은 기하학의 한 분야로, 투영(사영) 관계를 이용하여 기하학적 구조를 설명하는 이론이다. 에피폴라 기하학에서 사영 기하학은 매우 중요한 역할을 하며, 여러 시점에서 본 3차원 객체를 2차원 이미지 평면으로 변환하는 과정을 다룬다. 사영 기하학의 기본 개념은 원근 투영(perspective projection)을 포함하며, 이를 통해 실제 세계의 3차원 객체가 이미지 평면에서 어떻게 표현되는지 설명할 수 있다.

1. 사영 기하학의 기본 개념

사영 기하학에서는 평행선이 무한에서 교차하는 것으로 간주되며, 일반적인 유클리드 기하학과는 달리 무한점(infinite point)을 고려한다. 이로 인해 사영 기하학은 보다 일반적인 기하학적 공간을 제공하며, 특히 카메라 모델링과 다중 뷰 기하학에서 자주 사용된다.

1.1 사영 공간의 정의

사영 기하학에서 가장 기본적인 개념은 사영 공간(Projective space)이다. 사영 공간은 차원이 한 개 더 높은 공간에서 직선을 이용하여 정의된다. 예를 들어, 3차원 사영 공간은 4차원 공간에서 정의되는 직선들의 집합으로 볼 수 있다. 이를 수식으로 나타내면, 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbb{P}^n = \left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{\mathbf{0}\} \right) / \sim$

여기서, $\sim$ 은 스칼라 배(scale factor)에 대한 동치 관계를 의미한다. 즉, $\mathbf{x} \sim \lambda \mathbf{x}$ ( $\lambda \neq 0$ )인 벡터 $\mathbf{x}$ 들은 같은 사영 점으로 간주된다.

1.2 동차 좌표계

사영 공간에서 점을 표현하기 위해 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용한다. 동차 좌표는 원래의 유클리드 공간에서 한 차원이 더 높은 공간의 좌표로 표현되며, 이를 통해 무한대에 있는 점들도 표현할 수 있다.

예를 들어, 2차원 유클리드 공간의 점 $\mathbf{x} = (x, y)$ 는 동차 좌표 $\mathbf{X} = (x, y, 1)$ 로 표현된다. 일반적으로 $n$ -차원 공간에서의 점 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 은 동차 좌표 $\mathbf{X} = (x_1, x_2, \dots, x_n, 1)$ 로 표현되며, 이는 다음과 같다.

$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ 1 \end{pmatrix}$

이때, 동차 좌표 $\mathbf{X} = (x_1, x_2, \dots, x_n, w)$ 에서 $w = 0$ 인 경우는 무한대에 있는 점을 나타낸다.

1.3 사영 변환

사영 기하학에서 중요한 개념 중 하나는 사영 변환(projective transformation)이다. 이는 사영 공간에서의 점들을 변환하는 방식으로, 유클리드 기하학의 아핀 변환(affine transformation)을 포함하는 보다 일반적인 변환이다. 사영 변환은 행렬 $\mathbf{H}$ 에 의해 표현되며, 다음과 같은 형태를 가진다.

$\mathbf{X}' = \mathbf{H} \mathbf{X}$

여기서, $\mathbf{X}$ 는 동차 좌표로 표현된 점이고, $\mathbf{H}$ 는 $3 \times 3$ 혹은 $4 \times 4$ 행렬로, 변환 행렬이다. 사영 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.

직선을 직선으로 변환한다.
사영 공간에서의 점과 무한점의 관계를 보존한다.

사영 변환은 이미지 처리 및 컴퓨터 비전에서 매우 유용하며, 특히 다중 뷰 기하학에서 카메라 간의 대응 관계를 설명할 때 사용된다.

1.4 사영 기하학과 카메라 모델

사영 기하학은 카메라 모델링에서 핵심적인 역할을 한다. 실제 3차원 세계의 점은 카메라를 통해 2차원 이미지 평면에 사영된다. 카메라 모델은 이 변환을 설명하기 위해 사용되며, 일반적으로 핀홀 카메라 모델(pinhole camera model)이 적용된다.

핀홀 카메라 모델에서는 3차원 공간의 점 $\mathbf{X} = (X, Y, Z)$ 가 카메라의 중심을 기준으로 한 이미지 평면에 사영되어 2차원 이미지 좌표 $\mathbf{x} = (x, y)$ 로 변환된다. 이 변환은 동차 좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{X}$

여기서, $\mathbf{P}$ 는 $3 \times 4$ 카메라 행렬(camera matrix)이며, 이를 통해 3차원 점이 2차원 이미지 평면으로 사영된다. 카메라 행렬 $\mathbf{P}$ 는 내부 파라미터(intrinsic parameters)와 외부 파라미터(extrinsic parameters)를 모두 포함하며, 이를 통해 카메라의 위치, 방향 및 초점 거리 등을 반영한다.

1.5 무한점과 무한선

사영 기하학에서는 무한점(infinity point)과 무한선(line at infinity) 개념이 매우 중요하다. 유클리드 기하학에서 평행한 두 직선은 서로 만나지 않지만, 사영 기하학에서는 이러한 평행한 직선들이 무한대에서 교차하는 것으로 간주된다. 이는 사영 기하학의 중요한 특징 중 하나로, 모든 직선은 서로 교차한다는 성질을 지닌다.

무한선은 사영 공간에서 평행한 직선들이 만나는 장소를 나타내며, 이미지 평면에서는 종종 사라진 지평선(vanishing line)으로 불린다. 무한선은 동차 좌표계에서 $w = 0$ 인 점들로 표현된다.

1.6 사영 평면에서의 직선 방정식

사영 기하학에서는 점 뿐만 아니라 직선도 동차 좌표계에서 표현할 수 있다. 예를 들어, 2차원 사영 평면에서의 직선 방정식은 동차 좌표로 다음과 같이 표현된다.

$l_1 x_1 + l_2 x_2 + l_3 = 0$

여기서, $(x_1, x_2, 1)$ 는 동차 좌표로 표현된 점이고, $(l_1, l_2, l_3)$ 는 직선의 방정식을 정의하는 계수들이다. 동차 좌표계에서 직선 방정식은 2차원 평면뿐만 아니라 무한대에서도 정의되며, 이는 사영 기하학의 특징을 잘 나타낸다.

1.7 사영 평면에서의 교차점

사영 기하학에서는 두 직선이 항상 교차하는데, 그 교차점은 동차 좌표계에서 간단히 구할 수 있다. 두 직선 $\mathbf{l}_1 = (l_{11}, l_{12}, l_{13})$ 와 $\mathbf{l}_2 = (l_{21}, l_{22}, l_{23})$ 의 교차점 $\mathbf{X} = (x_1, x_2, x_3)$ 는 두 직선의 외적(cross product)으로 계산된다.

$\mathbf{X} = \mathbf{l}_1 \times \mathbf{l}_2$

이 수식은 두 직선의 동차 좌표로 표현된 교차점을 구하는 방법을 제공하며, 사영 기하학의 중요한 도구 중 하나이다. 예를 들어, 만약 두 직선이 평행하다면, 그 교차점은 무한대에 위치하게 되며, 이는 무한점으로 표현된다.

1.8 사영 변환의 성질

사영 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.

직선 불변성: 사영 변환은 직선을 다른 직선으로 변환한다. 이는 사영 기하학에서 직선의 성질이 변환 후에도 유지된다는 것을 의미한다.
교차점 불변성: 두 직선이 사영 변환을 통해 변환되더라도, 그 교차점은 여전히 변환 후의 두 직선이 만나는 곳으로 유지된다.
무한점의 변환: 무한점도 사영 변환을 통해 유한한 점으로 변환될 수 있으며, 반대로 유한한 점도 무한점으로 변환될 수 있다. 이러한 성질은 카메라의 투영 변환에서 중요한 역할을 한다.

1.9 사영 기하학의 응용

사영 기하학은 컴퓨터 비전과 그래픽스 분야에서 널리 사용되며, 특히 카메라 모델링, 이미지 변환, 3D 재구성 등에 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 스테레오 비전 시스템에서 두 카메라 간의 대응 관계를 설명하는 데 사영 기하학이 사용된다. 또한, 이미지 좌표계에서의 직선 및 평면 변환을 다룰 때도 사영 기하학이 적용된다.

동차 좌표를 통해 카메라와 월드 좌표계 간의 변환을 쉽게 표현할 수 있으며, 이를 이용해 다양한 기하학적 연산을 수행할 수 있다. 이러한 성질 덕분에 사영 기하학은 에피폴라 기하학와 같은 다중 뷰 기하학의 기초가 된다.