동차 좌표계에서의 에피폴라 제약 표현

동차 좌표계의 정의

동차 좌표계는 2차원 또는 3차원 좌표계에서의 점을 고차원 공간으로 확장하여 표현하는 방법이다. 주어진 2차원 좌표 $(x, y)$ 는 동차 좌표계에서 $(x, y, 1)$ 로 표현된다. 이는 선형 변환이나 사영 변환을 더 쉽게 다룰 수 있도록 하며, 에피폴라 기하학에서 카메라의 투영 변환을 표현하는 데 유용하다.

3차원 좌표 $(X, Y, Z)$ 역시 동차 좌표계로 확장되며, $(X, Y, Z, 1)$ 로 나타낼 수 있다.

동차 좌표계에서의 투영 행렬

카메라 모델에서, 3차원 월드 좌표계의 한 점 $\mathbf{X} = [X, Y, Z, 1]^T$ 가 카메라 좌표계로 투영될 때, 이 점은 2차원 이미지 평면의 동차 좌표 $\mathbf{x} = [x, y, 1]^T$ 로 변환된다. 이 변환은 투영 행렬 $\mathbf{P}$ 를 통해 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{X}$

여기서 $\mathbf{P}$ 는 $3 \times 4$ 크기의 투영 행렬로, 카메라의 내외부 파라미터들을 포함하고 있다. 이 투영 변환은 에피폴라 기하학에서 중요한 역할을 한다.

에피폴라 제약식

두 카메라로부터 얻은 이미지 쌍에서, 하나의 카메라에서의 점 $\mathbf{x}_1$ 와 다른 카메라에서의 점 $\mathbf{x}_2$ 는 특정한 기하학적 관계를 따른다. 이 관계는 본질 행렬 $\mathbf{E}$ 또는 기본 행렬 $\mathbf{F}$ 에 의해 설명되며, 다음과 같은 에피폴라 제약식을 만족한다:

$\mathbf{x}_2^T \mathbf{F} \mathbf{x}_1 = 0$

이 식은 한 카메라의 한 점이 다른 카메라의 대응하는 에피폴라 라인 위에 반드시 존재해야 함을 의미한다. 동차 좌표계에서는 $\mathbf{x}_1$ 과 $\mathbf{x}_2$ 가 동차 좌표로 표현되며, 위의 에피폴라 제약은 이러한 동차 좌표를 기반으로 적용된다.

에피폴라 제약의 기하학적 의미

이 제약은 두 카메라의 시점에서 대응하는 두 점이 동일한 3차원 점으로부터 투영되었다는 사실을 반영한다. 동차 좌표계에서 에피폴라 제약을 표현하면, 카메라가 잡는 이미지에서 두 점의 대응 관계가 직선 위에 놓이게 된다. 이 직선이 바로 "에피폴라인"이며, 에피폴라 제약식에 의해 정의된다.

에피폴라 제약에서의 사영 변환

사영 변환은 동차 좌표계를 사용하여 카메라 좌표계를 이미지 좌표계로 변환하는 방식으로 적용된다. 이 때, 투영된 좌표들이 에피폴라 기하학적 제약을 만족해야 하며, 이는 본질 행렬 또는 기본 행렬에 의해 강제된다.

기본 행렬과 본질 행렬

에피폴라 제약식에서 등장하는 $\mathbf{F}$ 와 $\mathbf{E}$ 는 각각 기본 행렬(Fundamental Matrix)과 본질 행렬(Essential Matrix)을 나타낸다. 이 두 행렬은 두 카메라 간의 상대적인 위치와 방향을 설명하는 중요한 매개변수이다.

기본 행렬 $\mathbf{F}$ 는 두 이미지 좌표계를 연결하는 행렬로, 두 카메라의 내적 파라미터를 포함한다.
본질 행렬 $\mathbf{E}$ 는 두 카메라의 외적 파라미터로 정의되며, 카메라의 내적 파라미터를 모르는 경우에도 사용할 수 있다.

두 행렬 간의 관계는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{F} = \mathbf{K}_2^{-T} \mathbf{E} \mathbf{K}_1^{-1}$

여기서 $\mathbf{K}_1$ 과 $\mathbf{K}_2$ 는 각각 첫 번째와 두 번째 카메라의 내적 파라미터 행렬이다. 동차 좌표계를 사용한 에피폴라 제약에서 이 행렬들은 이미지 좌표계와 월드 좌표계를 연결하는 중요한 요소이다.

에피폴라 제약식의 실제적 적용

실제적으로 에피폴라 제약식을 적용할 때, 이미지 좌표계에서 두 카메라의 대응점을 찾는 과정은 스테레오 매칭(stereo matching)과 삼각 측량(triangulation) 기법을 사용하여 수행된다. 동차 좌표계에서, 각 점은 선형 변환을 통해 변환되며, 두 점 사이의 대응 관계는 에피폴라 라인으로 나타난다.

따라서, 대응하는 두 점 $\mathbf{x}_1$ 과 $\mathbf{x}_2$ 는 기본 행렬 또는 본질 행렬에 의해 에피폴라 제약식을 만족하게 되고, 이로 인해 스테레오 비전 시스템에서 중요한 매칭 정보로 활용된다.

에피폴라 기하학에서의 동차 좌표계 변환

에피폴라 기하학에서는, 한 카메라에서 포착된 한 점이 다른 카메라에서의 에피폴라 라인 상에 위치하게 된다. 이 점과 에피폴라 라인의 관계를 동차 좌표계에서 설명할 때, 좌표 변환을 사용하는 것이 핵심이다. 이를 통해 기하학적 문제를 선형적으로 다룰 수 있다.

동차 좌표계를 활용하면, 3차원 공간에 있는 한 점을 두 카메라에서 다른 위치로 투영할 때, 이를 간단한 행렬 연산으로 처리할 수 있다. 이때 기본 행렬 $\mathbf{F}$ 와 본질 행렬 $\mathbf{E}$ 는 두 이미지 평면에서 대응하는 점들이 동일한 에피폴라 제약을 만족하게 해준다.

에피폴라 제약의 선형성

동차 좌표계를 사용하면 에피폴라 제약은 선형 시스템으로 변환된다. 일반적인 좌표계에서는 비선형 변환이 발생할 수 있지만, 동차 좌표계에서는 이를 선형 방정식으로 바꿀 수 있어 계산이 훨씬 용이해진다. 이는 특히 카메라 보정(calibration) 및 스테레오 비전 시스템을 설계할 때 매우 중요한 부분이다.

동차 좌표계에서 $\mathbf{X}$ 는 일반적으로 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{bmatrix}$

이 벡터는 $3D$ 공간의 좌표를 나타내며, 이를 카메라의 투영 행렬 $\mathbf{P}$ 로 변환하여 이미지 평면의 점으로 투영할 수 있다. 이 과정에서 에피폴라 제약을 만족하게 되는 것이 에피폴라 기하학에서의 중요한 원리이다.

동차 좌표계와 카메라의 투영 변환

카메라의 투영 변환에서 동차 좌표계는 매우 중요한 역할을 한다. 3차원 공간의 한 점이 카메라에 의해 2차원 이미지 평면으로 투영될 때, 이 변환은 동차 좌표계를 사용하여 다음과 같은 방식으로 표현된다:

$\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{X}$

여기서 $\mathbf{P}$ 는 $3 \times 4$ 투영 행렬이고, $\mathbf{X}$ 는 3차원 동차 좌표이다. 이 변환은 선형적이며, 카메라의 내외부 파라미터에 따라 달라진다. 따라서, 에피폴라 기하학에서는 이러한 동차 좌표 변환을 통해 대응점 간의 관계를 정의하고, 에피폴라 제약을 선형 방정식으로 다루게 된다.