에피폴라인의 정의

에피폴라인(epipolar line)은 에피폴라 기하학에서 중요한 개념 중 하나로, 두 대의 카메라에서 같은 물체를 바라볼 때 발생하는 직선이다. 이 직선은 한 카메라에서 관측된 3D 점이 다른 카메라에서 어디에 있을지를 나타내는 직선으로 정의된다.

수학적으로, 3차원 공간의 한 점 $\mathbf{P}$가 두 개의 카메라 $C_1$과 $C_2$로부터 관측된다고 가정하자. $\mathbf{P}$는 각각의 카메라에서 이미지 평면상의 점 $\mathbf{p}_1$과 $\mathbf{p}_2$로 투영된다. 이때, 첫 번째 카메라의 한 이미지 점 $\mathbf{p}_1$에 대응하는 두 번째 카메라의 이미지 평면 상의 직선이 에피폴라인이다.

이 직선은 두 번째 카메라에서 해당 3D 점 $\mathbf{P}$가 어디에 투영될 수 있는지를 나타내며, 이를 표현하는 방정식은 기본 행렬 $\mathbf{F}$로 계산된다.

여기서: - $\mathbf{l}_2$는 두 번째 이미지 평면 상의 에피폴라인을 나타내는 벡터이다. - $\mathbf{F}$는 기본 행렬(Fundamental Matrix)로, 두 카메라 간의 기하학적 관계를 표현한다. - $\mathbf{p}_1$은 첫 번째 이미지 평면 상의 점의 좌표이다.

즉, 에피폴라인은 첫 번째 이미지 점 $\mathbf{p}_1$에 대응하는 두 번째 이미지 평면 상의 직선이다. 이때, 에피폴라인의 모든 점은 3D 공간에서 동일한 선을 따라 위치하게 된다.

에피폴라인의 성질

에피폴라인의 성질은 에피폴라 기하학에서 중요한 몇 가지 특성을 포함한다:

1. 카메라 중심과 일치하는 특성
   두 이미지 평면의 에피폴라인은 각각의 카메라 중심을 지나가는 선이다. 즉, 에피폴라인은 항상 한 카메라의 중심에서 출발하여 다른 카메라의 중심을 가리킨다.

2. 기본 행렬과의 관계
   두 카메라 사이의 기하학적 관계를 나타내는 기본 행렬 $\mathbf{F}$는 한 카메라에서의 이미지 점 $\mathbf{p}_1$을 다른 카메라의 이미지 평면 상의 에피폴라인으로 변환하는 데 사용된다. 이를 통해, 하나의 카메라에서 특정 점을 관찰하면, 다른 카메라에서 그 점이 위치할 수 있는 직선을 쉽게 계산할 수 있다.

위 수식에서 $\mathbf{p}_2$는 두 번째 이미지 평면 상의 점을 나타내며, 이는 에피폴라인 위에 존재해야 한다.

1. 에피폴(epipole)과의 관계
   에피폴라인은 에피폴과 깊은 관계가 있다. 에피폴(epipole)은 두 카메라 간의 기하학적 관계에서 각 카메라의 중심이 다른 카메라의 이미지 평면에 투영된 점을 의미한다. 에피폴라인은 항상 해당 이미지 평면상의 에피폴을 통과하는데, 이는 모든 에피폴라인이 동일한 3D 점을 관측하기 때문이다.

2. 에피폴라인의 기하학적 성질
   에피폴라인은 이미지 평면 상에서 직선으로 나타나며, 3D 공간에서 동일한 선을 따르는 여러 점들의 투영이다. 특히, 첫 번째 카메라에서 관측된 점이 고정되면, 두 번째 카메라에서 해당 점이 투영될 수 있는 모든 위치는 이 에피폴라인 상에 위치하게 된다.

3. 에피폴라인의 방향성
   에피폴라인의 방향은 기본 행렬 $\mathbf{F}$의 행렬 연산에 의해 결정된다. 기본 행렬은 두 카메라의 상대적인 위치와 방향을 반영하며, 에피폴라인의 방향 또한 이에 따라 결정된다. 이는 스테레오 비전 시스템에서 매우 중요한 요소로 작용한다. 에피폴라인의 방향을 알면 두 번째 카메라에서 해당 3D 점의 위치를 보다 정확하게 예측할 수 있다.

4. 삼차원 점의 유일한 투영
   주어진 이미지 평면 상의 점 $\mathbf{p}_1$에 대응하는 에피폴라인은, 해당 3D 점이 두 번째 카메라에서 어디에 투영될 수 있는지에 대한 유일한 직선을 제공한다. 이는 삼각 측량(triangulation)에서 중요한 역할을 하며, 3D 구조를 복원할 때 필수적으로 사용된다.

에피폴라인의 이러한 성질들은 에피폴라 기하학에서 카메라 간의 상호 작용을 설명하고, 스테레오 비전 및 3D 복원에 핵심적인 역할을 한다.