기본 개념

에피폴(epipole)은 두 대의 카메라로 촬영한 이미지 간의 기하학적 관계에서 중요한 요소이다. 에피폴라 기하학에서 카메라는 일반적으로 서로 다른 시점에서 동일한 장면을 촬영하며, 이러한 다중 시점에서의 상호 관계를 분석하기 위해 다양한 개념이 도입된다.

에피폴은 두 카메라의 광학 중심(optical center)을 연결하는 직선이 이미지 평면과 만나는 지점이다. 쉽게 말해, 한 카메라의 광학 중심이 다른 카메라의 이미지 평면에 투영된 점을 에피폴이라고 부른다.

수학적 정의

두 대의 카메라 $\mathbf{C_1}$과 $\mathbf{C_2}$가 있을 때, $\mathbf{C_1}$의 광학 중심을 $\mathbf{O_1}$, $\mathbf{C_2}$의 광학 중심을 $\mathbf{O_2}$라고 하자. 이 때, $\mathbf{C_1}$에서 바라본 $\mathbf{O_2}$의 투영점이 $\mathbf{C_1}$의 이미지 평면 상의 에피폴이다.

에피폴 $\mathbf{e_1}$는 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 $\mathbf{P_1}$는 카메라 $\mathbf{C_1}$의 투영 행렬이고, $\mathbf{O_2}$는 카메라 $\mathbf{C_2}$의 광학 중심이다. 반대로, $\mathbf{C_2}$의 이미지 평면에서 $\mathbf{C_1}$의 광학 중심에 해당하는 에피폴 $\mathbf{e_2}$는 다음과 같이 정의된다:

에피폴의 성질

에피폴의 중요한 성질 중 하나는 기하학적 제약을 제공한다는 점이다. 에피폴라 기하학에서는 한 이미지에서의 한 점과 그에 대응하는 다른 이미지 상의 점이 에피폴라인(epipolar line)을 따라 위치하게 된다. 에피폴 자체는 이 에피폴라인들의 교차점으로, 한 카메라 이미지에서 다른 카메라의 광학 중심을 가리킨다.

에피폴의 기하학적 위치

에피폴은 이미지 평면 상에서 특수한 역할을 하며, 카메라의 배치와 관련하여 그 위치가 결정된다. 에피폴의 위치는 카메라가 서로 평행한지, 또는 특정 각도를 이루는지에 따라 달라진다. 예를 들어, 만약 두 카메라가 동일한 방향을 바라보고 있고 평행하게 배치되어 있다면, 에피폴은 이미지 평면의 경계에 위치하게 된다.

반면, 두 카메라가 서로 다른 방향을 바라보거나 회전된 경우, 에피폴은 이미지 평면의 내부나 외부에 위치할 수 있다. 에피폴이 이미지 평면 외부에 있을 경우, 해당 이미지에서는 에피폴라인들이 평행하게 보일 수 있다.

에피폴과 카메라의 상대적 위치

에피폴의 위치는 두 카메라 간의 상대적 위치와 회전에도 의존한다. 두 카메라 사이의 상대적 위치 변화는 에피폴의 위치를 변경시킬 수 있으며, 특히 카메라들이 회전할 때 에피폴의 위치가 크게 변할 수 있다.

예를 들어, 두 카메라가 서로 매우 가까운 거리에 있거나 동일한 축을 기준으로 회전할 경우, 에피폴은 이미지 평면 상에서 극단적인 위치를 차지할 수 있다. 카메라의 회전이 클수록 에피폴의 위치는 이미지 평면의 경계에서 멀어질 수 있다.

에피폴과 에피폴라인의 관계

에피폴은 에피폴라인(epipolar line)의 생성에 핵심적인 역할을 한다. 에피폴라인은 하나의 이미지에서 대응하는 점들이 다른 이미지에서 위치할 수 있는 직선 경로를 나타낸다. 에피폴 자체는 이러한 에피폴라인들의 집합의 교차점으로 볼 수 있다.

한 이미지의 에피폴에서 시작되는 모든 에피폴라인은 대응하는 이미지 상의 특정 점들과 연결되어 있으며, 이로 인해 에피폴라인들이 모두 한 점에서 교차하게 된다. 이 점이 바로 에피폴이며, 두 카메라 간의 기하학적 관계를 나타내는 중요한 정보가 된다.