본질 행렬의 정의

본질 행렬(Essential Matrix)은 두 카메라 간의 상대적인 기하학적 관계를 표현하는 3x3 행렬이다. 이 행렬은 두 이미지 평면 간의 대응점을 삼각측량하기 위한 정보로 사용되며, 카메라의 내부 파라미터가 주어진 상태에서 주로 다룬다.

카메라 좌표계에서 한 카메라의 좌표 $\mathbf{X_1}$와 다른 카메라의 좌표 $\mathbf{X_2}$는 다음과 같은 관계를 가진다:

여기서 $\mathbf{R}$은 회전 행렬이고, $\mathbf{t}$는 변환 벡터이다. 본질 행렬은 이 회전과 변환을 종합하여 두 카메라 사이의 기하학적 관계를 묘사하는 중요한 역할을 한다.

본질 행렬 $\mathbf{E}$는 다음과 같이 정의된다:

여기서 $[\mathbf{t}]_\times$는 변환 벡터 $\mathbf{t}$를 반대칭 행렬로 변환한 것이다. 이 반대칭 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다:

이 행렬은 두 카메라 좌표계에서 대응하는 점이 에피폴라 제약을 따르게 하며, 이를 통해 삼각 측량이 가능하다.

본질 행렬의 특성

본질 행렬은 몇 가지 중요한 특성을 가지고 있다. 첫 번째로, 본질 행렬은 2개의 고유값이 같은 값을 가지며, 나머지 하나의 고유값은 0이 된다. 이러한 특성은 본질 행렬이 에피폴라 기하학을 잘 설명할 수 있도록 만들어준다.

본질 행렬은 순수하게 회전과 변환 정보로 구성되기 때문에, 주어진 대응점을 통해 두 카메라 사이의 상대적인 위치와 방향을 계산할 수 있다.

본질 행렬의 기하학적 의미

본질 행렬은 두 카메라 간의 기하학적 관계를 표현하는데 중요한 역할을 한다. 주어진 대응점들에 대해, 본질 행렬은 에피폴라 제약을 만족시키는 방식으로 두 이미지 평면에서의 대응점을 연결한다. 즉, 두 이미지 평면에서 대응하는 점들이 본질 행렬을 통해 다음과 같은 에피폴라 제약을 만족하게 된다:

여기서 $\mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}$는 각각 첫 번째 카메라와 두 번째 카메라에서의 대응점의 좌표이다. 이 제약 조건은 대응점들이 에피폴라인 상에 놓이게 하는 중요한 조건으로 작용하며, 이를 통해 카메라 사이의 삼각측량이 가능해진다.

본질 행렬의 성질

1. 고유값: 본질 행렬의 고유값은 $[1, 1, 0]$의 형태를 갖는다. 이 성질은 본질 행렬이 두 카메라 사이의 회전과 변환을 표현하는 데 필수적인 구조적 특성이다.

2. 에피폴라 제약: 본질 행렬의 중요한 역할 중 하나는 에피폴라 제약을 만족시키는 것이다. 두 카메라 이미지 평면에서의 대응점이 에피폴라인에 놓여 있어야 하며, 본질 행렬은 이를 수학적으로 표현한다.

3. 반대칭 행렬: 본질 행렬은 변환 벡터 $\mathbf{t}$를 반대칭 행렬로 표현한 $[\mathbf{t}]_\times$와 회전 행렬 $\mathbf{R}$의 곱으로 구성되며, 이는 두 이미지 간의 에피폴라 기하학을 간단하게 표현할 수 있는 수단을 제공한다.

본질 행렬의 계산

본질 행렬을 계산하는 과정에서는 두 카메라의 내부 파라미터와 상대적인 회전 및 변환 정보를 바탕으로 한다. 이를 통해 삼차원 공간에서의 점을 복원하고, 두 카메라 간의 상대적 위치를 결정할 수 있다.