왜곡의 개념 (Radial, Tangential 왜곡)

카메라 보정에서 왜곡은 카메라 렌즈의 비선형적 특성으로 인해 발생하는 현상이다. 왜곡은 촬영된 이미지에서 직선이 휘어지거나 형태가 변형되는 것처럼 보이게 만든다. 카메라 캘리브레이션 과정에서 이러한 왜곡을 보정하는 것이 필수적이다. 왜곡은 크게 두 가지로 구분할 수 있는데, Radial 왜곡과 Tangential 왜곡이다. 이 두 가지 왜곡의 원리와 수학적 표현을 살펴보자.

Radial 왜곡

Radial 왜곡은 렌즈의 중심에서 멀어질수록 픽셀이 점점 더 많이 왜곡되는 현상을 말한다. 주로 광각 렌즈에서 많이 나타나며, 직선이 둥글게 휘어지는 형상을 만든다. Radial 왜곡은 이미지의 중심부에서는 거의 영향을 미치지 않지만, 이미지의 외곽으로 갈수록 왜곡이 강해진다.

Radial 왜곡은 두 가지 형태로 나타날 수 있다: - 배럴 왜곡(Barrel Distortion): 직선이 바깥쪽으로 휘어지는 현상으로, 중앙에서 멀어질수록 더 심해진다. - 핀쿠션 왜곡(Pincushion Distortion): 직선이 안쪽으로 휘어지는 현상으로, 바깥쪽으로 갈수록 왜곡이 심해진다.

이러한 왜곡을 보정하기 위한 수학적 모델을 살펴보자. 이미지 좌표에서의 픽셀 위치를 $(x, y)$ 라 할 때, 중심으로부터의 거리를 $r$ 로 정의한다. 이때, 왜곡된 좌표는 아래와 같이 표현된다.

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

Radial 왜곡을 보정하기 위한 모델은 보통 2차 또는 3차 다항식으로 표현된다. 왜곡된 좌표 $(x_d, y_d)$ 를 구하는 수식은 다음과 같다:

$x_d = x (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)$

$y_d = y (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)$

여기서 $k_1, k_2, k_3$ 는 Radial 왜곡 계수로, 렌즈의 비선형성을 보정하는 역할을 한다. 일반적으로 캘리브레이션 과정에서는 이 계수들을 추정하여 보정한다.

Tangential 왜곡

Tangential 왜곡은 렌즈의 광학적 축이 이미지 센서에 정확히 일치하지 않을 때 발생하는 왜곡이다. 이는 렌즈가 약간 기울어져 있거나, 센서와 렌즈의 정렬에 문제가 있을 때 나타난다. Tangential 왜곡은 이미지 좌표가 기울어지거나 비대칭적으로 변형되는 현상을 만들어 낸다.

Tangential 왜곡을 수학적으로 설명하면, 픽셀의 실제 좌표 $(x, y)$ 가 기울어지면서 왜곡된 좌표 $(x_d, y_d)$ 로 변하는 것을 의미한다. 이 왜곡을 보정하는 수식은 아래와 같다:

$x_d = x + [2p_1 xy + p_2 (r^2 + 2x^2)]$

$y_d = y + [p_1 (r^2 + 2y^2) + 2p_2 xy]$

여기서 $p_1$ 과 $p_2$ 는 Tangential 왜곡 계수이다. 이 계수들은 렌즈가 기울어졌을 때 이미지에서 나타나는 변형을 보정하는 역할을 한다.

Radial 및 Tangential 왜곡의 상호 작용

Radial 및 Tangential 왜곡은 각각 독립적인 왜곡 현상으로 발생할 수 있지만, 실제 카메라 시스템에서는 두 왜곡이 함께 나타나는 경우가 많다. 따라서 두 가지 왜곡을 동시에 보정하는 모델이 필요하다.

두 왜곡을 동시에 고려한 보정 모델은 다음과 같다. 왜곡된 좌표 $(x_d, y_d)$ 는 Radial 왜곡과 Tangential 왜곡을 모두 반영한 형태로 표현된다.

$x_d = x(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6) + [2p_1 xy + p_2 (r^2 + 2x^2)]$

$y_d = y(1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6) + [p_1 (r^2 + 2y^2) + 2p_2 xy]$

위의 수식에서 각 변수의 의미는 다음과 같다: - $x, y$ : 왜곡 전의 이미지 좌표 - $x_d, y_d$ : 왜곡 후의 이미지 좌표 - $r$ : 중심점으로부터의 거리 - $k_1, k_2, k_3$ : Radial 왜곡 계수 - $p_1, p_2$ : Tangential 왜곡 계수

왜곡 보정의 필요성

카메라 왜곡 보정은 특히 정확한 3D 측정이나 이미지 분석이 필요한 분야에서 필수적이다. 왜곡된 이미지를 그대로 사용하는 경우, 이미지의 정확도가 크게 떨어지며, 3D 재구성이나 로봇 비전 시스템에서 심각한 오류가 발생할 수 있다. 따라서 왜곡 보정은 실제 적용 시 필수적인 과정이며, 보정되지 않은 왜곡은 다양한 측정 오차의 원인이 된다.

이미지 왜곡의 예

카메라에서 발생하는 Radial 및 Tangential 왜곡은 이미지에서 실제로 다양한 방식으로 나타난다. 다음은 이미지에서 왜곡이 어떻게 발생하는지에 대한 구체적인 예이다:

배럴 왜곡 (Barrel Distortion): 이미지 중심에서 바깥쪽으로 직선이 휘어지며, 특히 이미지의 외곽부에서 그 효과가 두드러진다.
핀쿠션 왜곡 (Pincushion Distortion): 이미지 중심에서 직선이 안쪽으로 휘어지며, 이미지 가장자리에서 더 심한 왜곡이 발생한다.
Tangential 왜곡: 이미지가 전체적으로 비대칭적으로 기울어지거나 찌그러지며, 특히 특정 방향으로 치우치는 현상이 발생한다.

이러한 왜곡을 효과적으로 보정하지 않으면, 이미지에서 객체의 위치나 형태를 정확히 추정하는 것이 매우 어려워진다.