GNSS와 지상 측위 시스템의 결합

GNSS와 지상 측위 시스템의 결합 개요

GNSS(Global Navigation Satellite System)는 위성 신호를 통해 정확한 위치 정보를 제공하지만, 일부 환경에서는 GNSS 신호가 불안정하거나 오차가 발생할 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 지상 기반 측위 시스템을 GNSS와 결합하여 보다 정밀한 위치 측정을 구현하는 기술이 필요하다. 특히 도시 환경이나 실내에서의 GNSS 신호 취약성을 극복하기 위해 다양한 지상 기반 측위 시스템이 활용된다.

GNSS의 오차 요인 및 지상 시스템의 필요성

GNSS의 정확도는 위성의 상태, 대기 오차, 다중 경로 현상 등 다양한 요소에 의해 영향을 받는다. 이 중 대기권과 전리층에서 발생하는 신호 지연, 그리고 다중 경로로 인한 신호 반사는 특히 GNSS의 오차를 증가시키는 주요 요인이다. 예를 들어 도시의 고층 빌딩 사이에서는 다중 경로 현상이 두드러지며, 이는 GNSS의 정확도에 부정적인 영향을 미친다.

이러한 문제를 해결하기 위해 지상 기반 측위 시스템을 GNSS와 결합하여 보완적인 위치 정보를 제공할 수 있다. 지상 시스템은 짧은 범위에서 더 높은 정확도를 제공하며, 특히 GNSS가 불안정하거나 사용할 수 없는 환경에서 유용하다.

GNSS와 지상 측위 시스템의 통합 메커니즘

GNSS와 지상 측위 시스템을 통합하는 방법으로는 확장 칼만 필터(EKF)를 이용한 데이터 융합 기법이 대표적이다. 이 경우, GNSS에서 얻은 위치 정보와 지상 시스템에서 얻은 위치 정보를 각각의 노이즈 특성을 반영하여 융합하게 된다.

확장 칼만 필터(EKF)는 비선형 시스템에서 상태 추정을 가능하게 해주며, GNSS와 지상 측위 시스템을 결합한 측위 모델에서 유용하다. 측정 업데이트 과정에서 GNSS와 지상 측위 데이터를 통합하여 보다 정밀한 위치 추정을 구현할 수 있다.

상태 벡터 정의

확장 칼만 필터를 사용하여 GNSS와 지상 측위 시스템의 데이터를 융합할 때, 상태 벡터 $\mathbf{x}$ 는 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x & y & z & v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}^T$

여기서: - $x, y, z$ 는 3차원 공간에서의 위치 좌표, - $v_x, v_y, v_z$ 는 각각 x, y, z 축 방향의 속도를 의미한다.

상태 방정식

상태 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{F}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{B}_k \mathbf{u}_k + \mathbf{w}_k$

여기서: - $\mathbf{F}_k$ 는 상태 전이 행렬, - $\mathbf{B}_k$ 는 입력 제어 행렬, - $\mathbf{u}_k$ 는 입력 벡터, - $\mathbf{w}_k$ 는 시스템 노이즈를 의미한다.

측정 방정식

측정 방정식은 GNSS와 지상 측위 시스템으로부터 얻어진 측정 데이터를 반영하며, 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k$

여기서: - $\mathbf{H}_k$ 는 측정 행렬, - $\mathbf{v}_k$ 는 측정 노이즈이다.

GNSS와 지상 측위 시스템은 서로 다른 노이즈 특성을 가지므로, $\mathbf{H}_k$ 와 $\mathbf{v}_k$ 는 두 시스템의 특성을 반영한 값으로 구성된다.

측정 업데이트

측정 업데이트 과정에서는 GNSS와 지상 측위 시스템으로부터 측정된 값을 바탕으로 상태 벡터 $\mathbf{x}_k$ 를 보정한다. 확장 칼만 필터에서의 업데이트 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k \mathbf{H}_k^T \left( \mathbf{H}_k \mathbf{P}_k \mathbf{H}_k^T + \mathbf{R}_k \right)^{-1}$

$\mathbf{x}_k = \mathbf{x}_k + \mathbf{K}_k \left( \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k \right)$

여기서: - $\mathbf{K}_k$ 는 칼만 이득(Kalman gain), - $\mathbf{P}_k$ 는 공분산 행렬, - $\mathbf{R}_k$ 는 측정 노이즈 공분산 행렬이다.

이 측정 업데이트 과정에서 GNSS와 지상 측위 시스템의 측정값을 융합하여 보다 정확한 위치를 추정할 수 있다.

GNSS와 지상 측위 시스템의 통합 사례

GNSS와 지상 측위 시스템의 결합은 다양한 방식으로 이루어질 수 있으며, 그중 대표적인 사례는 다음과 같다.

GNSS와 지상 기지국 시스템의 통합

도시 환경에서 GNSS 신호가 약하거나 다중 경로 문제가 발생할 때, 지상에 설치된 기지국(Basestation) 또는 지상 네트워크 시스템과 결합하여 위치 정보를 보완할 수 있다. 이때 기지국에서 송신하는 신호와 GNSS 신호를 함께 이용하여 보다 정확한 위치 정보를 계산한다.

기지국 기반 시스템에서는 삼각 측량(Triangulation) 방식을 주로 사용하며, 여러 기지국으로부터 수신된 신호의 시간 차이(Time Difference of Arrival, TDOA)를 이용해 위치를 추정한다. 이 방식은 짧은 범위에서 GNSS보다 높은 정확도를 제공하며, 특히 GNSS 신호가 약한 환경에서 유용하다.

GNSS와 Wi-Fi 또는 Bluetooth 측위 시스템의 통합

Wi-Fi 또는 Bluetooth 기반 측위 시스템은 실내 환경에서 GNSS가 사용할 수 없는 상황에서 위치 정보를 제공할 수 있다. Wi-Fi 액세스 포인트 또는 Bluetooth 비콘과 같은 장치를 이용하여 사용자의 위치를 추정하고, 이를 GNSS 신호와 결합하여 보다 정밀한 측위를 구현한다.

Wi-Fi 및 Bluetooth 기반 측위 시스템은 RSSI(Received Signal Strength Indicator) 값을 이용하여 위치를 추정하는 것이 일반적이다. 그러나 RSSI 값은 환경의 영향을 많이 받기 때문에 GNSS 신호와의 융합을 통해 정확도를 개선할 수 있다.

확장 칼만 필터의 적용

GNSS와 지상 측위 시스템의 결합에서 가장 중요한 것은 두 시스템의 데이터를 일관되게 융합하여 최적의 위치 정보를 제공하는 것이다. 이때 확장 칼만 필터(EKF)는 비선형 측정 방정식에서도 효과적으로 상태 추정을 할 수 있기 때문에 널리 사용된다.

예시: GNSS와 Wi-Fi 시스템의 결합

Wi-Fi 시스템과 GNSS를 결합한 확장 칼만 필터의 예시로, 상태 벡터와 관측 벡터는 각각 다음과 같이 정의된다.

상태 벡터 $\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x & y & z & v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}^T$
GNSS 측정 벡터 $\mathbf{z}_{\text{GNSS}} = \begin{bmatrix} x_{\text{GNSS}} & y_{\text{GNSS}} & z_{\text{GNSS}} \end{bmatrix}^T$
Wi-Fi 측정 벡터 $\mathbf{z}_{\text{Wi-Fi}} = \begin{bmatrix} x_{\text{Wi-Fi}} & y_{\text{Wi-Fi}} \end{bmatrix}^T$

GNSS는 3차원 좌표 $(x_{\text{GNSS}}, y_{\text{GNSS}}, z_{\text{GNSS}})$ 를 제공하며, Wi-Fi는 2차원 좌표 $(x_{\text{Wi-Fi}}, y_{\text{Wi-Fi}})$ 만을 제공한다. 따라서 확장 칼만 필터에서는 두 측정값을 결합하여 최적의 3차원 위치를 추정한다.

관측 방정식의 비선형성

Wi-Fi 기반 측위 시스템은 신호 세기를 바탕으로 거리를 추정하므로, 관측 방정식이 비선형이다. 이러한 비선형 측정 모델을 확장 칼만 필터에서 처리하기 위해, 다음과 같이 야코비 행렬(Jacobian matrix)을 구하여 선형화한다.

측정 벡터 $\mathbf{z}_{\text{Wi-Fi}}$ 에 대한 관측 함수 $h(\mathbf{x})$ 는 다음과 같이 정의된다:

$h(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \sqrt{(x - x_{\text{AP}})^2 + (y - y_{\text{AP}})^2} \end{bmatrix}$

여기서 $x_{\text{AP}}, y_{\text{AP}}$ 는 Wi-Fi 액세스 포인트(AP)의 좌표이다.

야코비 행렬은 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{H}_k = \frac{\partial h(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{x - x_{\text{AP}}}{\sqrt{(x - x_{\text{AP}})^2 + (y - y_{\text{AP}})^2}} & \frac{y - y_{\text{AP}}}{\sqrt{(x - x_{\text{AP}})^2 + (y - y_{\text{AP}})^2}} & 0 \end{bmatrix}$

이를 통해 확장 칼만 필터에서 비선형 관측 모델을 다룰 수 있다.

확장 칼만 필터 적용 예시: GNSS와 Wi-Fi 시스템 융합

Wi-Fi와 GNSS 측위 시스템을 융합하여 더 정밀한 위치 추정을 수행할 수 있다. 확장 칼만 필터(EKF)를 적용하여 두 시스템의 측정 데이터를 융합하는 과정은 다음과 같은 단계로 진행된다.

1. 상태 예측 단계

상태 예측 방정식은 상태 벡터의 변화를 추정하며, 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{F}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{B}_k \mathbf{u}_k + \mathbf{w}_k$

여기서: - $\mathbf{F}_k$ 는 상태 전이 행렬, - $\mathbf{B}_k$ 는 제어 입력 행렬, - $\mathbf{u}_k$ 는 입력 벡터, - $\mathbf{w}_k$ 는 시스템 노이즈를 나타낸다.

2. 오차 공분산 예측

오차 공분산 예측 단계에서는 상태 벡터의 불확실성을 추정한다. 예측 공분산 행렬 $\mathbf{P}_k$ 는 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{P}_{k+1} = \mathbf{F}_k \mathbf{P}_k \mathbf{F}_k^T + \mathbf{Q}_k$

여기서 $\mathbf{Q}_k$ 는 시스템 노이즈 공분산 행렬이다.

3. 측정 업데이트 단계 (GNSS)

다음으로 GNSS 측정값을 사용하여 상태를 업데이트한다. GNSS는 3차원 위치 정보를 제공하며, 측정 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{z}_{\text{GNSS}, k} = \mathbf{H}_{\text{GNSS}, k} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_{\text{GNSS}, k}$

확장 칼만 필터의 측정 업데이트 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k \mathbf{H}_{\text{GNSS}, k}^T \left( \mathbf{H}_{\text{GNSS}, k} \mathbf{P}_k \mathbf{H}_{\text{GNSS}, k}^T + \mathbf{R}_{\text{GNSS}, k} \right)^{-1}$

$\mathbf{x}_k = \mathbf{x}_k + \mathbf{K}_k \left( \mathbf{z}_{\text{GNSS}, k} - \mathbf{H}_{\text{GNSS}, k} \mathbf{x}_k \right)$

$\mathbf{P}_k = \left( \mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_{\text{GNSS}, k} \right) \mathbf{P}_k$

여기서: - $\mathbf{K}_k$ 는 칼만 이득, - $\mathbf{H}_{\text{GNSS}, k}$ 는 GNSS 측정 행렬, - $\mathbf{R}_{\text{GNSS}, k}$ 는 GNSS 측정 노이즈 공분산 행렬이다.

4. 측정 업데이트 단계 (Wi-Fi)

Wi-Fi 측정값을 사용하여 상태를 추가로 업데이트한다. Wi-Fi는 2차원 위치 정보를 제공하며, 비선형 측정 방정식을 처리하기 위해 확장 칼만 필터의 야코비 행렬을 사용하여 선형화한다. Wi-Fi 측정 방정식은 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{z}_{\text{Wi-Fi}, k} = h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_{\text{Wi-Fi}, k}$

여기서 $h(\mathbf{x})$ 는 Wi-Fi 측정 함수이며, 이를 선형화한 야코비 행렬 $\mathbf{H}_{\text{Wi-Fi}, k}$ 는 이전 단계에서 구한 바와 같이 사용된다.

Wi-Fi 측정 업데이트 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{K}_{\text{Wi-Fi}, k} = \mathbf{P}_k \mathbf{H}_{\text{Wi-Fi}, k}^T \left( \mathbf{H}_{\text{Wi-Fi}, k} \mathbf{P}_k \mathbf{H}_{\text{Wi-Fi}, k}^T + \mathbf{R}_{\text{Wi-Fi}, k} \right)^{-1}$

$\mathbf{x}_k = \mathbf{x}_k + \mathbf{K}_{\text{Wi-Fi}, k} \left( \mathbf{z}_{\text{Wi-Fi}, k} - h(\mathbf{x}_k) \right)$

$\mathbf{P}_k = \left( \mathbf{I} - \mathbf{K}_{\text{Wi-Fi}, k} \mathbf{H}_{\text{Wi-Fi}, k} \right) \mathbf{P}_k$

5. 결합 시스템의 성능 분석

GNSS와 Wi-Fi 시스템을 결합하여 확장 칼만 필터로 처리하면, 두 시스템의 강점을 결합하여 정밀한 위치 추정을 할 수 있다. GNSS는 전 세계적인 범위에서 위치 정보를 제공하고, Wi-Fi는 실내 환경에서 높은 정확도의 위치 정보를 보완한다. 이를 통해 도시 환경이나 실내외 혼합 환경에서 GNSS만으로는 달성하기 어려운 위치 정밀도를 확보할 수 있다.