삼변측량 및 삼각측량 기법

삼변측량 기법

삼변측량(trilateration)은 측위 알고리즘에서 매우 중요한 기법으로, 거리 정보를 이용해 객체의 위치를 계산하는 방법이다. GNSS(Global Navigation Satellite System)에서는 위성으로부터의 신호 전파 시간을 기반으로 각 위성까지의 거리를 측정하며, 이를 삼변측량 기법으로 처리하여 수신기의 위치를 결정한다. 삼변측량에서는 세 개 이상의 위성으로부터의 거리 정보가 필요하다. 이를 통해 3차원 공간에서 수신기의 위치를 정밀하게 계산할 수 있다.

거리 측정 원리

위성으로부터 수신기에 도달하는 신호는 전파 속도로 이동한다. 따라서 전파 시간 $t$ 을 측정하면, 다음과 같이 거리 $d$ 를 계산할 수 있다.

$d = c \cdot t$

여기서 $c$ 는 전파의 속도(약 $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ )이며, $t$ 는 신호가 위성에서 수신기로 도달하는 데 걸리는 시간이다.

3차원 공간에서의 위치 계산

위성 A, B, C로부터 각각의 거리를 $d_A$ , $d_B$ , $d_C$ 라고 하면, 수신기의 위치 $\mathbf{p} = (x, y, z)$ 는 세 위성의 위치 $\mathbf{p_A} = (x_A, y_A, z_A)$ , $\mathbf{p_B} = (x_B, y_B, z_B)$ , $\mathbf{p_C} = (x_C, y_C, z_C)$ 로부터 다음과 같은 비선형 방정식으로 표현할 수 있다.

$\begin{aligned} (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 &= d_A^2 \\ (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2 &= d_B^2 \\ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 &= d_C^2 \end{aligned}$

이 방정식들을 해결하여 수신기의 위치 $\mathbf{p}$ 를 구할 수 있다. 이러한 계산 과정에서는 주로 비선형 방정식을 선형화한 후 반복적인 수치해석 기법을 사용하여 해를 구한다.

선형화 과정

삼변측량에서 비선형 방정식을 풀기 위해서는 테일러 급수 전개 등의 방법을 통해 선형화가 필요하다. 이를 위해 먼저 초기 추정값 $\mathbf{p_0} = (x_0, y_0, z_0)$ 을 설정한 후, 비선형 항을 선형화하여 다음과 같은 형태로 변환할 수 있다.

$\mathbf{A} \cdot \Delta \mathbf{p} = \mathbf{b}$

여기서,

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \frac{x_0 - x_A}{d_A} & \frac{y_0 - y_A}{d_A} & \frac{z_0 - z_A}{d_A} \\ \frac{x_0 - x_B}{d_B} & \frac{y_0 - y_B}{d_B} & \frac{z_0 - z_B}{d_B} \\ \frac{x_0 - x_C}{d_C} & \frac{y_0 - y_C}{d_C} & \frac{z_0 - z_C}{d_C} \end{bmatrix}$

$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} d_A - \sqrt{(x_0 - x_A)^2 + (y_0 - y_A)^2 + (z_0 - z_A)^2} \\ d_B - \sqrt{(x_0 - x_B)^2 + (y_0 - y_B)^2 + (z_0 - z_B)^2} \\ d_C - \sqrt{(x_0 - x_C)^2 + (y_0 - y_C)^2 + (z_0 - z_C)^2} \end{bmatrix}$

이때 $\Delta \mathbf{p} = \mathbf{p} - \mathbf{p_0}$ 는 위치 변화량을 의미한다. 이 선형 방정식을 풀어 $\Delta \mathbf{p}$ 를 구하고, 이를 통해 새로운 추정값 $\mathbf{p_1} = \mathbf{p_0} + \Delta \mathbf{p}$ 를 얻을 수 있다. 이러한 과정을 반복하여 수신기의 최종 위치를 계산하게 된다.

삼변측량의 반복 계산

위에서 언급한 선형화 과정은 수신기의 초기 추정값에 따라 오차가 발생할 수 있다. 따라서 이러한 선형화 및 계산 과정은 반복적으로 수행되며, 반복마다 새로운 추정값이 갱신된다. 이 과정은 수렴할 때까지, 즉 오차가 매우 작아질 때까지 반복된다.

반복적인 과정은 다음과 같이 요약할 수 있다.

초기 추정값 $\mathbf{p_0}$ 를 설정한다.
$\mathbf{A} \cdot \Delta \mathbf{p} = \mathbf{b}$ 선형 방정식을 풀어 $\Delta \mathbf{p}$ 를 계산한다.
새로운 추정값 $\mathbf{p_1} = \mathbf{p_0} + \Delta \mathbf{p}$ 을 계산한다.
오차가 충분히 작아질 때까지 위 과정을 반복한다.

이러한 방식으로 삼변측량을 통해 수신기의 3차원 공간 내 위치를 정밀하게 추정할 수 있다.

삼변측량과 다중 경로 문제

삼변측량에서 중요한 문제 중 하나는 다중 경로(multipath)이다. 다중 경로란 위성 신호가 지표면이나 건물 같은 장애물에 반사된 후 수신기에 도달하는 현상이다. 이로 인해 실제 거리보다 긴 경로를 통해 신호가 도달하여 측정된 거리가 실제보다 길어지는 문제가 발생할 수 있다. 이는 수신기의 위치 계산에 오차를 일으킬 수 있다.

다중 경로 문제를 해결하기 위한 여러 방법이 연구되고 있으며, 대표적으로는 다음과 같은 방법들이 있다.

다중 경로 제거 필터링: 수신기 내에서 다중 경로 신호를 필터링하는 기술을 적용한다.
안테나 설계 개선: 다중 경로 신호를 최소화할 수 있는 고성능 안테나를 사용한다.
지형 정보 활용: 다중 경로가 발생할 수 있는 지형 정보를 기반으로 신호 처리 과정에서 오차를 보정한다.

이 외에도, 삼변측량 과정에서 발생할 수 있는 신호 간섭과 전파 지연 문제는 다양한 보정 기술과 함께 사용된다.

삼각측량 기법

삼각측량(triangulation)은 삼변측량과는 다르게 각도를 이용해 위치를 추정하는 방법이다. 삼각측량에서는 두 개 이상의 기지점(위성)이 수신기에 대해 형성하는 각도를 측정하여 위치를 계산한다. 이러한 기법은 주로 레이더, 라이다(LiDAR), 광학 기기 등에서 많이 사용되며, GNSS에서는 주로 삼변측량이 더 많이 사용되지만, 원리는 비슷하다.

삼각측량의 원리

두 기지점 $A$ 와 $B$ 에서 수신기 $P$ 의 위치를 삼각측량으로 계산하는 경우, 두 기지점 간의 거리가 $d$ 이고, 각 기지점에서 수신기에 대해 형성되는 각도가 각각 $\theta_A$ 와 $\theta_B$ 라고 하자. 이때, 수신기의 위치는 두 기지점과의 거리 및 각도 정보로부터 다음과 같이 계산된다.

먼저, 두 기지점 간의 거리가 $d$ 이고, 각도 $\theta_A$ 와 $\theta_B$ 가 주어졌을 때 삼각법을 통해 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

$x = d \cdot \frac{\sin(\theta_B)}{\sin(\theta_A + \theta_B)}$

$y = d \cdot \frac{\sin(\theta_A)}{\sin(\theta_A + \theta_B)}$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 수신기의 좌표를 나타낸다. 이 방법을 확장하여 3차원 공간에서도 동일하게 각도 정보를 사용해 수신기의 위치를 추정할 수 있다.

삼각측량의 적용 및 한계

삼각측량은 각도 정보를 사용하기 때문에, 삼변측량과 달리 거리 측정에 의존하지 않는다. 그러나 GNSS와 같은 위성 항법 시스템에서는 각도 정보를 직접적으로 측정하는 것이 쉽지 않기 때문에, 삼각측량은 보편적으로 사용되지 않으며 대신 삼변측량이 널리 사용된다.

삼각측량의 주요 한계는 다음과 같다.

정확한 각도 측정의 어려움: 각도 측정이 부정확할 경우 위치 계산에서 큰 오차가 발생할 수 있다.
기지점 간의 거리 제한: 기지점 간의 거리가 짧거나, 수신기와의 각도가 너무 작을 경우 위치 계산이 어려울 수 있다.