Galileo 측위 원리 - 소프트웨어 융합

위성 신호와 전파 지연

Galileo 시스템의 측위 원리는 GPS와 GLONASS와 유사하게, 위성에서 수신기까지 전파되는 신호의 시간을 기반으로 거리(또는 위성-수신기 간 거리)를 계산하여 위치를 추정하는 방식이다. 이는 삼변측량(trilateration)이라는 원리로 설명될 수 있다. 기본적으로, 네 개 이상의 Galileo 위성으로부터 신호를 수신하고 각 위성까지의 거리를 계산하여 3차원 공간에서의 위치를 추정한다.

위성 신호는 코드 측정과 운반파 위상 측정을 통해 수신된다. 코드 측정은 대략적인 위치 정보를 제공하며, 운반파 위상 측정은 보다 정밀한 위치 정보를 제공한다. Galileo 시스템은 E1, E5a, E5b와 같은 다중 주파수 대역을 사용하여 전파 지연을 최소화하고 신호 간섭에 대한 복원력을 높인다.

먼저, 수신기에서 위성까지의 거리는 다음 식으로 표현된다.

$\mathbf{r} = c \cdot \Delta t$

여기서,
- $\mathbf{r}$ 은 수신기와 위성 간의 거리,
- $c$ 는 빛의 속도(약 $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ ),
- $\Delta t$ 는 위성에서 수신기까지 신호가 도달하는 데 걸린 시간이다.

수신기는 위성에서 전송된 신호의 전파 지연 시간을 계산함으로써 위성까지의 거리를 추정한다. 이때 정확한 시간을 알기 위해서는 수신기와 위성의 시계가 동기화되어야 하지만, 실제로는 수신기와 위성 시계 사이에 오차가 존재할 수 있다.

시계 오차와 측정 보정

수신기와 위성 시계의 오차는 측정에 중요한 영향을 미친다. 이 오차는 Galileo 시스템에서 위성 시계 오차와 수신기 시계 오차로 나눌 수 있으며, 시계 오차는 추가적인 변수로 고려되어야 한다.

수신기의 좌표를 $(x_r, y_r, z_r)$ , 위성의 좌표를 $(x_i, y_i, z_i)$ 라고 하고, 수신기 시계 오차를 $\Delta t_r$ , 위성 시계 오차를 $\Delta t_i$ 라고 할 때, 실제 거리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\mathbf{r}_i = \sqrt{(x_r - x_i)^2 + (y_r - y_i)^2 + (z_r - z_i)^2} + c (\Delta t_r - \Delta t_i)$

이때 각 위성으로부터 측정된 거리 $\mathbf{r}_i$ 가 시계 오차와 함께 보정된 측정값이다. 수신기의 위치와 시계 오차를 추정하기 위해서는 최소한 4개의 위성 신호가 필요하며, 이로써 3차원 좌표와 시계 오차를 모두 해결할 수 있다.

삼변측량 (Trilateration)

삼변측량은 측정된 여러 위성 신호의 거리를 기반으로 수신기의 위치를 추정하는 방법이다. 수신기에서 위성까지의 거리를 측정할 때, 각 거리는 구면의 반경과 같으며, 위성의 위치는 이미 알려져 있으므로 여러 개의 구면이 교차하는 지점에서 수신기의 위치를 결정할 수 있다.

각 위성으로부터 측정된 거리를 사용하여 수신기의 위치를 구하는 식은 다음과 같다.

$\sqrt{(x_r - x_1)^2 + (y_r - y_1)^2 + (z_r - z_1)^2} = \mathbf{r}_1$

$\sqrt{(x_r - x_2)^2 + (y_r - y_2)^2 + (z_r - z_2)^2} = \mathbf{r}_2$

$\sqrt{(x_r - x_3)^2 + (y_r - y_3)^2 + (z_r - z_3)^2} = \mathbf{r}_3$

$\sqrt{(x_r - x_4)^2 + (y_r - y_4)^2 + (z_r - z_4)^2} = \mathbf{r}_4$

이러한 네 개의 방정식을 해결하면 수신기의 위치 $(x_r, y_r, z_r)$ 를 구할 수 있다. 위성 시계와 수신기 시계 오차를 고려하면 이를 보다 복잡한 형태로 풀어야 하지만, 대체로 위성의 위치가 고정되어 있기 때문에 방정식의 형태는 동일한다.

대기 지연과 전리층 효과

Galileo 측위 시스템에서 고려해야 할 주요 오차 요소 중 하나는 대기 지연과 전리층 효과이다. 전리층과 대기는 전파 신호가 수신기로 전달되는 동안 신호의 속도를 지연시키거나 왜곡시킨다. 이러한 효과는 주파수에 따라 다르게 나타나며, Galileo는 이러한 오차를 최소화하기 위해 다중 주파수 대역(E1, E5a, E5b)을 사용한다.

전리층 지연 (Ionospheric Delay)

전리층에서 발생하는 지연은 신호의 주파수에 비례한다. Galileo는 이 문제를 해결하기 위해 이중 주파수 측정을 사용하여 전리층 지연을 보정한다. 이는 두 가지 주파수의 신호 지연 차이를 이용하여 전리층에서 발생한 지연을 계산하고 보정하는 방식이다.

전리층 지연을 보정하는 과정은 다음과 같이 설명될 수 있다.

$\Delta t_{\text{ion}} = \frac{\mathbf{r}_f}{f_1^2} - \frac{\mathbf{r}_f}{f_2^2}$

여기서, - $\Delta t_{\text{ion}}$ 는 전리층에서의 시간 지연, - $\mathbf{r}_f$ 는 신호가 전파된 거리, - $f_1, f_2$ 는 각각 다른 주파수 대역에서의 주파수이다.

이 방정식은 서로 다른 주파수 대역을 사용함으로써 전리층에서의 신호 지연을 계산하고 이를 보정할 수 있다. Galileo의 다중 주파수 신호(E1, E5a, E5b)는 이러한 전리층 지연을 보다 정밀하게 보정하는 데 사용된다.

대류권 지연 (Tropospheric Delay)

대류권에서도 신호 지연이 발생하는데, 이는 주로 온도, 습도, 압력 등 기상 조건에 따라 달라진다. 대류권 지연은 대기 모델을 사용하여 보정할 수 있다. 대류권 지연 보정을 위해 사용되는 일반적인 모델 중 하나는 Saastamoinen 모델이다.

대류권 지연은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\Delta t_{\text{trop}} = \frac{0.002277}{\cos \theta} (P + (1255/T + 0.05) e)$

여기서,
- $\Delta t_{\text{trop}}$ 는 대류권에서의 신호 지연, - $P$ 는 기압(헥토파스칼), - $T$ 는 온도(켈빈), - $e$ 는 수증기 압력(헥토파스칼), - $\theta$ 는 위성의 고각각이다.

이 모델을 사용하여 수신기 위치에 따른 대류권 지연을 보정할 수 있다.

다중 경로 효과 (Multipath Effect)

다중 경로 효과는 신호가 여러 경로를 통해 수신기에 도달하는 현상으로, 특히 도시 환경이나 건물, 산악 지역 등에서 많이 발생한다. 다중 경로로 인해 신호가 왜곡되거나 지연될 수 있으며, 이는 정확한 위치 추정에 영향을 미친다.

이러한 다중 경로 신호는 직접 신호와 함께 수신되며, 신호의 위상 및 크기 변화로 인해 거리 측정의 오차를 유발한다. Galileo 시스템에서는 이러한 다중 경로 효과를 줄이기 위해 신호 처리 기술과 안테나 설계를 개선하여 보다 정확한 신호를 수신한다.

다중 경로 효과는 다음과 같은 모델로 설명될 수 있다.

$\mathbf{r}_{\text{multi}} = \mathbf{r}_{\text{direct}} + \mathbf{r}_{\text{reflected}}$

여기서,
- $\mathbf{r}_{\text{multi}}$ 는 다중 경로에 의해 왜곡된 신호 거리, - $\mathbf{r}_{\text{direct}}$ 는 직접 경로를 통해 수신된 신호 거리, - $\mathbf{r}_{\text{reflected}}$ 는 반사 경로를 통해 수신된 신호 거리이다.

다중 경로 효과를 줄이기 위해서는 향상된 신호 처리 알고리즘과 다중 경로 필터링 기술이 사용되며, Galileo는 이를 통해 신호의 정확도를 향상시킨다.

위성 기하학과 측위 정확도

Galileo 시스템의 정확도는 위성의 기하학적 배치에 크게 의존한다. 위성의 기하학적 배치를 평가하는 지표로 기하학적 분포 오차(GDOP, Geometric Dilution of Precision)가 사용된다. GDOP는 수신기와 위성 간의 상대적 위치 관계가 얼마나 좋은지를 나타내는 값으로, 낮을수록 정확한 위치 추정이 가능한다.

GDOP는 크게 다음과 같은 종류로 나눌 수 있다: - PDOP (Position Dilution of Precision): 위치 정확도를 나타내며, $x, y, z$ 좌표에 대한 오차를 반영한다. - TDOP (Time Dilution of Precision): 시간 측정의 정확도를 나타낸다. - HDOP (Horizontal Dilution of Precision): 수평 위치의 정확도를 나타낸다. - VDOP (Vertical Dilution of Precision): 수직 위치의 정확도를 나타낸다.

GDOP는 다음 식으로 표현될 수 있다.

$GDOP = \sqrt{PDOP^2 + TDOP^2 + HDOP^2 + VDOP^2}$

PDOP, TDOP, HDOP, VDOP는 각각 수신기와 위성 간의 기하학적 관계에 따라 결정되며, 위성이 수신기로부터 다양한 각도에서 신호를 송신할수록 낮은 GDOP를 얻을 수 있다. Galileo 시스템은 위성이 고르게 분포되도록 설계되어 GDOP가 낮게 유지되며, 이를 통해 더 정확한 위치 추정이 가능한다.

기하학적 분포 오차 예시

위성이 하늘의 특정 지역에 집중되어 있을 경우, 위치 추정의 정확도가 떨어진다. 예를 들어, 위성들이 지평선 근처에 집중되어 있으면 수신기는 수평 위치는 잘 추정할 수 있지만, 수직 위치는 정확하게 추정하기 어렵다. 반면에, 위성들이 하늘 전체에 고르게 분포되어 있으면 더 나은 정확도를 기대할 수 있다.

측위 알고리즘

Galileo에서 위치를 추정하는 과정은 여러 알고리즘을 통해 이루어지며, 이는 위성 신호의 특성과 수신기 성능에 따라 달라질 수 있다. 가장 일반적인 방법은 최소 제곱법(Least Squares Method)을 사용하여 측정된 거리 데이터를 바탕으로 위치를 추정하는 것이다. 이 과정에서 수신기와 위성의 시계 오차, 대기 지연, 다중 경로 효과 등을 고려하여 보정한다.

최소 제곱법을 적용하기 위한 목적 함수는 다음과 같다.

$\mathbf{J} = \sum_{i=1}^{n} \left( \mathbf{r}_i - \sqrt{(x_r - x_i)^2 + (y_r - y_i)^2 + (z_r - z_i)^2} \right)^2$

여기서,
- $\mathbf{J}$ 는 오차 제곱합을 나타내는 목적 함수,
- $\mathbf{r}_i$ 는 각 위성으로부터 측정된 거리,
- $(x_r, y_r, z_r)$ 는 수신기의 위치,
- $(x_i, y_i, z_i)$ 는 위성의 위치이다.

목적 함수 $\mathbf{J}$ 를 최소화하면 수신기의 위치 $(x_r, y_r, z_r)$ 를 얻을 수 있다. 이때 각종 오차 요인을 보정하기 위한 추가적인 알고리즘이 결합될 수 있으며, 실시간으로 위치 추정이 이루어진다.

또한, 칼만 필터(Kalman Filter)와 같은 동적 필터링 알고리즘도 사용될 수 있다. 칼만 필터는 시계열 데이터를 기반으로 현재 상태를 추정하고, 이를 통해 더 정확한 위치를 추정한다. 이는 특히 이동 중인 수신기의 위치를 추정할 때 유용하다.