위성 항법 시스템의 기본 원리

위성 신호 전송과 수신

위성 항법 시스템의 기본 원리는 지구 궤도를 도는 다수의 인공위성에서 신호를 송출하고, 이를 지상에 있는 수신기가 받아 분석함으로써 사용자의 위치를 계산하는 것이다. 각 위성은 매우 정확한 원자시계를 가지고 있으며, 이를 통해 정밀한 시간 정보를 신호에 담아 전송한다. 지상의 수신기는 이 신호를 기반으로 여러 위성으로부터의 거리를 계산하고, 삼변측량(trilateration) 기법을 이용해 자신의 위치를 결정한다.

위성으로부터 수신되는 신호는 시간 정보를 포함하며, 이를 수신기가 분석하여 위성과의 거리, 즉 신호가 전파되는 시간을 계산하게 된다. 신호 전파 시간은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$t_{\text{delay}} = \frac{d}{c}$

여기서: - $t_{\text{delay}}$ 는 신호 전파 시간이다. - $d$ 는 위성과 수신기 간의 거리이다. - $c$ 는 진공에서의 빛의 속도(약 299,792,458 m/s)이다.

수신기가 이 정보를 통해 여러 위성으로부터의 거리 정보를 얻으면, 이를 기반으로 사용자의 위치를 계산할 수 있다.

삼변측량 원리

삼변측량은 최소 4개의 위성으로부터 수신한 신호를 이용해 3차원 공간에서 수신기의 위치를 계산하는 과정이다. 이는 수학적으로 3차원 좌표계에서 각 위성과의 거리를 바탕으로 수신기의 위치를 결정하는 문제로 해석될 수 있다.

각 위성과 수신기 사이의 거리는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

$d_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2}$

여기서: - $d_i$ 는 위성 $i$ 와 수신기 사이의 거리이다. - $(x, y, z)$ 는 수신기의 좌표이다. - $(x_i, y_i, z_i)$ 는 위성 $i$ 의 좌표이다.

이 거리 방정식을 각 위성에 대해 계산하면, 여러 개의 구(球)가 형성되며, 이 구들이 교차하는 지점이 바로 수신기의 위치가 된다. 위성이 3개일 경우, 2차원 평면에서 수신기의 위치를 계산할 수 있으며, 4개 이상의 위성을 이용하면 3차원 공간에서 정확한 위치를 얻을 수 있다. 추가적인 위성을 이용하면 계산의 정확도를 높일 수 있다.

시간 오차 보정

위성 항법 시스템에서는 위성과 수신기 간의 시간 오차도 고려해야 한다. 각 위성은 원자시계를 이용해 매우 정밀한 시간을 제공하지만, 지상의 수신기는 그만큼 정밀하지 않기 때문에 시간 오차가 발생할 수 있다. 이 시간 오차를 보정하기 위해 수신기에서는 4개의 위성 신호를 받아 계산을 수행한다.

시간 오차 $\Delta t$ 를 반영한 수식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$d_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 + (z - z_i)^2} + c \cdot \Delta t$

여기서: - $\Delta t$ 는 수신기에서 발생하는 시간 오차이다.

이 시간 오차 $\Delta t$ 는 추가적인 방정식을 통해 추정되며, 이를 통해 정확한 위치를 계산할 수 있게 된다. 4개의 위성 신호가 필요한 이유는 이 시간 오차를 계산하기 위함이다. 3개의 위성 신호만으로는 수신기의 위치를 정확히 계산할 수 없으며, 4번째 위성이 있어야 시간 오차를 보정할 수 있다.

다중 경로 효과(Multipath Effect)

위성 신호가 수신기로 직접 도달하지 않고 건물이나 지면 등에서 반사된 후 도달하는 경우를 다중 경로 효과라고 한다. 이 효과는 수신된 신호의 전파 경로가 길어지기 때문에 정확한 거리를 측정하는 데 방해가 될 수 있다.

다중 경로 효과를 줄이기 위한 대표적인 기술로는 다음과 같은 기법들이 있다.

안테나 설계 개선: 특정 각도 이상의 신호를 차단하거나 수신하지 않도록 설계된 안테나를 사용해 다중 경로 효과를 줄이다.
신호 처리 기법: 수신된 신호의 도착 시간을 분석하고, 다중 경로에 의한 지연 신호를 구분하여 제거하는 기법을 사용한다.

이러한 기법들은 다중 경로에 의해 발생하는 오차를 줄여 수신기에서 보다 정확한 위치를 계산할 수 있도록 돕는다.

대기권과 전리층의 영향

위성 신호는 지구 대기권을 통과하면서 굴절되고 지연될 수 있다. 특히 전리층과 대류권은 신호의 전파 속도에 영향을 미쳐 거리 계산에 오차를 발생시킬 수 있다. 이 현상은 위성 항법 시스템의 주요 오차 요인 중 하나로, 이를 보정하기 위한 다양한 기법들이 사용된다.

전리층의 영향

전리층은 지구 대기 상층에 존재하는 이온화된 입자들이 모여 있는 영역이다. 전리층을 통과하는 신호는 전자 밀도의 변화에 따라 굴절 및 지연되며, 이는 주파수에 의존적인 특성을 보이다. 따라서 위성 항법 시스템에서는 이중 주파수를 사용해 전리층 오차를 보정하는 방법이 많이 사용된다.

전리층에 의한 신호 지연은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

$\Delta t_{\text{ionosphere}} \propto \frac{1}{f^2}$

여기서: - $\Delta t_{\text{ionosphere}}$ 는 전리층에 의한 신호 지연 시간이다. - $f$ 는 신호의 주파수이다.

이중 주파수를 사용하는 경우, 서로 다른 주파수에서 신호 지연 시간을 비교하여 전리층에 의한 오차를 보정할 수 있다. 이 기법은 전리층의 영향을 최소화하는 데 중요한 역할을 한다.

대류권의 영향

대류권은 지구 대기 하층부로, 이곳을 통과하는 위성 신호는 대기 밀도와 습도의 영향을 받는다. 대류권 오차는 전리층 오차와 달리 주파수와 무관하게 일정한 영향을 미치며, 대기 압력, 온도, 습도 등의 변화에 따라 달라진다.

대류권에서 발생하는 신호 지연 시간은 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\Delta t_{\text{troposphere}} = k \cdot P \cdot \left( \frac{1}{T} \right)$

여기서: - $\Delta t_{\text{troposphere}}$ 는 대류권에 의한 신호 지연 시간이다. - $P$ 는 대기 압력이다. - $T$ 는 대기 온도이다. - $k$ 는 기체 상수이다.

대류권 오차는 대기 정보를 이용해 모델링할 수 있으며, 수신기에서 대기권 보정 모델을 적용하여 해당 오차를 줄일 수 있다.

GNSS 보정 기법

위성 신호는 다양한 환경 요인으로 인해 발생하는 오차가 있을 수 있으며, 이를 보정하기 위한 다양한 보정 기법들이 존재한다. GNSS 보정 기법에는 다음과 같은 대표적인 기술들이 포함된다.

차분 GPS(DGPS)

차분 GPS는 기준점에 위치한 고정된 GPS 수신기와 이동 중인 수신기 사이의 오차를 보정하는 방법이다. 고정된 수신기에서 정확한 위치를 알고 있기 때문에, 그 위치에서 측정된 오차 정보를 실시간으로 전송하여 이동 수신기에서 해당 오차를 보정할 수 있다. 이 방식은 특히 정밀한 위치 측정이 필요한 경우에 효과적이다.

차분 GPS에서의 오차 보정은 다음과 같이 이루어진다.

$\Delta d = d_{\text{actual}} - d_{\text{measured}}$

여기서: - $\Delta d$ 는 보정해야 할 오차이다. - $d_{\text{actual}}$ 은 실제 고정 수신기의 위치와 위성 간 거리이다. - $d_{\text{measured}}$ 는 고정 수신기가 측정한 거리이다.

이 오차 정보를 이동 수신기가 받아 자신의 위치 계산에 적용함으로써, 보다 정확한 측위가 가능해진다.

칼만 필터와 확장 칼만 필터(EKF)

위성 항법 시스템에서 수신기의 위치를 추정할 때, 측정된 위치 정보에는 항상 오차가 존재한다. 이러한 오차를 최소화하고 보다 정확한 위치를 추정하기 위해 칼만 필터(Kalman Filter)와 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter, EKF)가 많이 사용된다.

칼만 필터와 확장 칼만 필터는 응용 수학에서 각각의 주제로 책이 있으니 참조하기 바란다. 이 책에서는 간단하게 다룬다.

칼만 필터의 개요

칼만 필터는 노이즈가 존재하는 측정값으로부터 최적의 추정값을 계산하는 알고리즘이다. 시스템의 상태를 선형 상태 공간 모델로 표현하며, 이전 상태 정보와 현재 측정값을 결합하여 최적의 상태 추정을 수행한다. 칼만 필터는 다음과 같은 2단계로 이루어져 있다.

예측 단계: 이전 상태와 시스템 모델을 사용하여 현재 상태를 예측한다.
갱신 단계: 현재 측정값을 바탕으로 예측된 상태를 갱신한다.

칼만 필터의 상태 갱신 수식은 다음과 같이 표현된다.

예측 단계:

$\mathbf{x}_{k|k-1} = \mathbf{A} \mathbf{x}_{k-1|k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_k$

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{A} \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{A}^T + \mathbf{Q}$

갱신 단계:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}^T (\mathbf{H} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}^T + \mathbf{R})^{-1}$

$\mathbf{x}_{k|k} = \mathbf{x}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{z}_k - \mathbf{H} \mathbf{x}_{k|k-1})$

$\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}) \mathbf{P}_{k|k-1}$

여기서: - $\mathbf{x}_{k|k-1}$ 는 시점 $k$ 에서의 상태 예측값이다. - $\mathbf{A}$ 는 상태 전이 행렬이다. - $\mathbf{P}_{k|k-1}$ 는 예측 상태의 공분산 행렬이다. - $\mathbf{K}_k$ 는 칼만 이득(Kalman Gain)이다. - $\mathbf{H}$ 는 측정 행렬이다. - $\mathbf{z}_k$ 는 시점 $k$ 에서의 측정값이다. - $\mathbf{Q}$ 는 시스템 노이즈 공분산이다. - $\mathbf{R}$ 는 측정 노이즈 공분산이다. - $\mathbf{I}$ 는 항등 행렬이다.

확장 칼만 필터(EKF)

칼만 필터는 선형 시스템에 적용되기 때문에, 비선형 시스템에 대해 사용할 수 없다. 위성 항법 시스템에서는 위성과 수신기 사이의 거리를 계산하는 과정이 비선형이므로, 확장 칼만 필터를 사용해야 한다. 확장 칼만 필터는 비선형 상태 방정식을 선형화하여 칼만 필터를 적용할 수 있도록 확장된 형태이다.

확장 칼만 필터는 비선형 함수 $f(\mathbf{x})$ 와 측정 함수 $h(\mathbf{x})$ 를 사용하여 다음과 같은 단계로 이루어진다.

예측 단계:

$\mathbf{x}_{k|k-1} = f(\mathbf{x}_{k-1|k-1}, \mathbf{u}_k)$

$\mathbf{P}_{k|k-1} = \mathbf{F}_k \mathbf{P}_{k-1|k-1} \mathbf{F}_k^T + \mathbf{Q}$

갱신 단계:

$\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^T (\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}_k^T + \mathbf{R})^{-1}$

$\mathbf{x}_{k|k} = \mathbf{x}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{z}_k - h(\mathbf{x}_{k|k-1}))$

$\mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1}$

여기서: - $f(\mathbf{x})$ 는 상태 전이 비선형 함수이다. - $h(\mathbf{x})$ 는 측정 비선형 함수이다. - $\mathbf{F}_k$ 는 상태 전이 행렬의 선형화된 야코비이다. - $\mathbf{H}_k$ 는 측정 행렬의 선형화된 야코비이다.

확장 칼만 필터는 비선형 시스템에서도 칼만 필터와 유사한 방식으로 최적의 상태 추정을 수행할 수 있으며, 이를 통해 GNSS 수신기의 위치를 정확하게 추정할 수 있다.

위성 위치 예측 및 오차 요소

위성 항법 시스템에서 수신기가 정확한 위치를 계산하려면, 각 위성의 위치(궤도 정보)를 알아야 한다. 위성의 궤도는 매우 정밀하게 계산되지만, 시간에 따라 미세하게 변화할 수 있기 때문에 궤도 정보는 실시간으로 수신기에게 제공된다. 이 궤도 정보는 위성이 전송하는 항법 메시지에 포함되며, 수신기는 이를 통해 각 위성의 순간적인 위치를 추정한다.

궤도 요소

위성의 궤도는 몇 가지 주요 궤도 요소를 바탕으로 정의되며, 이러한 궤도 요소는 위성의 운동을 기술하는 데 필수적이다. 대표적인 궤도 요소에는 다음과 같은 것들이 포함된다.

반장축(semimajor axis): 타원 궤도의 가장 긴 축의 절반 길이로, 위성의 평균 고도를 나타낸다.
이심률(eccentricity): 타원의 모양을 나타내는 값으로, 0에 가까울수록 원형에 가까운 궤도를 갖는다.
궤도 경사(inclination): 위성 궤도의 경사각으로, 궤도가 적도면과 이루는 각도를 나타낸다.
근지점 편각(argument of perigee): 타원 궤도의 근지점(지구에 가장 가까운 지점)이 궤도 내에서 위치하는 각도를 나타낸다.

이러한 궤도 요소를 바탕으로 위성의 순간 위치를 예측할 수 있으며, 이를 통해 위성과 수신기 간의 거리를 계산하게 된다.

위성 위치 예측

위성의 궤도를 바탕으로 수신기는 특정 시간에 위성이 어느 위치에 있을지 예측할 수 있다. 위성의 순간적인 위치는 케플러 방정식을 통해 계산할 수 있다. 위성의 궤도 운동은 시간에 따른 변화가 작지만, 매우 정밀한 위치 계산이 필요하기 때문에 오차 보정이 필수적이다.

위성의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2} \mathbf{a} t^2$

여기서: - $\mathbf{r}_0$ 는 초기 위치이다. - $\mathbf{v}_0$ 는 초기 속도이다. - $\mathbf{a}$ 는 가속도(궤도 운동에 의한 가속도)이다. - $t$ 는 시간이다.

이 수식을 통해 특정 시간에 위성이 있는 정확한 위치를 예측할 수 있다.

GNSS 신호 전파 지연 및 오차 요소

위성 항법 시스템에서 가장 큰 오차 요인 중 하나는 신호 전파 지연이다. 앞서 언급한 대류권 및 전리층의 영향을 포함하여, 여러 환경적 요소들이 위성 신호의 전파 속도에 영향을 미치고, 이는 수신기의 위치 계산 정확도에 큰 영향을 준다.

신호 전파 지연의 주요 오차 요소

위성 시계 오차: 위성의 원자시계는 매우 정밀하지만, 미세한 오차가 존재할 수 있으며, 이는 수신기에서 측정된 신호 전파 시간에 영향을 준다.
수신기 시계 오차: 수신기의 시계는 위성에 비해 덜 정밀하기 때문에, 수신기에서 발생하는 시간 오차를 보정하기 위한 추가 위성 신호가 필요하다.
대류권 및 전리층 지연: 대기권을 통과하면서 발생하는 신호 지연으로, 앞서 설명한 대류권과 전리층의 영향이 대표적인 오차 요인이다.

신호 전파 시간 계산

신호 전파 시간에 대한 오차 요소를 반영한 거리는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

$d = c (t_{\text{measured}} + \Delta t_{\text{clock}} + \Delta t_{\text{atmosphere}})$

여기서: - $d$ 는 위성과 수신기 사이의 거리이다. - $t_{\text{measured}}$ 는 측정된 신호 전파 시간이다. - $\Delta t_{\text{clock}}$ 는 시계 오차에 의한 추가적인 시간이다. - $\Delta t_{\text{atmosphere}}$ 는 대기권 및 전리층에 의한 신호 지연 시간이다. - $c$ 는 진공에서의 빛의 속도이다.

이러한 오차를 고려하여 수신기에서 최종 위치를 계산하게 되며, 이를 보정하기 위한 여러 보정 기법들이 동시에 사용된다.

GNSS 정확도 개선 기법

위성 항법 시스템에서 발생하는 오차 요소들을 최소화하기 위해, 여러 가지 보정 기법이 사용된다. 그 중 가장 널리 사용되는 방법으로는 SBAS(Satellite-Based Augmentation System)와 DGPS(Differential GPS) 등이 있다.

SBAS(Satellite-Based Augmentation System)

SBAS는 위성 기반 보정 시스템으로, 대기권 오차, 시계 오차, 궤도 오차 등을 보정하기 위한 정보를 별도의 위성을 통해 전송한다. 주요 SBAS 시스템으로는 미국의 WAAS, 유럽의 EGNOS, 일본의 MSAS 등이 있으며, 이러한 시스템은 GPS를 보완하여 정밀한 위치 측정을 가능하게 한다.

DGPS(Differential GPS)

DGPS는 지상 기반 보정 시스템으로, 고정된 기준 수신기가 위치 정보를 바탕으로 오차를 계산하고, 이를 이동 수신기로 전송하여 보정하는 방식이다. 이를 통해 수십 센티미터 수준의 정밀한 위치 측정이 가능해진다.

이러한 보정 기법들을 사용하면 GNSS의 위치 측정 정확도를 높일 수 있으며, 이는 항공, 해상, 농업, 자율 주행 등 다양한 응용 분야에서 사용된다.