멀티 조인트 로봇 시뮬레이션

멀티 조인트 로봇의 구조

멀티 조인트 로봇은 여러 개의 조인트(조인트)과 링크로 이루어져 있으며, 각 조인트는 서로 연결된 링크를 회전하거나 이동시키는 역할을 한다. 로봇의 각 링크는 좌표계와 연관되며, 링크 간의 관계는 로봇의 동작을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 이를 기반으로 URDF와 SDF 파일에서 멀티 조인트 로봇을 정의할 때 각 조인트의 운동학적 특성과 동역학적 특성을 정확히 모델링해야 한다.

조인트의 종류

로봇의 조인트는 크게 다음과 같은 몇 가지 종류로 분류된다:

회전 조인트: 하나의 축을 기준으로 링크가 회전한다.
프리즘 조인트: 직선 운동을 하는 조인트로, 한 축을 따라 링크가 이동한다.
고정 조인트: 링크 간에 상대적인 움직임이 없는 조인트이다.
유니버설 조인트: 두 축을 따라 회전 운동을 하는 조인트이다.

조인트의 종류에 따라 각 링크 간의 상호 작용을 정의하는 수식은 달라지며, 이를 바탕으로 로봇의 전체 운동 방정식을 구성하게 된다.

멀티 조인트 로봇의 운동학

멀티 조인트 로봇의 운동학은 각 링크와 조인트의 상대적인 위치와 자세를 나타내는 수식들로 정의된다. 이를 위해 먼저 각 링크에 대해 정의된 좌표계를 고려하며, 이를 연결하는 변환 행렬을 통해 로봇의 전반적인 자세를 표현할 수 있다.

정적 운동학

정적 운동학은 조인트 각도(또는 변위)가 주어졌을 때, 로봇의 끝단 위치와 자세를 구하는 문제이다. 이를 위해 Denavit-Hartenberg (DH) 파라미터를 이용해 각 조인트의 변환 행렬을 정의할 수 있다. 각 링크 간의 변환은 다음과 같은 행렬로 표현된다:

$\mathbf{T}_{i}^{i-1} = \begin{bmatrix} \cos \theta_i & -\sin \theta_i \cos \alpha_i & \sin \theta_i \sin \alpha_i & a_i \cos \theta_i \\ \sin \theta_i & \cos \theta_i \cos \alpha_i & -\cos \theta_i \sin \alpha_i & a_i \sin \theta_i \\ 0 & \sin \alpha_i & \cos \alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

여기서:

$\theta_i$ : 링크 $i$ 와 $i-1$ 을 연결하는 회전 각도
$d_i$ : 링크의 변위 (프리즘 조인트의 경우)
$a_i$ : 링크 길이
$\alpha_i$ : 링크 간의 트위스트 각도

이를 통해 멀티 조인트 로봇의 전체적인 위치와 자세를 구할 수 있으며, 이를 전진 운동학(Forward Kinematics)이라고 한다. 전진 운동학 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{T}_{n}^{0} = \mathbf{T}_{1}^{0} \cdot \mathbf{T}_{2}^{1} \cdot \dots \cdot \mathbf{T}_{n}^{n-1}$

따라서, 각 조인트의 위치와 회전 상태에 따라 끝단 링크의 위치와 자세가 결정된다.

역운동학 (Inverse Kinematics)

멀티 조인트 로봇의 역운동학은 로봇의 끝단 위치와 자세가 주어졌을 때, 각 조인트의 각도(또는 변위)를 구하는 문제이다. 이 문제는 전진 운동학보다 복잡하며, 특히 다수의 해가 존재하거나 해가 존재하지 않을 수도 있다. 일반적으로 역운동학 문제는 비선형 방정식으로 표현되며, 수치 해법을 통해 근사적으로 해를 구하는 경우가 많다.

역운동학의 일반적인 문제는 다음과 같이 주어진다:

$\mathbf{T}_{n}^{0} = \mathbf{T}_{\text{desired}}$

여기서 $\mathbf{T}_{\text{desired}}$ 는 목표로 하는 끝단의 위치와 자세를 나타내는 변환 행렬이다. 이때, 각 조인트의 회전 각도 $\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n$ 을 구하는 것이 역운동학 문제의 핵심이다.

역운동학의 해법

역운동학 문제를 푸는 여러 가지 방법이 있으며, 대표적인 방법으로는 기하학적 접근법, 해석적 접근법, 그리고 수치적 접근법이 있다.

기하학적 접근법: 로봇의 구조를 기반으로 삼각법을 이용해 각 조인트의 각도를 계산하는 방법이다. 이 방법은 2D 또는 3D 평면에서 간단한 로봇 팔의 경우에 적용하기 쉽다.
해석적 접근법: 주어진 변환 행렬을 수학적으로 풀어서 각 조인트 각도를 구하는 방법이다. 하지만 이 방법은 로봇의 구조가 복잡해질수록 매우 복잡해지며, 모든 로봇에 대해 적용하기 어렵다.
수치적 접근법: 역운동학 문제를 최적화 문제로 변환하여 반복적인 방법으로 해를 구하는 방식이다. 대표적인 방법으로는 Newton-Raphson 방법이나 Jacobian transpose 방법이 있다. 수치적 해법은 복잡한 로봇에 대해 널리 사용되며, 다수의 해 또는 해가 없는 경우를 처리할 수 있다.

Jacobian 행렬

역운동학을 푸는 데 자주 사용되는 개념 중 하나가 Jacobian 행렬이다. 이는 조인트의 속도와 끝단의 속도 간의 관계를 나타내는 행렬로, 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \boldsymbol{\theta}}$

여기서:

$\mathbf{x}$ 는 끝단의 위치와 자세 벡터
$\boldsymbol{\theta} = [\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n]$ 는 조인트 각도 벡터

Jacobian 행렬을 이용하면, 조인트 공간에서의 미세한 변화를 직교 공간에서의 미세한 변화로 변환할 수 있다. 이를 통해 작은 시간 간격 동안 조인트 각도의 변화를 추적하여 역운동학 문제를 해결할 수 있다.

Jacobian 역행렬을 통한 역운동학

Jacobian 행렬의 역행렬을 이용해 끝단의 속도를 조인트 속도로 변환할 수 있다. 이를 통해 역운동학을 다음과 같이 풀 수 있다:

$\Delta \boldsymbol{\theta} = \mathbf{J}^{-1} \Delta \mathbf{x}$

여기서:

$\Delta \mathbf{x}$ 는 끝단의 위치 및 자세 변화
$\Delta \boldsymbol{\theta}$ 는 각 조인트의 각도 변화

다만, Jacobian 행렬의 역행렬이 항상 존재하는 것은 아니며, 특이점(singularity) 근처에서는 역행렬이 존재하지 않거나 값이 매우 커질 수 있다. 이를 해결하기 위해 가역 Jacobian 행렬(pseudo-inverse)을 사용하거나, 특이점 회피 알고리즘을 적용하기도 한다.

멀티 조인트 로봇의 동역학

멀티 조인트 로봇의 동역학은 로봇이 시간에 따라 어떻게 움직이는지를 설명하는 방정식을 다룬다. 동역학 방정식은 뉴턴의 운동 법칙과 토크 방정식을 기반으로 하며, 각 링크의 질량, 관성, 마찰 등의 물리적 특성을 포함한다.

운동 방정식

멀티 조인트 로봇의 운동 방정식은 일반적으로 Euler-Lagrange 방정식 또는 Newton-Euler 방정식으로 표현된다. Euler-Lagrange 방정식은 에너지를 기반으로 하며, 다음과 같은 형태로 표현된다:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol{\theta}}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\theta}} = \mathbf{\tau}$

여기서:

$L = T - V$ 는 라그랑지언(Lagrangian)으로, $T$ 는 운동 에너지, $V$ 는 위치 에너지
$\boldsymbol{\theta}$ 는 조인트 각도 벡터
$\dot{\boldsymbol{\theta}}$ 는 조인트 각도 속도 벡터
$\mathbf{\tau}$ 는 조인트 토크 벡터

이를 통해 로봇의 각 조인트에 필요한 토크를 계산하고, 주어진 입력에 따라 로봇이 어떻게 움직이는지 예측할 수 있다.

Newton-Euler 방정식

Newton-Euler 방정식은 멀티 조인트 로봇의 각 링크에 작용하는 힘과 토크를 기반으로 로봇의 동작을 설명하는 방식이다. 이는 각 링크의 회전 및 선형 운동을 고려하며, 다음과 같은 일반적인 형태로 표현된다:

$\mathbf{F}_i = m_i \mathbf{a}_i$

$\mathbf{\tau}_i = \mathbf{I}_i \dot{\mathbf{\omega}}_i + \mathbf{\omega}_i \times \mathbf{I}_i \mathbf{\omega}_i$

여기서:

$\mathbf{F}_i$ : 링크 $i$ 에 작용하는 힘
$m_i$ : 링크 $i$ 의 질량
$\mathbf{a}_i$ : 링크 $i$ 의 선형 가속도
$\mathbf{\tau}_i$ : 링크 $i$ 에 작용하는 토크
$\mathbf{I}_i$ : 링크 $i$ 의 관성 행렬
$\mathbf{\omega}_i$ : 링크 $i$ 의 각속도
$\dot{\mathbf{\omega}}_i$ : 링크 $i$ 의 각 가속도

Newton-Euler 방정식은 각 링크에 대해 반복적으로 적용되어 로봇의 전체 운동 방정식을 구할 수 있다. 이 방법은 각각의 링크에서 발생하는 힘과 토크를 고려하며, 이는 로봇의 전체적인 움직임에 중요한 역할을 한다.

역동역학

역동역학은 로봇의 동작이 주어졌을 때, 해당 동작을 수행하기 위해 각 조인트에 요구되는 힘과 토크를 계산하는 문제이다. 역동역학은 제어 알고리즘에서 주로 사용되며, 로봇의 원하는 궤적을 따라가기 위한 제어 명령을 생성하는 데 필요한 정보를 제공한다.

역동역학 문제는 다음과 같은 방정식으로 주어진다:

$\mathbf{\tau} = \mathbf{M}(\boldsymbol{\theta}) \ddot{\boldsymbol{\theta}} + \mathbf{C}(\boldsymbol{\theta}, \dot{\boldsymbol{\theta}}) \dot{\boldsymbol{\theta}} + \mathbf{G}(\boldsymbol{\theta})$

여기서:

$\mathbf{\tau}$ : 조인트에 필요한 토크 벡터
$\mathbf{M}(\boldsymbol{\theta})$ : 로봇의 관성 행렬
$\mathbf{C}(\boldsymbol{\theta}, \dot{\boldsymbol{\theta}})$ : 코리올리스와 원심력 항
$\mathbf{G}(\boldsymbol{\theta})$ : 중력 항

역동역학은 멀티 조인트 로봇의 동역학을 풀어, 로봇이 특정 궤적을 따르도록 하는 힘과 토크를 계산하는 데 사용된다.

멀티 조인트 로봇의 동역학 시뮬레이션

멀티 조인트 로봇의 동역학 시뮬레이션은 각 링크와 조인트의 물리적 특성을 고려하여, 로봇의 동작을 정확히 예측하는 데 중점을 둔다. 이 과정에서 URDF 또는 SDF 파일을 이용해 로봇의 모델을 정의하고, 물리 엔진을 사용해 로봇의 움직임을 시뮬레이션할 수 있다.

URDF에서의 동역학적 특성 정의

URDF 파일에서는 각 링크의 질량, 관성, 마찰 등의 물리적 특성을 정의할 수 있다. 이러한 특성들은 URDF의 <inertial>, <mass>, <inertia> 태그를 통해 설정된다. 예를 들어, 링크의 질량과 관성은 다음과 같이 정의될 수 있다:

<inertial>
  <mass value="1.0"/>
  <inertia ixx="0.1" ixy="0.0" ixz="0.0" iyy="0.1" iyz="0.0" izz="0.1"/>
</inertial>

여기서 mass는 링크의 질량을, inertia는 링크의 관성 행렬을 나타낸다.

SDF에서의 동역학적 특성 정의

SDF 파일에서는 URDF보다 더 정밀하게 로봇의 물리적 특성을 정의할 수 있으며, 다양한 물리 엔진을 지원한다. SDF에서는 링크의 물리적 특성을 다음과 같이 정의할 수 있다:

<inertial>
  <mass>1.0</mass>
  <inertia>
    <ixx>0.1</ixx>
    <iyy>0.1</iyy>
    <izz>0.1</izz>
    <ixy>0.0</ixy>
    <ixz>0.0</ixz>
    <iyz>0.0</iyz>
  </inertia>
</inertial>

SDF 파일은 또한 다양한 물리 엔진과의 호환성을 고려하여 마찰, 감쇠 등의 추가적인 물리 특성을 정의할 수 있다.

멀티 조인트 로봇의 충돌 처리

멀티 조인트 로봇 시뮬레이션에서 충돌 처리도 매우 중요한 부분이다. 로봇의 각 링크가 환경 내의 물체와 충돌하거나 서로 간에 충돌할 때 이를 정확히 처리하지 않으면 시뮬레이션 결과가 부정확하게 나타날 수 있다. 물리 엔진에서는 충돌 처리 알고리즘을 통해 이러한 상호작용을 시뮬레이션하게 된다.

충돌 모델의 정의

URDF 또는 SDF 파일에서는 로봇의 링크마다 충돌 모델을 정의할 수 있다. 충돌 모델은 일반적으로 간단한 기하학적 형상(박스, 실린더, 구) 또는 복잡한 메쉬 모델로 정의된다. 이는 URDF/SDF에서 <collision> 태그를 사용하여 설정할 수 있다.

예를 들어, 간단한 박스 형상의 충돌 모델은 다음과 같이 정의된다:

<collision>
  <geometry>
    <box>
      <size>0.5 0.5 0.5</size>
    </box>
  </geometry>
</collision>

충돌 모델은 실제 로봇의 물리적 상호작용을 정의하기 위해 필수적이며, 정확한 시뮬레이션을 위해서는 물리 엔진에서 이를 처리해야 한다.

충돌 감지 알고리즘

충돌 감지 알고리즘은 로봇의 링크와 외부 물체가 충돌하는 순간을 감지하고, 그에 따라 힘과 토크를 계산한다. 충돌이 발생하면 물리 엔진은 충돌 지점에서 발생하는 힘을 계산하고, 이를 통해 로봇의 동작이 변화한다.

충돌 감지에는 여러 가지 방법이 있으며, 대표적인 방법으로 AABB (Axis-Aligned Bounding Box), OBB (Oriented Bounding Box), GJK (Gilbert-Johnson-Keerthi) 알고리즘이 있다.

AABB: 충돌할 수 있는 두 물체를 포함하는 축 정렬 경계 상자를 만들고, 그 상자들이 겹치는지 확인하는 방식이다. 빠른 충돌 감지에 적합하지만, 정확도가 떨어질 수 있다.
OBB: 물체의 방향을 고려한 경계 상자를 사용하여 충돌 여부를 판단하는 방식으로, AABB보다 더 정확하지만 계산 비용이 높을 수 있다.
GJK: 두 물체 간의 최소 거리를 계산하여 충돌 여부를 판단하는 방식이다. 복잡한 형상에도 적용 가능하며, 비교적 정확한 충돌 처리가 가능하다.

충돌 후 반응

충돌이 발생한 후 물리 엔진은 충돌 지점에서 발생하는 힘과 토크를 계산하여, 이를 로봇의 동작에 반영한다. 예를 들어, 로봇의 팔이 벽과 충돌할 경우, 충돌 지점에서 반작용력이 발생하여 로봇의 움직임이 변화하게 된다.

물리 엔진에서는 일반적으로 탄성 충돌과 비탄성 충돌을 고려한다. 탄성 충돌에서는 물체가 충돌 후 반사되며, 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체가 에너지를 잃고 멈추거나 속도가 줄어든다. 이러한 충돌 특성은 URDF 또는 SDF 파일에서 설정할 수 있으며, 시뮬레이션의 정확성을 높이기 위해 중요한 요소로 작용한다.

멀티 조인트 로봇 시뮬레이션의 성능 최적화

멀티 조인트 로봇 시뮬레이션은 계산량이 매우 많기 때문에, 성능 최적화가 필요하다. 특히 물리 엔진에서 많은 링크와 조인트, 복잡한 충돌 처리를 다룰 때 시뮬레이션 성능이 저하될 수 있다. 이를 해결하기 위해 여러 가지 최적화 기법을 적용할 수 있다.

충돌 모델 간소화

복잡한 충돌 모델을 간소화하면 시뮬레이션 속도를 크게 향상시킬 수 있다. 복잡한 메쉬 모델 대신 간단한 기하학적 형상(박스, 구, 실린더 등)을 사용하는 것이 대표적인 방법이다. 간단한 충돌 모델을 사용하면 물리 엔진에서 충돌 감지와 처리에 필요한 계산량을 줄일 수 있다.

물리 엔진 설정 최적화

물리 엔진의 다양한 설정을 최적화하여 시뮬레이션 성능을 향상시킬 수 있다. 예를 들어, 물리 엔진의 시뮬레이션 시간 스텝을 조정하여 시뮬레이션 속도를 높이거나, 충돌 감지의 정확도를 낮춰 성능을 최적화할 수 있다. 이는 SDF 파일에서 설정할 수 있으며, 시뮬레이션 목적에 따라 적절한 타협점을 찾는 것이 중요하다.

멀티스레드 및 병렬 처리

로봇의 링크와 조인트가 많을수록 계산량이 기하급수적으로 증가할 수 있다. 이를 해결하기 위해 물리 엔진에서 멀티스레드 또는 병렬 처리를 지원하는 경우, 이를 활용하여 계산 성능을 높일 수 있다. 특히 대규모 로봇 시스템을 시뮬레이션할 때 유용하다.

URDF와 xacro의 효율적 사용

복잡한 URDF 파일을 직접 작성하는 대신, xacro를 사용하여 반복적인 구조를 간소화하고, 코드 재사용성을 높임으로써 모델 정의 시간을 단축할 수 있다. 이를 통해 URDF 파일의 가독성을 높이고, 관리와 수정이 용이해지며, 시뮬레이션 성능에도 긍정적인 영향을 미칠 수 있다.