링크와 조인트의 관계

링크 정의

URDF에서 링크는 로봇의 개별 구성 요소를 의미하며, 각 링크는 로봇의 물리적 부품에 대응한다. 링크는 관성, 시각적 요소, 충돌 모델 등 다양한 특성을 정의할 수 있으며, 로봇의 몸체나 조인트에 해당하는 물리적인 객체로 생각할 수 있다.

링크의 핵심 요소는 다음과 같다:
질량: 로봇이 가진 질량, 일반적으로 킬로그램(kg) 단위로 표현된다.
관성 텐서: 로봇의 회전 운동에 저항하는 특성을 나타내며, 링크의 관성을 표현하는 3x3 대칭 행렬 $\mathbf{I}$ 로 정의된다.
충돌 모델: 로봇의 물리적 충돌을 처리하는 데 사용되는 기하학적 모델.
시각적 모델: 링크를 그래픽으로 표현하는 기하학적 모델.

수학적으로 링크의 관성 텐서는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix}$

여기서 $I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}$ 는 링크의 주축에 대한 관성 모멘트이며, $I_{xy}, I_{xz}, I_{yz}$ 는 링크의 상호 관성 모멘트이다.

조인트 정의

조인트는 두 개의 링크를 연결하는 요소로서, 로봇의 동작을 가능하게 하는 중요한 구성 요소이다. 조인트는 회전, 직선 운동 등 다양한 동작을 정의하며, 조인트의 종류에 따라 링크 간의 움직임이 결정된다.

조인트의 종류는 크게 6가지로 분류된다: 1. 회전 조인트 (Revolute Joint): 링크가 특정 축을 중심으로 회전하는 조인트. 2. 프리즘 조인트 (Prismatic Joint): 링크가 직선으로 움직이는 조인트. 3. 연속 조인트 (Continuous Joint): 회전 조인트와 유사하나, 회전이 무한하게 가능하다. 4. 고정 조인트 (Fixed Joint): 링크 간의 상대적인 움직임이 없는 조인트. 5. 플로팅 조인트 (Floating Joint): 링크가 자유롭게 움직일 수 있는 조인트. 6. 플래너 조인트 (Planar Joint): 링크가 평면 상에서 이동하는 조인트.

각 조인트는 링크 간의 상대적인 위치나 방향을 제어하는 데 중요한 역할을 하며, 이러한 특성을 URDF에서 수학적으로 정의할 수 있다.

링크와 조인트의 관계는 조인트가 두 개의 링크를 연결하여 그 사이에 상대적인 움직임을 허용하는 방식으로 형성된다. 이때 각 링크는 한 개 이상의 조인트에 의해 연결될 수 있으며, URDF 파일에서 두 링크 사이의 관계를 수학적으로 정의할 수 있다.

조인트는 두 링크 간의 상대적인 변환 $\mathbf{T}$ 를 나타내며, 변환 행렬은 회전 및 이동을 포함한 기하학적 변환을 수식으로 표현한다. 링크 $i$ 와 링크 $j$ 사이의 상대적인 변환은 다음과 같은 4x4 동차 변환 행렬 $\mathbf{T}_{ij}$ 로 정의될 수 있다:

$\mathbf{T}_{ij} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{R}$ 은 회전 행렬, $\mathbf{d}$ 는 변위 벡터이다. 이 변환 행렬을 사용하여 두 링크 간의 위치 및 방향 관계를 정의할 수 있다.

링크와 조인트 간의 변환 관계

조인트는 두 링크 사이의 상대적인 위치와 방향을 제어하며, 링크 간의 좌표 변환을 가능하게 한다. 이 변환은 일반적으로 두 가지 요소로 구성된다:

회전 변환 ( $\mathbf{R}$ ): 링크 간의 상대적인 회전은 3x3 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 로 표현된다. 이 회전 행렬은 로봇의 각도 또는 축 회전을 정의하며, 회전 행렬은 직교 행렬로서 다음 성질을 만족한다:

$\mathbf{R}^T \mathbf{R} = \mathbf{I}, \quad \det(\mathbf{R}) = 1$

변위 변환 ( $\mathbf{d}$ ): 두 링크 간의 상대적인 이동은 3x1 변위 벡터 $\mathbf{d}$ 로 표현된다. 변위는 링크의 기준 좌표계에서 다른 링크의 기준 좌표계로의 이동을 나타낸다.

이러한 회전 및 변위 변환을 합친 동차 변환 행렬은 두 링크 사이의 관계를 완전히 정의하며, 4x4 행렬로 표현된다:

$\mathbf{T}_{ij} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{d} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

조인트와 운동학적 사슬

로봇에서 여러 링크와 조인트가 연속적으로 연결된 구조를 운동학적 사슬이라 부른다. 이러한 사슬은 로봇의 자유도를 결정하며, 각 조인트가 허용하는 자유도에 따라 링크들이 서로 다른 방식으로 움직일 수 있다.

URDF에서 운동학적 사슬을 정의할 때, 각 조인트는 부모 링크와 자식 링크를 연결하는 방식으로 구조화된다. 운동학적으로, 부모 링크에서 자식 링크로 변환을 수행할 때, 조인트의 변환이 이 과정을 주도한다. 두 링크가 조인트에 의해 연결된 경우, 두 링크 사이의 변환 관계는 조인트의 위치 및 방향과 직접적인 연관이 있다.

만약 링크 $i$ 와 링크 $j$ 가 조인트 $k$ 에 의해 연결된다면, 링크 $i$ 의 기준 좌표계에서 링크 $j$ 의 좌표계로의 변환은 다음과 같이 표현될 수 있다:

$\mathbf{T}_{i \to j} = \mathbf{T}_i \mathbf{T}_k \mathbf{T}_j$

여기서 $\mathbf{T}_i$ , $\mathbf{T}_k$ , $\mathbf{T}_j$ 는 각각 부모 링크, 조인트, 자식 링크의 변환 행렬이다. 각 변환 행렬은 링크 간의 상대적인 위치와 방향을 나타낸다.

동역학 모델에서의 역할

링크와 조인트의 관계는 로봇의 동역학적 모델에서 중요한 역할을 한다. 조인트는 링크 간의 상대적 움직임을 제한하고 제어할 수 있는 요소로, 이를 통해 로봇의 운동 방정식이 결정된다.

링크 $i$ 의 운동 방정식은 뉴턴-오일러 방정식을 사용하여 정의할 수 있다:

$\mathbf{F}_i = m_i \mathbf{a}_i$

$\mathbf{\tau}_i = \mathbf{I}_i \mathbf{\alpha}_i + \mathbf{\omega}_i \times (\mathbf{I}_i \mathbf{\omega}_i)$

여기서 $\mathbf{F}_i$ 는 링크에 작용하는 힘, $\mathbf{\tau}_i$ 는 토크, $m_i$ 는 질량, $\mathbf{a}_i$ 는 가속도, $\mathbf{\alpha}_i$ 는 각가속도, $\mathbf{\omega}_i$ 는 각속도를 나타낸다. 조인트는 이러한 링크 간의 힘과 토크 전달을 제어하는 역할을 하며, 링크의 동작을 제한하거나 구동하는 데 기여한다.

조인트의 제약 조건

조인트는 링크 간의 상대적인 움직임을 제어하는 요소로, 각 조인트는 특정한 자유도(Degree of Freedom, DOF)를 허용한다. 각 조인트의 제약 조건에 따라 링크의 운동 범위가 결정된다.

회전 조인트 (Revolute Joint)

회전 조인트는 특정 축을 기준으로 회전하는 동작을 허용하며, 단일 회전 축에 대한 자유도 하나를 제공한다. 회전 각도는 제한 범위가 있으며, URDF에서 회전 범위는 각도 제한으로 설정된다.

회전 조인트의 회전 각도 $\theta$ 는 다음과 같은 관계로 표현될 수 있다:

$\mathbf{R}_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

프리즘 조인트 (Prismatic Joint)

프리즘 조인트는 링크 간의 직선 운동을 허용하며, 직선 운동 축에 대한 자유도 하나를 제공한다. URDF에서 프리즘 조인트는 이동 거리의 제한을 설정할 수 있다. 링크 간의 이동 거리 $d$ 는 변위 벡터 $\mathbf{d}$ 로 정의된다.

$\mathbf{d} = \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ d_z \end{bmatrix}$

연속 조인트 (Continuous Joint)

연속 조인트는 회전 조인트와 유사하지만, 각도 제한이 없으며 무한히 회전할 수 있는 조인트다. 이 조인트는 일반적으로 바퀴나 회전 구동 장치에서 사용된다.

고정 조인트 (Fixed Joint)

고정 조인트는 두 링크 간에 상대적인 움직임이 없도록 설정한다. 따라서 이 조인트는 자유도가 없으며, 링크 간의 고정된 변환 관계를 유지한다.

플로팅 조인트 (Floating Joint)

플로팅 조인트는 링크가 공간에서 자유롭게 움직일 수 있도록 허용하며, 6개의 자유도를 제공한다. 즉, 3개의 회전 자유도와 3개의 직선 운동 자유도를 갖는다. 이러한 조인트는 자유롭게 움직이는 객체를 모델링할 때 사용된다.

플래너 조인트 (Planar Joint)

플래너 조인트는 링크가 2차원 평면 상에서 이동할 수 있도록 허용하며, 3개의 자유도(평면 내의 두 개의 이동과 하나의 회전)를 제공한다.

조인트의 제약 조건 수식화

조인트는 각 링크의 움직임을 제한하는 역할을 한다. 이러한 제약 조건을 수식으로 표현할 수 있으며, URDF에서 조인트의 제약 조건을 설정함으로써 로봇의 움직임을 제어할 수 있다.

예를 들어, 회전 조인트의 경우, 회전 각도 $\theta$ 가 특정 범위 내에서 제한될 수 있다. URDF에서 이러한 제한은 최소 각도 $\theta_{\min}$ 와 최대 각도 $\theta_{\max}$ 로 설정된다:

$\theta_{\min} \leq \theta \leq \theta_{\max}$

프리즘 조인트의 경우, 이동 거리 $d$ 도 제한될 수 있다:

$d_{\min} \leq d \leq d_{\max}$

이러한 제약 조건을 통해 로봇의 조인트가 가질 수 있는 운동 범위가 결정된다.

링크와 조인트의 상호작용

링크와 조인트는 상호작용하여 로봇의 운동을 형성한다. 링크는 물리적인 특성을 가지고 있으며, 조인트는 이러한 링크 간의 상대적인 운동을 정의한다. 링크와 조인트의 관계를 적절하게 설정함으로써 URDF 파일에서 로봇의 동작을 시뮬레이션할 수 있다.

각 링크는 하나 이상의 조인트에 의해 연결되며, 조인트는 링크 간의 물리적 관계를 정의한다. 이때 조인트의 움직임은 로봇의 동역학적 거동에 영향을 미치며, 링크 간의 힘과 토크 전달이 조인트에 의해 결정된다.