빛의 반사와 굴절 - 소프트웨어 융합

반사의 법칙

빛이 한 매질에서 다른 매질로 진행할 때, 매질의 경계면에서 일부는 반사되고 일부는 굴절된다. 반사의 경우, 입사각과 반사각 사이의 관계는 다음과 같다.

반사의 법칙에 따르면, 입사각과 반사각은 항상 같으며, 반사된 빛은 경계면의 법선과 동일한 평면 상에 존재한다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

입사각 $\theta_i$ 와 반사각 $\theta_r$ 는 다음 관계식을 만족한다.

$\theta_i = \theta_r$

여기서 $\theta_i$ 는 입사각, $\theta_r$ 는 반사각이다. 반사된 빛은 입사된 빛과 경계면의 법선이 이루는 평면 내에서 움직인다.

굴절의 법칙

굴절은 빛이 한 매질에서 다른 매질로 통과할 때 발생한다. 이 과정에서 빛의 속도는 매질의 굴절률에 따라 달라진다. 굴절의 법칙은 스넬의 법칙(Snell's law)으로 표현되며, 이는 다음과 같다.

$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_t$

여기서, - $n_1$ 은 빛이 입사하는 매질의 굴절률, - $n_2$ 는 빛이 굴절되는 매질의 굴절률, - $\theta_i$ 는 입사각, - $\theta_t$ 는 굴절각이다.

이 법칙에 따르면, 빛의 속도는 굴절률에 반비례하며, 입사각과 굴절각은 각 매질의 굴절률에 따라 결정된다.

굴절률

굴절률은 매질 내에서 빛의 속도가 진공에서의 빛의 속도에 비해 얼마나 느린지를 나타낸다. 매질의 굴절률 $n$ 은 다음과 같이 정의된다.

$n = \frac{c}{v}$

여기서, - $c$ 는 진공에서의 빛의 속도 ( $3 \times 10^8 \, \mathrm{m/s}$ ), - $v$ 는 해당 매질에서의 빛의 속도이다.

굴절률이 큰 매질일수록 빛은 그 매질에서 더 느리게 진행한다. 예를 들어, 유리의 굴절률은 약 1.5이고, 물의 굴절률은 약 1.33이다.

경계면에서의 반사와 굴절

빛이 서로 다른 굴절률을 가진 두 매질의 경계면을 만났을 때, 일부 빛은 반사되고 일부는 굴절된다. 경계면에서의 반사와 굴절에 따른 에너지 분포는 프레넬 방정식(Fresnel equations)을 통해 계산된다. 이 방정식은 입사각, 굴절률, 편광 상태에 따라 반사 및 굴절된 빛의 강도를 결정한다.

프레넬 방정식은 수직 편광(입사 평면에 수직한 방향으로 진동하는 빛)과 평행 편광(입사 평면에 평행한 방향으로 진동하는 빛)에 대해 다르게 정의된다.

수직 편광의 경우 (TE 모드)

입사한 빛이 수직 편광을 가질 때, 반사 계수 $r_\perp$ 와 굴절 계수 $t_\perp$ 는 다음과 같다.

반사 계수:

$r_\perp = \frac{n_1 \cos \theta_i - n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i + n_2 \cos \theta_t}$

굴절 계수:

$t_\perp = \frac{2 n_1 \cos \theta_i}{n_1 \cos \theta_i + n_2 \cos \theta_t}$

평행 편광의 경우 (TM 모드)

입사한 빛이 평행 편광을 가질 때, 반사 계수 $r_\parallel$ 와 굴절 계수 $t_\parallel$ 는 다음과 같다.

반사 계수:

$r_\parallel = \frac{n_2 \cos \theta_i - n_1 \cos \theta_t}{n_2 \cos \theta_i + n_1 \cos \theta_t}$

굴절 계수:

$t_\parallel = \frac{2 n_1 \cos \theta_i}{n_2 \cos \theta_i + n_1 \cos \theta_t}$

전반사

전반사는 빛이 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 진행할 때, 특정한 조건에서 굴절이 일어나지 않고 모든 빛이 반사되는 현상이다. 전반사가 발생하려면 입사각이 임계각 $\theta_c$ 이상이어야 한다. 임계각은 다음과 같이 계산된다.

$\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

여기서 $n_1 > n_2$ 이다.

임계각 이상에서 입사한 빛은 경계면에서 완전히 반사되며, 이는 광섬유 통신에서 매우 중요한 역할을 한다.

브루스터 각

브루스터 각은 빛이 경계면에서 반사될 때, 반사된 빛이 완전히 편광되는 각도를 의미한다. 이 각도에서는 반사된 빛이 입사 평면에 수직하게 편광된다. 브루스터 각 $\theta_B$ 는 다음과 같이 계산된다.

$\theta_B = \tan^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

브루스터 각에서 반사된 빛은 수직 편광을 가지며, 광학 장치에서 편광 필터로 활용될 수 있다.

에반에선트 파동

전반사가 발생할 때, 빛의 모든 에너지가 반사되는 것이 아니라, 굴절된 매질로 일정한 깊이까지 침투하는 비감쇠 파동이 존재하게 된다. 이 파동을 에반에선트 파동(Evanescent wave)이라 부르며, 에너지의 흐름은 실제로 굴절된 매질 내부로 전파되지 않지만, 전기장과 자기장의 진동은 매질의 경계에서 소멸되지 않고 일부 확산된다.

에반에선트 파동은 매질의 경계면에서 진폭이 기하급수적으로 감소하며, 그 침투 깊이 $d$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$d = \frac{\lambda}{2 \pi n_1 \sin \theta_i}$

여기서, - $\lambda$ 는 빛의 파장, - $n_1$ 은 빛이 진행하는 매질의 굴절률, - $\theta_i$ 는 입사각이다.

에반에선트 파동은 전반사 현상 외에도 광학 트랩, 표면 플라즈몬 공명(SPR) 등의 다양한 응용에서 중요한 역할을 한다.

다중 반사

빛이 얇은 막 혹은 두 개의 평행한 반사면 사이에서 다중 반사를 할 때, 서로 다른 경로를 따라 반사된 빛들이 서로 간섭을 일으킬 수 있다. 얇은 막에서의 간섭은 광학 필터, 코팅, 얇은 막 렌즈 등에서 매우 중요한 개념이다.

얇은 막에서 발생하는 간섭은 빛의 위상이 막을 통과하면서 변화하기 때문에 일어난다. 얇은 막의 두께 $d$ , 입사각 $\theta_i$ , 빛의 파장 $\lambda$ 에 따라 간섭이 발생할 조건은 다음과 같다.

간섭이 보강되는 조건 (건설적 간섭)은 다음과 같이 주어진다.

$2 n d \cos \theta_t = m \lambda$

여기서, - $n$ 은 얇은 막의 굴절률, - $d$ 는 막의 두께, - $\theta_t$ 는 굴절각, - $m$ 은 정수이다.

반대로, 간섭이 상쇄되는 조건(파괴적 간섭)은 다음과 같다.

$2 n d \cos \theta_t = (m + \frac{1}{2}) \lambda$

이러한 얇은 막 간섭은 다양한 광학 소자에서 필수적인 설계 요소로 사용된다.

포화 반사

포화 반사는 비선형 광학 현상 중 하나로, 고강도의 빛이 매질에 입사할 때 반사 계수가 강도에 따라 감소하는 현상이다. 이는 매질의 원자나 분자가 더 이상 추가적인 흡수를 하지 못하는 경우에 발생하며, 고출력 레이저 시스템에서 관찰된다. 포화 반사는 레이저와 같은 고강도 광원에서 중요한 응용을 갖는다.

비선형 굴절

비선형 광학에서는 빛의 강도에 따라 매질의 굴절률이 변하는 현상이 발생한다. 이러한 비선형 굴절은 빛의 강도가 매우 높을 때, 즉 일반적인 조건에서는 발생하지 않는 특수한 환경에서 나타난다. 비선형 굴절률 $n$ 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$n = n_0 + n_2 I$

여기서, - $n_0$ 는 저강도에서의 굴절률(선형 굴절률), - $n_2$ 는 비선형 굴절률 계수, - $I$ 는 빛의 강도이다.

비선형 굴절은 자가 초점(Self-focusing)이나 자가 위상 변조(Self-phase modulation)와 같은 비선형 광학 현상의 기초가 된다.

자가 초점 (Self-focusing)

자가 초점 현상은 고강도의 빛이 비선형 매질을 통과할 때 매질의 굴절률이 빛의 강도에 따라 변하여, 빛이 스스로 초점을 맞추는 현상이다. 이로 인해 빛은 확산되지 않고 점점 좁아지며, 결국 파괴적인 강도로 집중될 수 있다. 이는 초강력 레이저의 빔 전달 과정에서 중요한 역할을 한다.

자가 위상 변조 (Self-phase modulation)

자가 위상 변조는 빛이 비선형 매질을 통과할 때, 빛의 강도 변화에 의해 위상이 변화하는 현상이다. 이는 주로 광섬유 통신에서 고출력 레이저 펄스가 매질을 통과할 때 발생하며, 빛의 스펙트럼이 넓어지는 결과를 초래한다. 자가 위상 변조는 다음과 같은 식으로 설명된다.

$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} n_2 I L$

여기서, - $\Delta \phi$ 는 위상 변화, - $L$ 은 매질의 길이, - $I$ 는 빛의 강도이다.

이 현상은 고강도 빛이 매질을 통과할 때 스펙트럼 확장 및 시간 영역에서의 왜곡을 일으킬 수 있어, 고출력 광학 장치 설계 시 고려해야 한다.

분산

분산은 빛의 속도가 파장에 따라 변하는 현상으로, 주로 빛이 매질을 통과할 때 나타난다. 굴절률이 파장에 따라 달라지면 빛은 색깔에 따라 다르게 굴절되고, 이로 인해 프리즘 효과나 무지개 현상이 나타난다.

매질의 굴절률이 파장에 따라 어떻게 변화하는지는 분산 계수로 설명할 수 있다. 분산이 발생하는 매질의 굴절률 $n(\lambda)$ 은 일반적으로 특정 함수로 나타나며, 이를 설명하는 대표적인 식은 셀마이어 방정식(Sellmeier equation)이다.

셀마이어 방정식은 다음과 같다.

$n^2(\lambda) = 1 + \sum_{i=1}^{N} \frac{B_i \lambda^2}{\lambda^2 - C_i}$

여기서, - $B_i$ , $C_i$ 는 매질에 따라 결정되는 상수, - $\lambda$ 는 빛의 파장이다.

이 방정식은 주로 유리, 수정 등과 같은 투명한 매질의 분산 특성을 설명하는 데 사용된다.

색수차

색수차는 분산으로 인해 다양한 파장의 빛이 서로 다른 각도로 굴절되면서, 이미지의 경계선에 색이 번지거나 왜곡되는 현상이다. 렌즈에서 이 현상이 나타나며, 파란색과 빨간색 빛이 서로 다른 위치에 초점을 맞추게 된다.

색수차는 광학 설계에서 매우 중요한 고려 사항이며, 이를 최소화하기 위해 아크로매틱 렌즈(Achromatic lens)와 같은 보정 장치가 사용된다.