기하 광학 - 소프트웨어 융합

기하 광학(Geometrical Optics)은 빛을 광선(rays)으로 모델링하여 빛의 전파를 설명하는 접근 방식이다. 이 이론은 주로 빛의 경로와 빛이 매질의 경계를 만날 때 발생하는 현상들을 다룬다. 이러한 경계에서는 빛의 굴절(refraction) 및 반사(reflection)가 발생하며, 이를 설명하기 위해 스넬의 법칙(Snell's Law)과 반사 법칙(Law of Reflection)이 사용된다.

광선 모델

기하 광학에서 빛은 매우 작은 크기의 직선적인 광선으로 취급된다. 이러한 광선 모델은 파장이 매우 짧다고 가정하며, 실제 빛의 파동적 특성은 무시된다. 따라서, 이론적으로 광선은 한 점에서 출발하여 직선으로 무한히 뻗어나가는 것으로 가정할 수 있다. 광선은 다음과 같은 기본적인 규칙을 따른다.

직진성: 광선은 균일한 매질에서 직진한다.
반사: 광선은 매질의 경계에서 반사되며, 반사각은 입사각과 같다.
굴절: 광선은 매질의 경계에서 굴절되며, 굴절각은 스넬의 법칙에 의해 결정된다.

반사의 법칙

반사의 법칙(Law of Reflection)은 평면 거울과 같은 반사 표면에서 빛이 반사되는 방식을 설명한다. 반사 법칙은 다음과 같다.

$\theta_i = \theta_r$

여기서 $\theta_i$ 는 입사각(angle of incidence)이고, $\theta_r$ 는 반사각(angle of reflection)이다. 이는 빛이 반사될 때, 입사광선과 반사광선은 경계면의 법선(normal)과 대칭적으로 배치된다는 의미이다.

스넬의 법칙

스넬의 법칙(Snell's Law)은 서로 다른 두 매질 사이에서 빛이 굴절되는 현상을 설명한다. 매질마다 다른 굴절률(refractive index)을 가지므로, 빛은 매질에 따라 전파 속도가 달라지고 이에 따라 굴절이 발생한다. 스넬의 법칙은 다음과 같이 표현된다.

$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$

여기서: - $n_1$ , $n_2$ 는 각각 첫 번째 매질과 두 번째 매질의 굴절률이다. - $\theta_1$ , $\theta_2$ 는 각각 입사각과 굴절각이다.

매질의 굴절률

매질의 굴절률 $n$ 은 매질 내에서 빛의 속도와 진공에서의 빛의 속도 간의 비율로 정의된다. 즉,

$n = \frac{c}{v}$

여기서: - $c$ 는 진공에서의 빛의 속도이고, $v$ 는 해당 매질에서의 빛의 속도이다.

굴절률이 큰 매질은 빛의 속도가 느려지고, 그 결과 굴절각이 작아진다. 이는 빛이 덜 굴절된다는 의미이다. 예를 들어, 공기에서 물로 빛이 들어갈 때 굴절률의 차이로 인해 빛은 경계에서 굴절된다.

총 내부 반사 (Total Internal Reflection)

총 내부 반사(Total Internal Reflection, TIR)는 빛이 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 입사할 때 특정 조건에서 발생한다. 이 현상은 입사각이 임계각(critical angle)을 초과할 때 나타나며, 빛이 굴절되지 않고 전부 반사되는 현상이다. 임계각은 스넬의 법칙을 사용하여 계산할 수 있다.

임계각 $\theta_c$ 는 다음과 같은 조건에서 발생한다.

$n_1 \sin \theta_c = n_2 \sin 90^\circ$

여기서: - $n_1$ 은 빛이 처음에 있는 매질의 굴절률이고, - $n_2$ 는 빛이 진입하려는 매질의 굴절률이다.

이를 정리하면, 임계각은 다음과 같이 표현된다.

$\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$

만약 $n_1 > n_2$ 일 때, 즉 빛이 굴절률이 높은 매질에서 낮은 매질로 진행할 때, 임계각을 초과하는 입사각에서는 빛이 굴절되지 않고 완전히 반사된다. 이 원리는 광섬유에서 빛을 전송하는 데 중요한 역할을 한다.

렌즈의 기하학적 성질

렌즈는 빛을 굴절시켜 상을 형성하는 도구로, 기하 광학에서 중요한 역할을 한다. 얇은 렌즈(thin lens) 모델에서는 렌즈의 두께를 무시하고 빛이 렌즈의 경계에서 어떻게 굴절되는지에 집중한다. 렌즈의 종류로는 볼록 렌즈(convex lens)와 오목 렌즈(concave lens)가 있다.

렌즈 방정식 (Lens Equation)

얇은 렌즈에 대한 렌즈 방정식은 다음과 같다.

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$

여기서: - $f$ 는 렌즈의 초점거리(focal length)이다. - $d_o$ 는 물체와 렌즈 사이의 거리(object distance)이다. - $d_i$ 는 상과 렌즈 사이의 거리(image distance)이다.

렌즈 방정식은 물체의 위치와 상의 위치를 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 또한, 이 방정식을 통해 렌즈가 상을 확대하는지 축소하는지, 상이 정립되는지 도립되는지를 계산할 수 있다.

렌즈의 초점거리

렌즈의 초점거리 $f$ 는 렌즈의 형상과 매질의 굴절률에 따라 결정된다. 얇은 렌즈의 경우, 초점거리는 렌즈 제조에 사용된 두 매질의 굴절률과 렌즈의 곡률 반경에 의해 정의된다. 얇은 렌즈에 대한 초점거리 방정식은 다음과 같다.

$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

여기서: - $n$ 은 렌즈의 굴절률이다. - $R_1$ 과 $R_2$ 는 각각 렌즈의 두 면의 곡률 반경(radius of curvature)이다.

이 방정식은 렌즈가 볼록인지 오목인지에 따라 달라지며, 이로 인해 빛이 모이는지(집광) 혹은 퍼지는지(발산)가 결정된다.

광학적 상의 형성

기하 광학에서는 물체로부터 발산하는 빛의 광선을 추적하여 상(image)이 형성되는 과정을 설명한다. 상의 형성은 거울이나 렌즈와 같은 광학 시스템을 통과하는 광선의 경로에 의해 결정된다. 이때 상은 실상(real image) 또는 허상(virtual image)으로 나타날 수 있다.

실상과 허상

실상은 물체에서 나오는 광선이 실제로 한 점에 모여 형성된 상이다. 실상은 스크린에 투사될 수 있다.
허상은 광선이 실제로 한 점에 모이지 않고, 광선을 연장했을 때 그 교차점에 형성되는 상이다. 허상은 스크린에 투사될 수 없지만, 눈에 의해 인식된다.

거울에 의한 상의 형성

기하 광학에서 거울은 반사에 의해 상을 형성한다. 거울은 평면 거울과 곡면 거울로 구분된다. 평면 거울은 상을 정립된 허상으로 형성하며, 곡면 거울은 상을 도립된 실상 또는 허상으로 형성할 수 있다.

평면 거울

평면 거울(Plane Mirror)의 경우, 물체로부터 나온 광선은 거울에 반사되어 물체의 크기와 동일한 크기의 허상을 형성한다. 평면 거울에서 상의 위치는 물체와 거울 사이의 거리와 동일한 거리에 있으며, 상은 거울의 뒤쪽에 형성된 것처럼 보인다. 이때, 상은 항상 허상으로 나타나며 정립된 상(upright image)이다. 평면 거울에서 상의 위치를 계산하는 기본적인 원리는 다음과 같다.

$d_o = d_i$

여기서: - $d_o$ 는 물체와 거울 사이의 거리이고, - $d_i$ 는 상과 거울 사이의 거리이다.

곡면 거울

곡면 거울(Curved Mirror)은 두 가지 종류가 있다. 볼록 거울(convex mirror)과 오목 거울(concave mirror)이다. 이들 거울은 광선이 반사되는 방식에 따라 상의 크기와 위치를 다르게 형성한다.

볼록 거울

볼록 거울은 거울의 반사면이 바깥쪽으로 구부러진 구조이다. 이 거울에서 나오는 광선은 반사 후에 퍼지게 된다. 따라서, 볼록 거울은 항상 작고 정립된 허상을 형성한다. 이 거울은 넓은 시야각을 제공하므로 후사경이나 보안 거울로 자주 사용된다.

볼록 거울에 대한 상의 위치와 크기를 계산하는 데는 반사 방정식을 사용한다.

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$

여기서: - $f$ 는 거울의 초점거리이고, 볼록 거울의 경우 $f$ 는 항상 음수이다. - $d_o$ 는 물체의 거리, $d_i$ 는 상의 거리이다.

오목 거울

오목 거울은 반사면이 안쪽으로 구부러진 구조이다. 오목 거울에서는 상이 물체의 위치에 따라 실상 또는 허상이 형성된다. 오목 거울은 집광 효과가 있어 반사광선을 한 점에 모을 수 있다. 이를 통해 실상, 도립된 상이 형성될 수 있으며, 물체가 초점 거리 안쪽에 위치할 경우 허상이 형성된다.

오목 거울에 대한 상의 위치를 계산할 때도 반사 방정식을 사용한다. 오목 거울의 경우 초점거리 $f$ 는 양수이다.

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$

상의 확대율

확대율(magnification)은 광학 시스템에서 형성된 상의 크기와 물체의 크기 간의 비율을 나타낸다. 확대율은 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다.

$M = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$

여기서: - $M$ 은 확대율이다. - $h_i$ 는 상의 높이, $h_o$ 는 물체의 높이이다. - $d_i$ 는 상의 거리, $d_o$ 는 물체의 거리이다.

확대율이 양수이면 상은 정립된 상이며, 음수이면 상이 도립된 상임을 의미한다. 확대율이 1보다 크면 상이 물체보다 크게 보이고, 1보다 작으면 상이 물체보다 작게 보인다.

광선도 (Ray Diagram)

광선도를 사용하면 렌즈나 거울에 의한 상의 형성을 쉽게 시각화할 수 있다. 광선도는 광학 요소를 통과하는 몇 개의 주요 광선(ray)을 추적하여 상의 위치와 크기를 결정하는 방법이다.

렌즈의 광선도

렌즈에서 상을 형성하는 기본 광선은 다음과 같다.

주축에 평행하게 들어오는 광선은 렌즈의 초점을 통과하거나 초점에서 나가는 방향으로 굴절된다.
초점을 향해 들어오는 광선은 렌즈를 통과한 후 주축과 평행하게 나아간다.
렌즈 중심을 통과하는 광선은 직선으로 진행하며 굴절되지 않는다.

거울의 광선도

거울에서 상을 형성하는 기본 광선은 다음과 같다.

주축에 평행하게 입사하는 광선은 오목 거울의 경우 초점을 향해 반사되고, 볼록 거울의 경우 초점을 지나가는 것처럼 반사된다.
초점으로 향해 입사하는 광선은 오목 거울의 경우 주축과 평행하게 반사되며, 볼록 거울에서는 초점에서 나오는 것처럼 반사된다.
거울의 중심을 향해 입사하는 광선은 입사각과 반사각이 같은 방식으로 반사된다.

광선도를 이용하면 상의 위치, 크기, 정립 또는 도립 여부를 시각적으로 확인할 수 있으며, 이를 통해 보다 직관적으로 광학적 상의 특성을 이해할 수 있다.

굴절에 의한 상의 형성

굴절에 의해 상이 형성되는 경우는 주로 렌즈에서 발생한다. 빛이 서로 다른 굴절률을 가진 매질을 통과할 때 굴절 현상이 발생하며, 이는 상의 위치와 크기에 영향을 미친다. 렌즈를 통과하는 빛의 경로를 추적하여 상의 특성을 분석할 수 있다.

얇은 렌즈 근사 (Thin Lens Approximation)

기하 광학에서 렌즈의 두께가 매우 얇다고 가정하면, 이를 얇은 렌즈 근사(thin lens approximation)라고 부른다. 얇은 렌즈 근사는 렌즈 내부에서의 광선의 경로를 생략하고, 렌즈의 표면에서 한 번에 굴절이 일어나는 것처럼 모델링한다. 이러한 근사는 렌즈 방정식으로 상을 분석할 때 자주 사용된다.

얇은 렌즈의 굴절에 의한 상 형성에서 렌즈 방정식을 다시 상기하면:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$

렌즈의 두께가 무시될 수 있을 만큼 얇다고 가정할 때, 렌즈의 중심을 통과하는 광선은 직진하며 굴절되지 않는다. 이러한 간단한 근사는 실제 렌즈가 얇을 때 유용하며, 많은 광학 시스템에서 널리 사용된다.

볼록 렌즈의 상

볼록 렌즈(convex lens)는 빛을 한 점으로 모으는 특징을 가지고 있다. 이로 인해 실상 또는 허상을 형성할 수 있으며, 물체의 위치에 따라 달라진다.

물체가 초점 거리 밖에 있을 때: 볼록 렌즈는 도립된 실상을 형성한다. 물체가 렌즈로부터 멀리 있을수록 상은 렌즈에 더 가까워지고, 크기가 작아진다. 반대로, 물체가 렌즈에 가까워질수록 상은 멀리 형성되고 커진다.
물체가 초점 거리에 있을 때: 이 경우 상이 형성되지 않는다. 이는 굴절된 광선들이 서로 평행하게 진행하기 때문이다.
물체가 초점 거리 안에 있을 때: 볼록 렌즈는 정립된 허상을 형성한다. 이 상은 물체보다 크며, 눈으로 관찰할 수 있지만 스크린에 투사할 수 없다.

오목 렌즈의 상

오목 렌즈(concave lens)는 빛을 퍼뜨리는 특성을 가지고 있다. 이로 인해 오목 렌즈는 항상 작은 크기의 정립된 허상을 형성한다. 물체의 위치에 관계없이 오목 렌즈에서 형성된 상은 항상 허상이므로, 스크린에 투사될 수 없다.

매질의 경계에서의 굴절

기하 광학에서 중요한 또 다른 개념은 서로 다른 굴절률을 가진 매질 사이의 경계에서 빛이 굴절되는 현상이다. 앞서 설명한 스넬의 법칙을 이용하여, 매질 경계에서의 빛의 경로를 분석할 수 있다. 매질의 경계에서 빛이 굴절되면, 상의 위치가 변화하게 되며, 이러한 현상은 렌즈를 포함한 다양한 광학 시스템에서 상의 왜곡을 유발할 수 있다.

대기 굴절 (Atmospheric Refraction)

대기 굴절은 빛이 지구의 대기를 통과할 때 발생하는 굴절 현상이다. 지구의 대기층은 고도가 다를 때 굴절률이 다르기 때문에, 빛은 대기를 통과하면서 약간 굴절된다. 이로 인해 천체의 위치가 실제보다 다르게 보이는 현상이 발생할 수 있다.

대기 굴절의 중요한 예로는 일출과 일몰 시 태양이 실제보다 일찍 또는 늦게 보이는 현상을 들 수 있다. 이는 태양광이 지구의 대기를 통과하면서 굴절되기 때문이다. 이러한 현상은 천문학에서 정확한 관측을 위해 반드시 고려되어야 한다.

프리즘에 의한 빛의 분산

프리즘(Prism)은 빛이 매질을 통과할 때 굴절률이 파장에 따라 다르게 작용하는 현상을 이용하여 빛을 여러 색으로 분산시키는 도구이다. 이는 백색광이 여러 파장(색)으로 구성되어 있기 때문이다. 프리즘에 의해 빛이 분산되는 과정은 다음과 같다.

백색광이 프리즘에 입사하면, 각 파장(색)은 서로 다른 각도로 굴절된다.
짧은 파장(보라색)은 더 많이 굴절되며, 긴 파장(빨간색)은 덜 굴절된다.
이로 인해 프리즘을 통과한 빛은 여러 가지 색으로 분산되며, 이는 스펙트럼(spectrum)을 형성한다.

프리즘에 의한 분산은 스펙트럼 분석, 색상 분해, 그리고 다양한 광학 실험에 활용된다.

프리즘의 굴절 방정식

프리즘에 의한 빛의 분산을 설명하는 데는 다음과 같은 방정식이 사용된다. 이 방정식은 프리즘 각도 $\alpha$ 와 입사각 $\theta_1$ , 그리고 굴절각 $\theta_2$ 에 의해 결정된다.

$n \sin \theta_1 = \sin \theta_2$

이 방정식에서 $n$ 은 빛의 파장에 따라 달라지므로, 서로 다른 파장의 빛은 서로 다른 각도로 굴절되어 분산된다.

렌즈의 수차 (Aberration)

기하 광학에서 렌즈는 이상적으로 빛을 한 점에 모으거나 상을 완벽하게 형성한다고 가정하지만, 실제로는 렌즈에서 다양한 왜곡이나 수차가 발생한다. 수차(Aberration)는 렌즈가 모든 광선을 정확한 한 점으로 모으지 못할 때 나타나는 현상이다. 이러한 수차는 상의 해상도를 떨어뜨리고, 상의 왜곡을 일으킬 수 있다. 렌즈의 수차에는 여러 종류가 있으며, 각각 다른 원인으로 발생한다.

구면 수차 (Spherical Aberration)

구면 수차는 렌즈나 거울의 표면이 구면인 경우 발생하는 현상으로, 렌즈나 거울의 가장자리를 통과하는 광선들이 중심부를 통과하는 광선과 다른 초점에 모이는 현상이다. 이는 상을 흐리게 만들며, 특히 대형 렌즈나 거울에서 두드러지게 나타난다.

구면 수차는 주로 다음과 같은 이유로 발생한다.

렌즈나 거울의 표면이 완벽한 구형이 아닌 경우.
구면 형태의 렌즈나 거울에서 모든 광선이 동일한 초점에 모이지 않는 구조적 문제.

구면 수차를 줄이기 위해서는 비구면 렌즈(aspherical lens)를 사용할 수 있으며, 이는 설계와 제조가 복잡하지만, 수차를 효과적으로 줄일 수 있다.

색 수차 (Chromatic Aberration)

색 수차는 빛의 파장에 따라 렌즈의 굴절률이 달라지기 때문에 발생한다. 이는 프리즘에서 백색광이 여러 색으로 분산되는 현상과 유사하다. 렌즈를 통과하는 빛의 파장에 따라 굴절되는 정도가 다르기 때문에, 서로 다른 색의 상이 미세하게 다른 위치에 형성된다. 결과적으로, 색상이 겹쳐지지 않고 상이 흐리게 보인다.

색 수차를 수학적으로 설명하면, 렌즈의 굴절률 $n$ 은 파장 $\lambda$ 에 의존하며, 파장이 짧은 빛(보라색)이 긴 파장(빨간색)보다 더 많이 굴절된다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$n(\lambda) = n_0 + \frac{A}{\lambda^2}$

여기서: - $n_0$ 는 해당 물질의 기본 굴절률이다. - $A$ 는 렌즈 재질에 따라 달라지는 상수이다. - $\lambda$ 는 빛의 파장이다.

색 수차를 줄이기 위한 방법 중 하나는 아크로매틱 렌즈(achromatic lens)를 사용하는 것이다. 이 렌즈는 서로 다른 파장에서 빛을 동시에 초점에 모이도록 설계된 두 개 이상의 서로 다른 종류의 렌즈로 구성된다.

비점 수차 (Astigmatism)

비점 수차는 렌즈가 광축에 대해 기울어진 물체에서 나오는 광선을 동일한 초점에 모으지 못할 때 발생한다. 비점 수차는 두 가지 방향(수평 및 수직)에서 초점이 다르게 나타나며, 상이 흐릿하게 보이거나 왜곡된다. 비점 수차는 일반적으로 렌즈의 곡률이 완벽하지 않거나, 비대칭적인 형태로 인해 발생한다.

비점 수차는 일반적으로 광축에서 멀리 떨어진 위치에서 발생하며, 렌즈가 대칭적이지 않을 때 더 심각해진다. 이 문제는 렌즈 설계 시 비대칭성을 보완하거나, 적절한 렌즈 배열을 통해 줄일 수 있다.

코마 (Coma)

코마 수차는 렌즈나 거울의 중심축에서 벗어난 점광원이 혜성(comet) 모양의 상을 형성할 때 발생하는 수차이다. 이는 주로 광선이 렌즈나 거울의 가장자리 부분을 통과할 때 나타나며, 상의 중심에서 멀어질수록 그 효과가 커진다.

코마는 천문학적 관측에서 흔히 발생하는 문제로, 점광원이 길쭉한 꼬리를 가진 모양으로 보이게 만든다. 이 수차는 반사 망원경이나 대형 렌즈 시스템에서 발생할 수 있으며, 이를 줄이기 위해서는 렌즈의 형태를 정밀하게 설계하거나 다중 렌즈 시스템을 사용할 수 있다.

왜곡 (Distortion)

왜곡은 렌즈의 기하학적 특성으로 인해 상의 형태가 변형되는 현상이다. 왜곡에는 두 가지 주요 형태가 있다.

배럴 왜곡 (Barrel Distortion): 상의 가장자리가 안쪽으로 굽는 현상이다. 이 왜곡은 렌즈의 광축에서 멀리 있는 물체가 실제보다 더 가까워 보이게 만든다.
핀쿠션 왜곡 (Pincushion Distortion): 상의 가장자리가 바깥쪽으로 늘어나는 현상이다. 이 왜곡은 렌즈의 광축에서 멀리 있는 물체가 실제보다 더 멀리 보이게 만든다.

왜곡은 상의 형태를 변형시키지만, 상의 초점에는 영향을 미치지 않는다. 이 문제는 특히 넓은 화각을 가진 렌즈에서 두드러지며, 이를 줄이기 위해서는 왜곡 보정 알고리즘을 적용하거나 렌즈 설계에서 보완해야 한다.

멀티 렌즈 시스템

수차를 줄이고 더 정확한 상을 형성하기 위해서는 하나의 렌즈만 사용하는 것이 아니라 여러 렌즈로 구성된 멀티 렌즈 시스템을 사용할 수 있다. 각 렌즈는 서로 다른 수차를 보정하거나 광학적 성능을 향상시키기 위해 설계된다. 이러한 시스템은 카메라 렌즈, 현미경, 망원경과 같은 고성능 광학 장비에서 자주 사용된다.

멀티 렌즈 시스템의 설계는 매우 복잡하며, 각 렌즈의 곡률, 두께, 재질 등을 신중하게 선택하여 수차를 최소화하고 상의 해상도를 최대화하는 것이 목표이다.

비구면 렌즈 (Aspherical Lenses)

비구면 렌즈(aspherical lenses)는 구면 형태가 아닌 비대칭적인 곡률을 가진 렌즈로, 수차를 줄이기 위해 설계된다. 구면 렌즈에서 발생하는 주요 수차 중 하나인 구면 수차를 해결하기 위해 비구면 렌즈가 사용된다. 비구면 렌즈는 상을 더욱 정밀하게 초점에 모을 수 있어, 일반적으로 고급 광학 시스템에서 사용된다.

비구면 렌즈의 이점

비구면 렌즈는 구면 수차와 비점 수차를 효과적으로 줄일 수 있다. 비구면 렌즈는 다음과 같은 주요 이점을 제공한다.

구면 수차 감소: 비구면 곡면은 중심부와 주변부에서 광선을 다르게 굴절시켜, 모든 광선을 동일한 초점에 모으는 것이 가능하다.
렌즈의 크기 및 무게 감소: 여러 개의 구면 렌즈를 사용하여 해결해야 할 문제를 단일 비구면 렌즈로 처리할 수 있어, 복잡한 렌즈 시스템을 간소화할 수 있다.
비용 절감: 고성능 광학 시스템에서 필요한 렌즈의 수를 줄임으로써 생산 비용을 줄일 수 있다.

비구면 렌즈의 표면 방정식

비구면 렌즈의 표면은 구면 렌즈와 달리 복잡한 곡률을 가진다. 비구면 렌즈의 표면 방정식은 주로 직선과 더 높은 차수의 항으로 표현되며, 이는 다음과 같은 형태를 갖는다.

$z(r) = \frac{r^2}{R \left(1 + \sqrt{1 - (1 + k) \frac{r^2}{R^2}}\right)} + A_4 r^4 + A_6 r^6 + A_8 r^8 + \cdots$

여기서: - $z(r)$ 는 렌즈 표면에서의 축 방향 높이이다. - $r$ 는 렌즈 표면의 반경이다. - $R$ 는 곡률 반경이다. - $k$ 는 이차 곡면 상수(conic constant)이다. - $A_4, A_6, A_8, \dots$ 는 고차 항의 계수로, 렌즈 표면의 비구면 곡률을 조절하는 매개변수이다.

이 방정식은 비구면 렌즈가 광선의 경로를 더 정밀하게 제어하여 상을 정확하게 초점에 모을 수 있게 한다.

광학 도구의 설계 및 응용

기하 광학은 렌즈나 거울과 같은 기본 광학 요소를 설계할 때 필수적으로 사용된다. 이러한 설계는 다양한 응용 분야에서 상의 품질과 성능을 결정짓는다. 고성능 광학 장치, 예를 들어 카메라, 현미경, 망원경, 레이저 시스템은 모두 이러한 기하 광학의 원리를 기반으로 설계된다.

카메라 렌즈

카메라 렌즈 시스템은 다수의 렌즈 요소로 구성된 복합 렌즈로, 다양한 수차를 줄이고 높은 해상도의 상을 얻기 위해 설계된다. 이러한 렌즈 시스템은 여러 개의 볼록 렌즈와 오목 렌즈를 조합하여 특정 초점 거리에서 최적의 상을 제공한다. 또한, 줌 렌즈는 초점 거리를 변환하는 기능을 제공하여, 다양한 거리에 있는 물체를 효과적으로 촬영할 수 있게 한다.

카메라 렌즈의 설계는 복잡한 광학 시뮬레이션을 통해 이루어지며, 이러한 설계를 통해 구면 수차, 색 수차, 왜곡을 최소화한다.

현미경

현미경 시스템은 작은 물체를 확대하여 관찰할 수 있는 광학 도구로, 매우 높은 해상도를 필요로 한다. 현미경 렌즈 시스템은 매우 정밀한 상을 형성하기 위해 다수의 비구면 렌즈를 포함하며, 특히 색 수차를 줄이기 위해 아크로매틱 렌즈 또는 아포크로매틱 렌즈(achromatic and apochromatic lenses)를 사용한다.

현미경 설계에서는 상을 매우 고해상도로 확대해야 하기 때문에, 매우 작은 수차도 큰 영향을 미칠 수 있다. 따라서, 현미경에서는 기하 광학적 설계를 넘어 파동 광학적 설계가 필요할 수 있다.

망원경

망원경은 먼 거리의 천체를 관찰하기 위한 도구로, 특히 천문학에서 중요한 역할을 한다. 망원경의 렌즈 또는 거울 시스템은 먼 거리에서 오는 미세한 빛을 집광하고 확대하여 관찰할 수 있도록 설계된다.

망원경에는 주로 반사 망원경과 굴절 망원경이 있다.

굴절 망원경: 굴절 망원경은 렌즈를 사용하여 빛을 모아 상을 형성한다. 이러한 망원경은 일반적으로 큰 렌즈를 사용하며, 높은 해상도를 제공한다.
반사 망원경: 반사 망원경은 거울을 사용하여 빛을 모은다. 반사 망원경은 색 수차가 없고, 대형 망원경에서는 주로 사용된다.

망원경 설계에서 수차와 왜곡을 최소화하는 것이 매우 중요하며, 이를 위해 기하 광학적 분석이 사용된다.

레이저 광학 시스템

레이저 시스템은 매우 직진성이 높은 빛을 생성하고 전달하는 도구이다. 레이저 광학 시스템에서 기하 광학은 빛의 경로를 제어하고 집속하는 데 중요한 역할을 한다. 렌즈와 거울을 사용하여 레이저 광선을 집속하거나 확산시키는 설계가 이루어지며, 이를 통해 레이저의 출력을 최적화할 수 있다.

레이저 시스템에서는 특히 광선의 정밀한 제어가 필요하므로, 렌즈와 거울의 배치는 매우 정밀하게 설계된다.

기하 광학의 한계

기하 광학은 광선의 경로를 직선으로 모델링하여 빛의 전파를 설명하는데 유용하지만, 파동적 특성을 설명하지는 못한다. 빛이 파장의 크기와 비교할 때 매우 작은 구조를 통과하거나 작은 틈을 지날 때, 회절(diffraction)과 간섭(interference) 같은 파동적 현상이 발생하게 된다. 기하 광학은 이러한 현상을 설명하지 못하므로, 파동 광학이나 양자 광학의 이론이 필요하다.

기하 광학의 기본 가정은 빛의 파장이 매우 짧아서 직선 광선으로 근사할 수 있다는 것이다. 그러나 실제로 빛의 파장이 물체의 크기와 비슷한 경우, 이 근사는 적절하지 않다. 따라서, 매우 정밀한 광학 시스템 설계에서는 파동 광학적 분석이 함께 필요할 수 있다.