점성 유체 - 소프트웨어 융합

점성 유체는 유체역학에서 매우 중요한 주제로, 유체 내에서 발생하는 내부 저항에 대한 이해가 필요하다. 점성은 유체의 층 사이에서 발생하는 마찰력으로, 이러한 마찰은 유체의 흐름에 대한 저항을 일으킨다. 이러한 점성력의 작용을 분석하고 기술하는 데는 수학적 모델링이 필수적이며, 주로 뉴턴의 점성 법칙과 관련된 개념을 사용한다.

뉴턴의 점성 법칙

점성 유체의 움직임을 설명하는 가장 기본적인 방정식 중 하나는 뉴턴의 점성 법칙이다. 이 법칙은 점성 유체에서 전단 응력(𝜏)이 속도 구배와 비례한다는 사실을 나타낸다.

$\tau = \mu \frac{du}{dy}$

여기서: - $\tau$ 는 전단 응력(shear stress), - $\mu$ 는 점성 계수(또는 동점성 계수, dynamic viscosity), - $\frac{du}{dy}$ 는 속도 구배(velocity gradient)이다.

이 방정식은 주로 뉴턴 유체에 적용되며, 뉴턴 유체는 전단 응력과 속도 구배 사이의 선형 관계를 가진다. 뉴턴 유체의 예로는 물과 공기가 있다.

비뉴턴 유체

뉴턴의 점성 법칙을 따르지 않는 유체는 비뉴턴 유체라고 하며, 이 유체에서는 전단 응력과 속도 구배 사이의 관계가 선형이 아닌 경우가 많다. 비뉴턴 유체의 예로는 페인트, 혈액, 치약 등이 있으며, 이들 유체는 복잡한 거동을 나타낸다.

비뉴턴 유체를 기술하기 위해서는 다음과 같은 다양한 모델이 사용된다:

준뉴턴 유체(Pseudo-Plastic Fluids): 이러한 유체는 전단 응력과 속도 구배 사이에 비선형 관계가 존재하며, 일반적으로 속도 구배가 커질수록 점도가 감소한다. 예로는 일부 고분자 용액과 페인트가 있다.
딜레턴트 유체(Dilatant Fluids): 딜레턴트 유체는 속도 구배가 커질수록 점도가 증가하는 특징을 가진다. 이러한 유체는 종종 고농도의 고체 입자를 포함한 슬러리에서 발견된다.
빙햄 유체(Bingham Fluids): 빙햄 유체는 일정한 전단 항복 응력(yield stress)을 초과해야만 흐르기 시작하는 유체이다. 이러한 유체는 진흙이나 치약과 같은 물질에서 흔히 발견된다. 빙햄 유체의 수식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\tau = \tau_y + \mu \frac{du}{dy} \quad \text{if} \quad \tau > \tau_y$

여기서: - $\tau_y$ 는 항복 응력(yield stress)이다.

나비에-스토크스 방정식

점성 유체의 거동을 포괄적으로 설명하기 위해서는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 사용한다. 이 방정식은 유체의 운동을 기술하며, 점성과 압력, 외력 등을 고려하여 유체의 속도장을 결정하는 매우 중요한 방정식이다.

나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$

여기서: - $\rho$ 는 유체의 밀도(density), - $\mathbf{u}$ 는 유속 벡터(velocity vector), - $t$ 는 시간(time), - $p$ 는 압력(pressure), - $\mu$ 는 점성 계수(viscosity), - $\mathbf{f}$ 는 외력(예: 중력)이다.

이 방정식은 유체의 움직임에 대한 정보를 제공하며, 점성의 영향을 정확하게 설명한다.

층류와 난류

유체의 흐름에는 크게 두 가지 형태가 있다: 층류와 난류. 점성 유체에서 이러한 흐름의 형태는 매우 중요한데, 이는 유체의 운동이 어떠한 양상으로 전개되는지를 결정하기 때문이다.

층류

층류는 유체의 각 층이 서로 미끄러지듯이 부드럽게 흐르는 상태를 말한다. 층류에서는 각 층 사이의 마찰이 상대적으로 작고, 유체의 거동이 비교적 예측 가능하다. 레이놀즈 수(Reynolds number)가 낮을 때 층류가 발생한다.

난류

난류는 유체가 불규칙하고 복잡한 운동을 하는 상태를 말하며, 이러한 난류는 전단 응력이 증가하거나 레이놀즈 수가 높을 때 발생한다. 난류에서는 유체의 각 층이 복잡하게 섞이면서 흐르기 때문에 예측이 어려워진다.

레이놀즈 수

유체의 흐름이 층류인지 난류인지를 결정하는 중요한 무차원 수는 레이놀즈 수다. 레이놀즈 수는 유체의 관성력과 점성력 사이의 비율을 나타내며, 다음과 같이 정의된다:

$Re = \frac{\rho u L}{\mu}$

여기서: - $\rho$ 는 유체의 밀도, - $u$ 는 유체의 특성 속도(characteristic velocity), - $L$ 은 특성 길이(characteristic length), - $\mu$ 는 점성 계수다.

레이놀즈 수가 낮을수록 점성 효과가 더 지배적이어서 층류가 형성되며, 반대로 레이놀즈 수가 높을수록 관성력이 지배적이어서 난류가 발생한다.

레이놀즈 수와 흐름 전환

유체의 흐름은 레이놀즈 수의 크기에 따라 층류에서 난류로 전환될 수 있다. 일반적으로, 특정 값의 레이놀즈 수 이상이 되면 흐름이 층류에서 난류로 전환되는데, 이 전환이 일어나는 임계 레이놀즈 수는 다양한 조건에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, 원통 주변의 유동에서는 대략 $Re \approx 2000$ 을 넘을 때 난류가 발생하기 시작한다.

층류에서 난류로의 전환

레이놀즈 수가 낮을 때, 유체는 비교적 평온하게 흘러 층류 상태를 유지한다. 그러나 레이놀즈 수가 증가하면 유체 내에서 불안정성이 발생하여 작은 난류가 형성되고, 결국 전체 흐름이 복잡한 난류로 전환된다. 이 전환 과정은 실험적으로 관찰되며, 여러 매체와 환경에서 다르게 나타날 수 있다.

점성에 의한 에너지 소산

점성 유체에서는 마찰로 인해 에너지가 소모된다. 이 소모된 에너지는 열 에너지로 전환되며, 이는 점성 유체 흐름의 중요한 특징 중 하나다. 에너지 소산(dissipation)의 정도는 점성 계수와 흐름의 속도 구배에 의해 결정된다. 점성에 의한 에너지 소산은 다음과 같은 수식을 통해 표현할 수 있다:

$\Phi = 2 \mu \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2$

여기서 $\Phi$ 는 에너지 소산율이고, $\mu$ 는 동점성 계수, $\frac{\partial u}{\partial y}$ 는 속도 구배다. 이 식은 단순한 2차원 유동에서 나타나는 소산 에너지를 설명하는데, 실제 3차원 유동에서는 더 복잡한 형태를 갖는다.

벽 근처의 유동: 경계층 이론

점성 유체의 흐름에서 중요한 개념 중 하나는 경계층(boundary layer)이다. 유체가 고체 표면과 접촉할 때, 점성 때문에 유체 입자는 고체 표면에 붙어서 그 속도가 0이 된다. 이 현상을 "무미끄럼 조건(no-slip condition)"이라고 한다. 고체 표면에서 멀어질수록 유체의 속도는 증가하여, 결국에는 고체 표면과 관계없는 자유 흐름(free stream)의 속도에 도달한다.

경계층은 유체가 이러한 고체 표면 근처에서 발생하는 점성 효과가 두드러지게 나타나는 영역이다. 경계층 이론은 이러한 유체의 점성 효과를 분석하는 데 필수적이다. 경계층의 두께 $\delta$ 는 레이놀즈 수에 따라 변하며, 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\delta \approx \frac{L}{\sqrt{Re}}$

여기서 $L$ 은 특성 길이(characteristic length)이고, $Re$ 는 레이놀즈 수이다. 경계층 내에서 점성력이 주요 역할을 하며, 경계층 밖에서는 점성력보다 관성력이 더 크게 작용한다.

경계층 분리와 와류 발생

경계층 내에서 유체의 흐름이 고체 표면을 따라 진행하다가, 속도가 급격히 감소하거나 반대 방향으로 흐르게 되는 현상을 경계층 분리(boundary layer separation)라고 한다. 경계층 분리는 물체 주변의 흐름에서 중요한 역할을 하며, 주로 난류가 발생할 때 나타난다. 이러한 분리가 발생하면 와류(vortex)가 형성되며, 이는 유체 역학에서 매우 복잡한 현상 중 하나다.

경계층 분리와 와류의 발생은 물체 주위의 유동에서 유체의 저항(drag)을 크게 증가시키며, 이는 항공기 날개나 차량 디자인 등의 공기역학적 성능에 중요한 영향을 미친다.

경계층 분리의 조건

경계층 분리는 주로 유체의 압력 구배(pressure gradient)에 따라 발생한다. 만약 유체가 흐르는 방향으로 압력이 증가하는 경우, 이를 "불리한 압력 구배(adverse pressure gradient)"라고 한다. 이러한 조건에서 유체는 표면을 따라 흐를 힘을 잃고, 경계층 분리가 발생한다. 반대로 압력이 감소하는 경우 "유리한 압력 구배(favorable pressure gradient)"가 형성되며, 이때는 경계층 분리가 덜 발생한다.

푸아송 흐름(Poiseuille Flow)

점성 유체의 가장 기본적인 흐름 중 하나는 평행한 두 평판 사이에서의 흐름으로, 이를 푸아송 흐름이라고 한다. 이 흐름에서는 점성에 의한 힘과 압력 구배에 의해 유체가 움직인다. 이때 발생하는 속도 분포는 다음과 같이 나타난다:

$u(y) = \frac{1}{2\mu} \left( -\frac{dp}{dx} \right) \left( h^2 - y^2 \right)$

여기서: - $u(y)$ 는 유체의 속도 분포, - $\mu$ 는 점성 계수, - $\frac{dp}{dx}$ 는 압력 구배, - $h$ 는 평판 간 거리이다.

이 방정식은 점성 유체가 두 평판 사이에서 층류로 흐를 때 속도 분포를 설명한다. $y = 0$ 에서 속도는 최대가 되고, $y = \pm h$ 에서 속도는 0이 된다.

원형 관 내의 흐름

점성 유체가 원형 관을 따라 흐를 때 발생하는 흐름은 하겐-푸아송(Hagen-Poiseuille) 흐름으로 알려져 있다. 이 흐름에서는 관의 중심에서 가장 빠른 속도가 나타나며, 관 벽에서는 속도가 0이 된다. 원형 관 내의 속도 분포는 다음과 같다:

$u(r) = \frac{\Delta P}{4 \mu L} (R^2 - r^2)$

여기서: - $u(r)$ 는 관 내의 반지름 $r$ 에서의 속도, - $\Delta P$ 는 관의 양 끝단에서의 압력 차, - $\mu$ 는 점성 계수, - $L$ 은 관의 길이, - $R$ 은 관의 반지름이다.

이 방정식은 원형 관에서 점성 유체가 층류로 흐를 때 속도 분포를 설명한다.

하겐-푸아송 법칙 (Hagen-Poiseuille Law)

하겐-푸아송 법칙은 점성 유체가 원형 관을 통과할 때의 유량을 설명하는 법칙이다. 이 법칙은 관의 반지름, 유체의 점성 계수, 압력 차, 관의 길이에 따른 유체의 흐름을 정확히 기술한다. 유량 $Q$ 는 다음과 같이 표현된다:

$Q = \frac{\Delta P \, \pi R^4}{8 \mu L}$

여기서: - $Q$ 는 유량(volume flow rate), - $\Delta P$ 는 관의 양 끝단의 압력 차(pressure difference), - $R$ 는 관의 반지름(radius), - $\mu$ 는 점성 계수(viscosity), - $L$ 은 관의 길이(length)이다.

이 방정식은 유체가 관을 통과할 때의 유량이 관의 반지름의 네제곱에 비례한다는 사실을 보여준다. 따라서 관의 반지름이 약간만 커져도 유량이 급격하게 증가할 수 있다.

하겐-푸아송 법칙의 응용

하겐-푸아송 법칙은 많은 실제 응용에 사용된다. 예를 들어, 혈관을 통한 혈액의 흐름을 모델링할 때 이 법칙을 사용할 수 있다. 혈관의 지름이 좁아질 경우, 혈액의 흐름이 크게 줄어들 수 있는데, 이는 심장과 순환 시스템의 압력에 큰 영향을 미친다.

쿠에트 흐름(Couette Flow)

쿠에트 흐름은 점성 유체의 또 다른 중요한 유형의 흐름이다. 이 흐름은 두 평행한 판 중 하나가 움직일 때 발생하며, 유체가 이러한 움직임에 의해 흐른다. 쿠에트 흐름은 점성 유체의 전형적인 층류 흐름의 한 예로, 전단 응력이 속도 구배와 비례하는 특성을 가진다. 평행한 두 판 사이에서 발생하는 쿠에트 흐름은 다음과 같은 속도 분포를 가진다:

$u(y) = \frac{U}{h} y$

여기서: - $u(y)$ 는 판 사이에서의 유속(velocity), - $U$ 는 상부 판의 속도, - $h$ 는 두 판 사이의 거리, - $y$ 는 두 판 사이에서의 수직 거리이다.

이 방정식은 상부 판이 움직임에 따라 유체의 속도가 선형적으로 증가하는 특성을 나타낸다. 이때 발생하는 전단 응력은 다음과 같이 계산된다:

$\tau = \mu \frac{U}{h}$

쿠에트 흐름의 예시

쿠에트 흐름은 공학적 시스템에서 자주 발견되며, 특히 윤활유가 사용되는 기계적 시스템에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 두 금속 판 사이에 윤활유를 넣고 한쪽 판을 움직일 때, 윤활유가 점성에 의해 전단력을 전달하게 된다. 이러한 원리는 기계 부품의 마모를 줄이고 효율적인 움직임을 가능하게 하는 중요한 기술이다.

점성 경계층 이론 (Viscous Boundary Layer Theory)

경계층 이론은 점성 유체가 고체 표면을 따라 흐를 때 발생하는 현상을 설명하는 중요한 이론이다. 경계층은 고체 표면 근처에서 점성 효과가 두드러지게 나타나는 얇은 층으로, 이 층 내에서 유체의 속도는 점성력에 의해 크게 변화한다. 경계층 이론은 두 가지 형태로 나뉜다: 층류 경계층과 난류 경계층.

층류 경계층

층류 경계층은 고체 표면에 가까운 유체 층이 서로 평행하게 움직이는 흐름 상태를 의미한다. 이때 유체의 움직임은 비교적 예측 가능하고, 점성력이 주요 역할을 한다. 층류 경계층의 두께는 레이놀즈 수에 의존하며, 보통 다음과 같은 식으로 표현된다:

$\delta = \frac{5 x}{\sqrt{Re_x}}$

여기서: - $\delta$ 는 경계층의 두께, - $x$ 는 고체 표면을 따라 측정한 거리, - $Re_x$ 는 해당 거리에서의 레이놀즈 수이다.

난류 경계층

난류 경계층은 더 복잡한 유동 패턴을 보이며, 층류와 달리 유체의 속도가 불규칙하게 변한다. 난류 경계층은 층류 경계층에 비해 두꺼워지며, 유체의 혼합이 활발하게 일어나기 때문에 에너지 손실이 더 크다. 난류 경계층의 두께는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\delta \propto \frac{x}{Re_x^{1/5}}$

난류 경계층은 층류 경계층에 비해 레이놀즈 수의 영향을 덜 받으며, 이로 인해 난류 경계층 내의 흐름은 더 많은 에너지를 소산한다.

경계층 내의 속도 분포

경계층 내에서의 속도 분포는 고체 표면에서 유속이 0인 무미끄럼 조건을 따르며, 경계층 바깥에서는 자유 흐름의 속도에 도달하게 된다. 층류 경계층에서 속도 분포는 비교적 단순하며, 다음과 같이 표현될 수 있다:

$u(y) = U_\infty \left( \frac{y}{\delta} \right)^n$

여기서: - $u(y)$ 는 고체 표면으로부터 $y$ 거리에서의 속도, - $U_\infty$ 는 자유 흐름 속도(free stream velocity), - $\delta$ 는 경계층 두께, - $n$ 은 층류 경계층에서 일반적으로 1/7 정도의 값을 가진다.

파이프 내의 점성 흐름

파이프 내에서 점성 유체의 흐름은 층류와 난류로 나뉘며, 파이프 벽과의 점성력에 의해 유체의 속도 분포가 결정된다. 파이프 내의 층류 흐름에서는 유속이 중심에서 최대가 되고, 벽 근처에서는 0에 가까워진다. 이때 유체의 속도 분포는 포물선 형태를 띤다. 반면, 난류에서는 더 복잡한 속도 분포가 나타나며, 중앙부에서의 속도가 급격히 감소한다.

파이프 내 층류 흐름

파이프 내에서 층류 흐름이 발생할 때, 속도 분포는 원형 관에서의 푸아송 흐름과 유사하게 다음과 같은 형태를 가진다:

$u(r) = \frac{\Delta P}{4 \mu L} (R^2 - r^2)$

파이프 내에서의 층류는 레이놀즈 수가 2300 이하일 때 발생하며, 속도 분포는 매우 예측 가능하다.

파이프 내 난류 흐름

레이놀즈 수가 2300을 초과하면 파이프 내에서 난류가 발생하게 된다. 난류 흐름에서는 유체의 속도 분포가 더욱 복잡해지며, 중앙부에서의 속도가 줄어들고 벽 근처에서는 더 큰 혼합이 일어난다. 난류 흐름의 속도 분포는 경험적으로 다음과 같은 관계로 설명될 수 있다:

$u(r) \propto \left( 1 - \frac{r}{R} \right)^{\frac{1}{7}}$

난류에서는 유체의 에너지가 더 많이 소산되며, 마찰 저항이 증가하게 된다.

점성력과 압력 손실

점성 유체가 파이프 또는 채널을 통해 흐를 때, 점성력으로 인해 압력 손실이 발생한다. 파이프 내의 압력 손실은 유체의 점성, 파이프의 길이, 유속 등에 의해 결정된다. 파이프에서의 압력 손실은 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다:

$\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho u^2}{2}$

여기서: - $\Delta P$ 는 파이프 내 압력 손실(pressure loss), - $f$ 는 마찰 계수(friction factor), - $L$ 은 파이프의 길이(length), - $D$ 는 파이프의 직경(diameter), - $\rho$ 는 유체의 밀도(density), - $u$ 는 유체의 평균 속도(average velocity)이다.

마찰 계수 $f$ 는 레이놀즈 수에 따라 달라지며, 층류와 난류에서 다른 값을 가진다. 층류에서의 마찰 계수는 다음과 같이 계산된다:

$f = \frac{64}{Re}$

난류에서는 마찰 계수가 파이프의 거칠기와 레이놀즈 수에 따라 복잡한 함수로 나타난다. 이러한 관계는 무디 차트(Moody chart)를 통해 시각적으로 나타낼 수 있으며, 실제 공학에서 많이 사용된다.

무디 차트 (Moody Chart)

무디 차트는 레이놀즈 수와 상대적인 파이프의 거칠기에 따른 마찰 계수를 시각적으로 보여주는 그래프다. 이는 난류 유동의 복잡성을 다루는 데 매우 유용하며, 공학에서 유체 시스템의 설계 및 분석에 자주 사용된다. 층류 영역에서는 레이놀즈 수에 따른 마찰 계수가 선형적으로 감소하지만, 난류 영역에서는 파이프의 상대적 거칠기에 따라 매우 다른 형태의 마찰 계수가 나타난다.

파이프 내 압력 손실과 에너지 소산

파이프 내에서 발생하는 압력 손실은 에너지의 소산으로 이어진다. 유체의 점성력은 파이프 벽과 유체 사이의 마찰을 일으키며, 이로 인해 운동 에너지가 열 에너지로 변환된다. 파이프 내의 에너지 손실은 다음과 같은 에너지 방정식을 통해 설명할 수 있다:

$h_f = \frac{\Delta P}{\rho g}$

여기서: - $h_f$ 는 파이프 내의 마찰에 의한 손실 수두(head loss due to friction), - $\Delta P$ 는 압력 손실, - $\rho$ 는 유체의 밀도, - $g$ 는 중력 가속도이다.

파이프 네트워크에서의 점성 유체 흐름

점성 유체가 복잡한 파이프 네트워크를 통과할 때, 여러 가지 요소가 흐름에 영향을 미치게 된다. 이러한 네트워크에서 발생하는 손실은 단순한 직선 파이프에서 발생하는 손실 외에도 곡선, 조인트, 밸브 등의 부가적인 요소에 의해 결정된다. 파이프 네트워크의 설계에서는 각 구간에서의 압력 손실을 계산하고, 이를 종합하여 전체 시스템의 성능을 분석해야 한다.

라마누잔 방정식 (Darcy-Weisbach Equation)

파이프 시스템에서 압력 손실을 계산할 때 자주 사용하는 방정식 중 하나는 다르시-와이스바흐 방정식(Darcy-Weisbach Equation)이다. 이 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho u^2}{2}$

여기서: - $f$ 는 마찰 계수(friction factor), - $L$ 은 파이프의 길이, - $D$ 는 파이프의 직경, - $\rho$ 는 유체의 밀도, - $u$ 는 평균 속도이다.

다르시-와이스바흐 방정식은 파이프 내에서 유체의 흐름으로 인한 압력 손실을 계산할 때 유용하며, 마찰 계수는 무디 차트를 이용해 결정할 수 있다.

연속 방정식 (Continuity Equation)

점성 유체의 흐름을 설명할 때 중요한 또 하나의 개념은 연속 방정식이다. 연속 방정식은 유체의 질량 보존 법칙에 따라 파이프의 단면적과 유체의 속도 사이의 관계를 나타낸다. 파이프 시스템에서 유량이 일정하게 유지되기 위해서는, 유체의 속도와 단면적의 곱이 일정해야 한다. 이는 다음과 같이 표현된다:

$A_1 u_1 = A_2 u_2$

여기서: - $A_1$ , $A_2$ 는 각각 두 지점에서의 파이프 단면적, - $u_1$ , $u_2$ 는 각각 두 지점에서의 유속이다.

이 방정식은 파이프의 단면적이 줄어들면 유속이 증가한다는 사실을 보여준다. 이는 실제 공학 시스템에서 매우 중요한 결과를 낳는다.

베르누이 방정식과 점성 효과

베르누이 방정식은 비점성 유체의 흐름을 설명하는 중요한 방정식이지만, 점성 유체의 경우에는 약간의 수정이 필요하다. 점성 유체에서는 마찰력에 의해 에너지가 소산되므로, 베르누이 방정식에 추가적인 항을 포함해야 한다. 점성 효과를 고려한 베르누이 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{u_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{u_2^2}{2g} + z_2 + h_f$

여기서: - $P_1, P_2$ 는 두 지점에서의 압력, - $u_1, u_2$ 는 두 지점에서의 유속, - $z_1, z_2$ 는 두 지점에서의 위치 에너지, - $h_f$ 는 마찰에 의한 손실 수두이다.

이 방정식은 점성에 의해 발생하는 에너지 손실을 고려하여 유체의 흐름을 설명한다.

점성 계수 (Viscosity Coefficient)

점성 계수는 유체의 점성을 측정하는 데 사용되며, 점성력과 속도 구배 사이의 관계를 나타낸다. 점성 계수는 두 가지 종류로 나눌 수 있다:

동점성 계수(Dynamic Viscosity, $\mu$ ): 유체의 전단 응력과 속도 구배 사이의 비례 상수를 의미하며, SI 단위로는 $\text{Pa} \cdot \text{s}$ 또는 $\text{kg} / \text{m} \cdot \text{s}$ 이다. 동점성 계수는 유체의 성질에 따라 달라지며, 온도의 변화에 민감하다. 대부분의 유체는 온도가 증가하면 점성 계수가 감소하는 경향을 보인다.
동점성 계수와 운동 점성 계수(Kinematic Viscosity, $\nu$ ): 운동 점성 계수는 동점성 계수를 밀도로 나눈 값이며, 다음과 같이 정의된다:

$\nu = \frac{\mu}{\rho}$

여기서: - $\nu$ 는 운동 점성 계수, - $\mu$ 는 동점성 계수, - $\rho$ 는 유체의 밀도이다.

운동 점성 계수의 단위는 $\text{m}^2/\text{s}$ 이며, 이는 유체의 흐름 특성을 나타내는 중요한 값이다. 운동 점성 계수는 물리적 성질뿐만 아니라 유체의 흐름을 결정하는 데도 매우 중요한 역할을 한다.

점성 유체의 온도에 따른 특성 변화

점성 계수는 온도에 따라 크게 달라진다. 대부분의 액체는 온도가 증가할수록 점성 계수가 감소하는 반면, 기체는 온도가 증가하면 점성 계수가 증가하는 특성을 가진다. 이와 같은 점성 계수의 변화는 유체의 분자 간 상호작용과 관련이 있다.

액체에서의 점성 계수

액체의 경우, 온도가 높아지면 분자 운동이 활발해져서 분자 간의 결합력이 약해지므로 점성 계수가 감소한다. 일반적으로 액체의 점성 계수는 아래와 같은 경험식으로 나타낼 수 있다:

$\mu(T) = \mu_0 e^{-\beta T}$

여기서: - $\mu(T)$ 는 온도 $T$ 에서의 점성 계수, - $\mu_0$ 는 기준 점성 계수, - $\beta$ 는 경험적 상수, - $T$ 는 절대 온도이다.

기체에서의 점성 계수

기체는 온도가 증가하면 분자 간 충돌이 더 빈번해져서 점성이 증가한다. 기체의 점성 계수는 다음과 같은 수식을 통해 나타낼 수 있다:

$\mu(T) \propto T^{1/2}$

이 수식은 기체 분자 간의 상호작용을 고려한 결과로, 기체의 점성이 온도에 비례하여 증가하는 경향을 설명한다.

점성 유체의 압력 손실 계산: 관 내 흐름의 실질적 예시

점성 유체가 복잡한 파이프 시스템을 통해 흐를 때, 특히 실질적인 엔지니어링 응용에서 파이프 내부의 압력 손실 계산은 매우 중요한 문제이다. 이를 해결하기 위해 다르시-와이스바흐 방정식을 사용하여 점성 유체의 압력 손실을 구할 수 있다. 아래의 예시를 통해 점성 유체의 압력 손실 계산을 설명한다.

예시 문제: 파이프에서의 압력 손실

유체가 직경 $D = 0.05 \, \text{m}$ , 길이 $L = 100 \, \text{m}$ 인 파이프를 통과할 때, 유체의 평균 속도는 $u = 2 \, \text{m/s}$ 이며, 유체의 밀도는 $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ , 점성 계수는 $\mu = 0.001 \, \text{Pa} \cdot \text{s}$ 이다. 마찰 계수 $f$ 는 무디 차트를 이용하여 $f = 0.02$ 로 주어진다고 가정한다. 이때 압력 손실을 계산하라.

다르시-와이스바흐 방정식은 다음과 같다:

$\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho u^2}{2}$

이를 대입하면:

$\Delta P = 0.02 \times \frac{100}{0.05} \times \frac{1000 \times 2^2}{2}$

계산하면:

$\Delta P = 0.02 \times 2000 \times 2000 = 80,000 \, \text{Pa}$

따라서 이 시스템에서의 압력 손실은 80,000 Pa, 즉 80 kPa가 된다.

비압축성 점성 유체 흐름: 나비에-스토크스 방정식의 단순화

비압축성 점성 유체에서 나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 데 필수적이다. 압축성 유체와 달리, 비압축성 유체에서는 밀도가 일정하므로 연속 방정식은 다음과 같은 형태를 띤다:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

나비에-스토크스 방정식은 다음과 같이 단순화된다:

$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$

여기서: - $\mathbf{u}$ 는 유속 벡터, - $p$ 는 압력, - $\mu$ 는 점성 계수, - $\mathbf{f}$ 는 외부 힘이다.

이 방정식은 비압축성 점성 유체에서의 유체 흐름을 결정하는 가장 중요한 방정식으로, 다양한 경계 조건과 초기 조건을 통해 여러 유체 역학 문제를 해결하는 데 사용된다.

점성 유체의 난류 모델링

난류는 점성 유체 흐름에서 매우 복잡한 문제 중 하나다. 난류는 무작위적이고 불규칙한 유동 패턴을 나타내며, 이를 수학적으로 모델링하는 것은 매우 어렵다. 현재 난류를 설명하기 위한 다양한 난류 모델이 존재하며, 그중 대표적인 모델은 RANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes) 모델이다.

RANS 방정식

RANS 모델은 난류 흐름을 평균 흐름과 난류 변동성으로 분리하는 모델이다. 이는 나비에-스토크스 방정식을 평균화하여 얻을 수 있으며, 다음과 같은 형태를 가진다:

$\rho \left( \frac{\partial \overline{\mathbf{u}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla) \overline{\mathbf{u}} \right) = -\nabla \overline{p} + \mu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} - \nabla \cdot \mathbf{R} + \mathbf{f}$

여기서: - $\overline{\mathbf{u}}$ 는 평균 유속, - $\overline{p}$ 는 평균 압력, - $\mathbf{R}$ 는 레이놀즈 응력 텐서이다.

레이놀즈 응력 텐서는 난류 변동성에 의한 응력을 나타내며, 이를 모델링하기 위해 추가적인 방정식이 필요하다.

난류 모델의 필요성

난류 모델링은 산업 전반에서 매우 중요한데, 이는 난류가 유체 흐름에서 매우 흔하게 발생하며, 이를 무시할 수 없기 때문이다. 특히 항공기, 선박, 자동차 등의 설계에서는 난류가 흐름에 미치는 영향을 정확하게 예측하는 것이 필수적이다.